18、数列（3）

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1、温馨提示：高考题库为Word版，请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。【考点17】数列求和2009年考题1.（2009海南宁高考）等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。若=1，则=（ ）（A）7 （B）8 （C）15 （D）16【解析】选C.4，2，成等差数列，.2.（2009湖北高考）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16这样的数成为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A.289 B.1024 C

2、.1225 D.1378【解析】选C. 由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项，则由可排除A、D，又由知必为奇数，故选C.3.（2009江西高考）数列的通项，其前项和为，则为（ ）A B C D【解析】选A. 由于以3 为周期,故故选A.4.（2009江西高考）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 （ ）A. 18 B. 24 C. 60 D. 90【解析】选C. 由得得,再由得 则,所以.故选C.5.（2009重庆高考）设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A B CD【解析】选A.

3、设数列的公差为，则根据题意得，解得或（舍去），所以数列的前项和.6.（2009江苏高考）设是公比为的等比数列，令，若数列有连续四项在集合中，则= . 【解析】有连续四项在集合，四项成等比数列，公比为，= -9答案:-97.（2009浙江高考）设等差数列的前项和为，则，成等差数列类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，成等比数列。 答案:w.8. （2009广东高考）已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前n项和为,数列的首项为c，且前n项和满足=+（n2）.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列前n项和为，

4、问的最小正整数n是多少?【解析】（1）, w , .又数列成等比数列， ，所以 ；又公比，所以 ； 又, ；数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， 当， ；当n=1时，b1=C符合bn=2n-1.()；（2） ； 由得，满足的最小正整数为112.9. （2009辽宁高考）等比数列的前n 项和为，已知,成等差数列 （1）求的公比q； （2）若3，求 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】（）依题意有w 由于 ，故 又，从而5分 （）由已知可得 故 从而 10分10. （2009山东高考）等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上. w.w.w.k.s

5、.5.u.c.o.m （1）求r的值； （11）当b=2时，记 求数列的前项和【解析】因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,当时, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时,又因为为等比数列, 所以, 公比为, 所以（2）当b=2时，, 则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 相减,得 所以11. （2009天津高考）已知等差数列的公差为d（d0），等比数列的公比为q（q1）。设=+ ,=-+(-1,n w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (I) 若= 1，d=2，q=3，求 的值；(II) 若=1，证明（1-q）-（1+q）=，n；w.w.w.k.s.5.u.c

6、.o.m () 若正数n满足2nq，设的两个不同的排列， ， 证明。【解析】（）由题设，可得所以， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）由题设可得则 式减去式，得.m 式加上式，得 式两边同乘q，得 所以 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()证明： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 因为所以 （1） 若，取i=n w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2） 若，取i满足且，由（1）,(2)及题设知，且 当时，得即，又所以因此 当同理可得，因此 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 综上，12. （2009天津高考）已知等差数列的公差d不为0，设（）若 ,求数列的通项

7、公式；（）若成等比数列，求q的值。（）若【解析】（）由题设，代入解得，所以 （）当成等比数列，所以，即，注意到，整理得（） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m -得，+得， 式两边同乘以 q，得所以13. （2009浙江高考）设为数列的前项和，其中是常数 （I） 求及； （II）若对于任意的，成等比数列，求的值【解析】（）当， （） 经验，（）式成立， （）成等比数列，即，整理得：，对任意的成立， 14. （2009安徽高考）已知数列 的前n项和，数列的前n项和（）求数列与的通项公式；（）设，证明：当且仅当n3时，.k.s.5.u.c.o.m 【解析】()由于当时, ，将n=1代入Tn=2

8、-bn得b1=2-b1,故T1=b1=1对于n2,由Tn-1=2-bn-1，Tn=2-bn得bn=Tn-Tn-1=-（bn-bn-1），即bn=bn-1数列是等比数列,其首项为1,公比为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()由()知,当且仅当n3时，1+即15. （2009全国）在数列中， （I）设，求数列的通项公式 （II）求数列的前项和【解析】（I）由已知有 利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()（II）由（I）知, =而,又是一个典型的错位相减法模型，易得 =16. （2009全国）设等差数列的前项和为，公比是正数的等比数列的前项和为，已知的通项公式.【解析】设的公差为，数列

