全国1997年初中数学联合竞赛试题(含解析)
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1、全国1997年初中数学联合竞赛试题(含解析)一、选择题(本题满分42分,每小题7分)1下述四个命题(1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是1;(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形(3)a2的平方根是a ;(4)大于直角的角一定是钝角其中错误的命题有( )A1个 B 2个 C3个 D4个2.已知,则满足上述条件的整数x的个数是( )A4. B5 C6 D73若实数a,b,c满足a2b2c2=9,代数式(ab)2(bc)2(ca)2的最大值是( ) A27 B18 C15 D124给定平面上n个点,已知1,2,4,8,16,32都是其中两点之间的距离,那么点数n的最小可能值是( )A4. B
2、5. C6 D75在梯形ABCD中,ADBC,B=30,C=60,E,M,F,N分别是AB,BC,CD,DA的中点,已知BC7,MN3,则EF之值为( ) A.4 B. C.5 D.6. 6如图:已知A=B,AA1,PP1,BB1均垂直于A1B1,AA1=17,PP1=16,BB1=20,A1B1=12,则APPB等于( )A12 B13 C14 D15二、填空题(本题满分28分,每小题7分)7从等边三角形内一点向三边作垂线,已知这三条垂线的长分别为1,3,5,则这个等边三角形的面积是_8当a取遍0到5的所有实数值时,满足3ba(3a8)的整数b的个数是_9.若a,b满足,则的取值范围是_.1
3、0若正整数x,y满足方程x2y21997,则xy等于_第二试一、(本题满分20分)设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点,PE垂直AC于点E,PF垂直BC于点F,PG垂直EF于点G,延长GP并在其延长线上取一点D,使得PDPC.试证:BCBD,且BC=BD二、(本题满分25分)已知a,b为整数,且ab,方程3x23(ab)x4ab0的两个根,满足关系式(1)(1)(1)(1),试求所有的整数点对(a,b)三、(本题满分25分)已知定理:“若三个大于3的质数a,b,c满足关系式2a5bc,则abc是整数n的倍数”试问:上述定理中的整数n的最大可能值是多少?并证明你的结论 一、选择题1下述四
4、个命题(1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是1;(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形(3)a2的平方根是a; (4)大于直角的角一定是钝角。其中错误的命题有( )A1个 B 2个 C3个 D4个2.已知,则满足上述条件的整数x的个数是( )A4. B5 C6 D73若实数a,b,c满足a2b2c2=9,代数式(ab)2(bc)2(ca)2的最大值是( ) A27 B18 C15 D124给定平面上n个点,已知1,2,4,8,16,32都是其中两点之间的距离,那么点数n的最小可能值是( )A4. B5. C6 D75在梯形ABCD中,ADBC,B=30,C=60,E,M,F,N分别是AB
5、,BC,CD,DA的中点,已知B7,MN3,则EF之值为( ) A.4 B. C.5 D.6.6如图:已知A=B,AA1,PP1,BB1均垂直于A1B1,AA1=17,PP1=16,BB1=20,A1B1=12,则APPB等于( )A12 B13 C14 D15二、填空题7从等边三角形内一点向三边作垂线,已知这三条垂线的长分别为1,3,5,则这个等边三角形的面积是_8当a取遍0到5的所有实数值时,满足3ba(3a8)的整数b的个数是_9.若a,b满足,则的取值范围是_.10若正整数x,y满足方程x2y21997,则xy等于_,29+34=63.第 二 试一、设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点,PE垂直AC于点E,PF垂直BC于点F,PG垂直EF于点G,延长GP并在其延长线上取一点D,使得PDPC.试证:BCBD,且BC=BD二、已知a,b为整数,且ab,方程3x23(ab)x4ab0的两个根,满足关系式(1)(1)(1)(1),试求所有的整数点对(a,b)三、已知定理:“若三个大于3的质数a,b,c满足关系式2a5bc,则abc是整数n的倍数”试问:上述定理中的整数n的最大可能值是多少?并证明你的结论
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