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1、管道运输问题摘要：本文采用二次规划算法来解决。首先将各钢厂到铺设节点的单位最小运费转化为求最短路的方法，将铁路的 运输费用、钢厂的运价与公路的运费等价转换，即将公路铁路合并成一张网，再 利用求最短路的方法求出我们需要的单位最小运费。对于问题中钢厂产量的约束条件， 采用0-1规划模型解决。第二步求得沿着铺设管道从节点到各施工地单位的最小运费，将待铺设管道 按单位长度分解成n个需求点，直线图考虑左右两个方向的运输，通过构建一个 等差数列得到目标函数。第三问树状图仅需考虑沿各个方向的运输。该运输模型 的方法，避免了问题一和三的差别。最后建立一个二次规划的算法模型，利用 lingo软件进行编程求得最优
2、解。根据上述建模思想，我们求得最优解为127.84亿元。第二问即为灵敏度分 析，我们得出s6钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，*钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。问题三：第 4、7两家钢厂补生产，1、2、3、6四家工厂饱和生产，余下的由5供应， 最优值约为140.66亿元。最后对模型进行了综合评价，并提出了改进方向。关键词：二次规划、0-1规划、lingo、最短路、目标函数一、问题的重述要铺设一条q T气TT A15的输送天然气的主管道，如图一所示（见下页）。经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有s, S ,S。图中粗线表示铁路，单细线
3、表示公路， 127双细线表示要铺设的管道（假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路），圆圈表示火车 站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程（单位km）。为方便计，1km主管道钢管称为1单位钢管。一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。钢厂*在指定期限内能i1234567si80080010002000200020003000pi1601551551601551501601单位钢管的铁路运价如下表:里程（km） 0总之，该模型为：mm( 些i=1 j=2 j必xp +芸Xc ) +区 (y +(y )| y 1 +1 + z + ij iij ijj j ji =1 j
4、=2j=2j必j必(z )j jz.J +1) 0.05s.t.支 X 3据00,s i = 1,2,.,7；iij=2 以4W x = y. + z., j = 2,3,.,15 ；i=1z.+y. +尸 A - A , j = 2,.15； z + y = |A - AlJ J + 1j+1j35 1 531y2=A2 - aj,zi5 = 0;y j ,z j 0,j=2,3,5.15；x 0,i = 1,.,7 j = 2,3,5,.,15对最小运费的求解，我们米用Floyd算法。先求出铁路网上钢 管厂到铁路上任意两点匕，七的最短路线的长度,用matlab求得七 对应的铁路单位运费D
5、；同理用Floyd算法求出公路网上的任意两 /点V 的最短公路路线的长度乙，结果乘以0.1得到公路运费D1。 j kjkjkc广min（D + D1水），j表示所有运输中转点，于是就得到从某钢厂到某 铺设点运输单位钢管的最少运输费用。约束条件：产量约束：支x e ）o 1500,si = 1,2,.,7j=2以4铺设约束条件：歹x =七+勺j = 2,.,15;i=15.2题三分析求解：如铺设的管道是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络对于 题图二，我们可以延用问题一里面的思想，在题图一的基础上多几条 铺设路段，9, 11，17节点的铺设方向变为X,Y,Z三个方向，其他不 变。5.2.1第一阶
6、段:总费用为：21 p x +E21 c x i ijij iji=1 j=2i=1 j=25.2.2第二阶段：由于树形图的出现，则某些管道处会出现多支路。则模型一中模型的七，z.不再适用，此时可考虑多增加支路变量Xj， 并增加约束，在目标函数中增加相应的铺设费。minW*=22 p x+22 c x+2i ii ii=1 j=2i=1 /=2/=2(七+(仪顷 41+ +(z.川M 41+ x +(x.m+1) 0.05(j = 9,11,17)s.t. 2 x 6折口1500,s i = 1,2,.,7 ijij=2 j=427 x = y + z,j = 2,3,.,15i=1Z +y
7、= A - A , j = 2,.15； z + y = |A - A j j +1j+1j3553y2=A2 - L = 0;y . ,z j 0,j=2,3,5.15；六、模型的求解1.出厂销价、铁路运费向公路运费的转换：1.1运输费用等价转换原则：按单位运费相等原则将任意两点的 最短铁路线转化为公路线。对于铁路线上的任意两点u和V，用Floyd 算法找出两点间最短铁路路线的长度匕，查铁路运价表求得匕对应的 铁路单位运费/ :又设与该段铁路等费用的公路长度为/ ,则： / = 0.1* l 史由此，我们就在V和V之间用一条等价的公路线代替V和V间的最 短铁路线。如果V和V之间原来就有公路，
8、就选择新旧公路中简短的 一条。这样我们就把铁路运输网络转换成了公路运输网络。1.2销价等价转换法则：按单位费用相等将任意钢厂的单位销价 转换为单位运价。对于钢厂s的销售单价p，我们可以虚设一条公路线，连接钢厂 .及另一虚设钢厂了的销售价为0.2特殊约束条件的处理：由于约束条件支x e0u 500，Si,i=1,7的存在，因此模型 j=2的求解不能简单地调用线性规划或者二次规划的软件。引进0-1变量f = 1,钢厂生产i0，钢厂不生产于是约束条件转换为：500f x s f ,i = 1,2,.,7.j=1七、模型的评价与改进1. 此模型的最大优点是其目标函数为线性函数，处理起来比较简单，而且这种模型对题 目的第一问和第三问的情况都适用。2. 它的最大缺点是规模太大，决策变量太多，一般的求解线性规划的软件会因为变量太 大而无法工作。八、参考文献（1）姜启源，谢金星 数学建模第三版（2） 曾道志译最优化方法（3）严蔚敏吴伟民 数据结构，清华大学出版社，北京，1992（4）谢金星，薛毅 优化建模与lingo软件的使用九、附录
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