9、的公比为，由题设得解得。17. （2009全国）设数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式。【解析】（I）由及，有由，知当时，有得又，是首项，公比为的等比数列（II）由（I）可得，数列是首项为，公差为的等差数列， 18. （2009北京高考）设数列的通项公式为. 数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.（）若，求；（）若，求数列的前2m项和公式；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.【解析】（）由题意，得，解，得. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

10、成立的所有n中的最小整数为7，即. （）由题意，得，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 对于正整数，由，得.根据的定义可知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时，；当时，. . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）假设存在p和q满足条件，由不等式及得.,根据的定义可知，对于任意的正整数m 都有，即对任意的正整数m都成立. 当（或）时，得（或），这与上述结论矛盾！ 当，即时，得，解得. 存在p和q，使得；p和q的取值范围分别是，. 19. （2009北京高考）已知数集具有性质；对任意的，与两数中至少有一个属于. （）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；（）证明：，且；（）证

11、明：当时，成等比数列.k.s.5. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】（）由于与均不属于数集，该数集不具有性质P. 由于都属于数集，该数集具有性质P. （）具有性质P，与中至少有一个属于A，由于，故.从而，. ， ，故. 由A具有性质P可知.又，w.w.w.k从而，. （）由（）知，当时，有，即， ，由A具有性质P可知. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由，得，且，即是首项为1，公比为的等比数列.k.s.5.20.（2009湖北高考）已知an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a655, a2+a716.()求数列an的通项公式：（）若数列an和数列bn满足等式：an，

12、求数列bn的前n项和Sn 【解析】（1）设等差数列的公差为d，则依题设d0 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由a2+a716.得 由得 由得将其代入得。即 w（2）令两式相减得于是=-4=21. （2009湖南高考）对于数列，若存在常数M0,对任意的，恒有 ，则称数列为B-数列（1） 首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;（2） 设是数列的前项和，给出下列两组论断；A组：数列是B-数列 数列不是B-数列B组：数列是B-数列 数列不是B-数列请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论；（3） 若数列都是数列，证

13、明：数列也是数列。【解析】（1）设满足题设的等比数列为,则，于是因此- +-+-=因为所以即 故首项为1，公比为的等比数列是B-数列。（2）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列，此命题为假命题。 事实上，设，易知数列是B-数列，但 由的任意性知，数列是B-数列，此命题为假命题。命题2：若数列是B-数列，则数列是B-数列，此命题为真命题事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的有 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 即。于是 所以数列是B-数列。（III）若数列， 是数列，则存在正数，对任意的有 注意到 同理： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 记，则有因此故数列是B-

14、数列.22. （2009湖南高考）对于数列,若存在常数M0,对任意的，恒有 ,则称数列为数列.（）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;（）设是数列的前n项和.给出下列两组判断：A组：数列是B-数列, 数列不是B-数列;B组：数列是B-数列, 数列不是B-数列.请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.判断所给命题的真假，并证明你的结论；()若数列是B-数列，证明：数列也是B-数列。【解析】（）设满足题设的等比数列为,则.于是 =所以首项为1，公比为的等比数列是B-数列 .（）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列.此命题为假命题.事实上设=1，

15、易知数列是B-数列，但=n， .由n的任意性知，数列不是B-数列。命题2：若数列是B-数列，则数列是B-数列。此命题为真命题。事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的，有 , 即.于是,所以数列是B-数列。（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法） ()若数列是B-数列，则存在正数M，对任意的有 .因为 .记，则有 .因此.故数列是B-数列.23. （2009江西高考）各项均为正数的数列，且对满足的正整数都有（1）当时，求通项 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有【解析】（1）由得将代入化简得w.w.w.k.s

16、.5.u.c.o.m 所以 w故数列为等比数列，从而即可验证，满足题设条件.(2) 由题设的值仅与有关,记为则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 考察函数 ,则在定义域上有w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故对， 恒成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又 ,注意到,解上式得取,即有 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 24. （2009江西高考）数列的通项，其前n项和为. (1) 求; (2) 求数列的前n项和.【解析】 (1) 由于,故,故 ()(2) 两式相减得故 25. （2009陕西高考）已知数列满足， .令，证明：是等比数列； ()求的通项公式。【解析

17、】（1）证当时，所以是以1为首项，为公比的等比数列。（2）由（1）知当时，当时，。所以。26. （2009上海高考）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。（1） 若，是否存在，有说明理由； （2） 找出所有数列和，使对一切,并说明理由；（3） 若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。【解析】方法一:（1）由，得， 2分整理后，可得，、，为整数， 不存在、，使等式成立。 5分（2）若，即， （*）（）若则。 当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。 7分（）若，（*）式等号左边取极限得，（*）式等号右边的极限只有当时，才能等于1。此时等号左边是常数，矛盾。综

18、上所述，只有当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。10分方法二:设 则（i） 若d=0，则 （ii） 若（常数）即，则d=0，矛盾综上所述，有， 10分（3） 设.，. 13分取 15分由二项展开式可得正整数M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1, 故当且仅当p=3s,sN时，命题成立.27. （2009上海高考）已知是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列（1）若 ，是否存在，有？请说明理由；（2）若（a、q为常数，且aq0）对任意m存在k，有，试求a、q满足的充要条件；（3）若试确定所有的p,使数列中存在某个连续p项的和式数列中的一项，请证明. w.w.w.k.s.5.u

19、.c.o.m 【解析】（1）由得，整理后，可得、，为整数不存在、，使等式成立。（2）当时，则即，其中是大于等于的整数反之当时，其中是大于等于的整数，则，显然，其中、满足的充要条件是，其中是大于等于的整数（3）设当为偶数时，式左边为偶数，右边为奇数，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当为偶数时，式不成立。由式得，整理得当时，符合题意。当，为奇数时， 由，得当为奇数时，一定有和使上式一定成立。当为奇数时，命题成立。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 28. （2009四川高考）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。（I）求数列的通项公式；（II）记，设数列的前项和为，求证：对任

20、意正整数都有；（III）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。【解析】（）当时，又 数列成等比数列，其首项，公比是 .3分（）由（）知 = 又当当 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）由（）知一方面，已知恒成立，取n为大于1的奇数时，设则 对一切大于1的奇数n恒成立只对满足的正奇数n成立，矛盾。另一方面，当时，对一切的正整数n都有事实上，对任意的正整数k，有当n为偶数时，设则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当n为奇数时，设则；（3）记（n=1,2,），求数列bn的前n项和Sn.【解析】（1），是方程f(x)=0的两个根，； （2），=，有基本不等式

21、可知（当且仅当时取等号），同样，（n=1,2,）， （3），而，即，同理，又所以.3.（2007广东高考）已知函数，、是方程的两个根()，是的导数设，.(1)求、的值；(2)已知对任意的正整数有,记,.求数列的前项和【解析】(1) 由 得 (2) 又数列是一个首项为 ,公比为2的等比数列， 4.（2007全国1）已知数列中，（）求的通项公式；（）若数列中，证明：，【解析】（）由题设：，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，即的通项公式为，（）用数学归纳法证明（）当时，因，所以，结论成立（）假设当时，结论成立，即，也即当时，又，所以也就是说，当时，结论成立根据（）和（）知，5.（2007全国1）

22、设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，（）求，的通项公式；（）求数列的前n项和【解析】（）设的公差为，的公比为，则依题意有且解得，所以，（），得，6.（2007全国2）设数列的首项（1）求的通项公式；（2）设，证明，其中为正整数【解析】（1）由整理得又，所以是首项为，公比为的等比数列，得（2）方法一：由（1）可知，故那么， 又由（1）知且，故，因此为正整数方法二：由（1）可知，因为，所以由可得，即两边开平方得即为正整数7.（2007全国2）设等比数列的公比，前项和为已知，求的通项公式【解析】由题设知，则 由得，因为，解得或当时，代入得，通项公式；当时，代入得，通项公式8.（2007上海高

23、考）如果有穷数列（为正整数）满足条件，即（），我们称其为“对称数列” 例如，数列与数列都是“对称数列” （1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，依次写出的每一项；（2）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；（3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列求前项的和 【解析】（1）设数列的公差为，则，解得 ， 数列为 （2） 67108861 （3） 由题意得 是首项为，公差为的等差数列 当时， 当时， 综上所述， 9.（2007福建高考）等差数列的前项和为（）求数列的通项与前项和；（）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列【解析】（）

24、由已知得，故（）由（）得假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则即，与矛盾所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列10.（2007福建高考）数列的前项和为，（）求数列的通项；（）求数列的前项和【解析】（），又，数列是首项为，公比为的等比数列，当时，（），当时，；当时，得：又也满足上式，11.（2007安徽高考）某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r0

25、），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1r）n1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1r）n2，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（）写出Tn与Tn1（n2）的递推关系式；（）求证：TnAnBn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列.本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力本小题满分14分【解析】（）我们有（），对反复使用上述关系式，得 ，在式两端同乘，得，得即如果记，则其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列12.（2007重庆高考）已知各项

26、均为正数的数列的前n项和满足，且（1）求的通项公式；（2）设数列满足，并记为的前n项和，求证：【解析】（）由，解得a11或a12，由假设a1S11，因此a12。又由an+1Sn+1- Sn，得an+1- an-30或an+1-an因an0，故an+1-an不成立，舍去。因此an+1- an-30。从而an是公差为3，首项为2的等差数列，故an的通项为an3n-1。（）方法一：由可解得；从而因此令,则。因，故.特别的。从而，即。方法二：同方法一求得bn及Tn。由二项式定理知当c0时，不等式成立。由此不等式有。证法三：同证法一求得bn及Tn。令An，Bn，Cn。因，因此。从而。13.（2007浙江

27、高考）已知数列中的相邻两项、是关于x的方程 的两个根，且(k 1，2，3，) (I)求及 (n4)(不必证明)； ()求数列的前2n项和S2n【解析】(I)方程的两个根为当k1时，所以；当k2时，所以；当k3时，所以；当k4时，所以；因为n4时，所以（）14.（2007天津高考）在数列中，其中（）求数列的通项公式；（）求数列的前项和；（）证明存在，使得对任意均成立【解析】（）方法一：，由此可猜想出数列的通项公式为以下用数学归纳法证明（1）当时，等式成立（2）假设当时等式成立，即，那么这就是说，当时等式也成立根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立方法二：由，可得，所以为等差数列，其公差为1，首

28、项为0，故，所以数列的通项公式为（）解：设，当时，式减去式，得，这时数列的前项和当时，这时数列的前项和（）通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：由知，要使式成立，只要，因为所以式成立因此，存在，使得对任意均成立15.（2007天津高考）在数列中，（）证明数列是等比数列；（）求数列的前项和；（）证明不等式，对任意皆成立【解析】（）由题设，得，又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列（）由（）可知，于是数列的通项公式为所以数列的前项和（）对任意的，所以不等式，对任意皆成立16.（2007湖南高考）已知（）是曲线上的点，是数列的前项和，且满足，（I）证明：数列（）是常数数列；（II）确定的取值集

29、合，使时，数列是单调递增数列；（III）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增【解析】（I）当时，由已知得因为，所以 于是 由得 于是 由得， 所以，即数列是常数数列（II）由有，所以由有，所以，而 表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，所以，数列是单调递增数列且对任意的成立且即所求的取值集合是（III）方法一：弦的斜率为任取，设函数，则记，则，当时，在上为增函数，当时，在上为减函数，所以时，从而，所以在和上都是增函数由（II）知，时，数列单调递增，取，因为，所以取，因为，所以所以，即弦的斜率随单调递增方法二：设函数，同解法一得，在和上都是增函数，所以，故，即弦的斜率随单调递增17.（

30、2007湖北高考）已知为正整数，（I）用数学归纳法证明：当时，；（II）对于，已知， 求证，；（III）求出满足等式的所有正整数【解析】方法一：用数学归纳法证明：（）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，因为，所以左边右边，原不等式成立；（）假设当时，不等式成立，即，则当时，于是在不等式两边同乘以得，所以即当时，不等式也成立综合（）（）知，对一切正整数，不等式都成立（）当时，由（）得，于是，（）由（）知，当时，即即当时，不存在满足该等式的正整数故只需要讨论的情形：当时，等式不成立；当时，等式成立；当时，等式成立；当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立；当时，同的情形可分析出，等式不成立综上，所求的只有方法二：（）当或时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当，且时，（）当时，左边，右边，因为，所以，即左边右边，不等式成立；（）假设当时，不等式成立，即，则当时，因为，所以又因为，所以于是在不等式两边同乘以得，所以即当时，不等式也成立综上所述，所证不等式成立（）当，时，而由（），（）假设存在正整数使等式成立，即有又由（）可得，与式矛盾故当时，不存在满足该等式的正整数下同解法1