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1、算 法 案 例,(第一课时),案例1 辗转相除法与更相减损术,1. 回顾算法的三种表述：,自然语言,程序框图,程序语言,（三种逻辑结构）,（五种基本语句）,2. 思考：,小学学过的求两个数最大公约数的方法？,先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.,1、求两个正整数的最大公约数,（1）求25和35的最大公约数 （2）求49和63的最大公约数,所以，25和35的最大公约数为5,所以，49和63的最大公约数为7,2、除了用这种方法外还有没有其它方法？,算出8256和6105的最大公约数.,辗转相除法（欧几里得算法）,观察用辗转相除法求8251和6105
2、的最大公约数的过程,第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=61051+2146,结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。,第二步 对6105和2146重复第一步的做法6105=21462+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。,为什么呢？,思考：从上述的过程你体会到了什么？,完整的过程,8251=61051+2146,6105=21462+1813,2146=18131+333,1813=3335+148,333=1482+37,
3、148=374+0,例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数,225=1351+90,135=901+45,90=452,显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数,显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数,思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？,S1：用大数除以小数,S2：除数变成被除数，余数变成除数,S3：重复S1，直到余数为0,辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。,m = n q r,用程序框图表示出右边的过程,r=m MOD n,m = n,n = r,r=0?,是,否,思考
4、2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？,1、辗转相除法（欧几里得算法）,（1）算理：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。,（2）算法步骤,第一步：输入两个正整数m,n(mn). 第二步：计算m除以n所得的余数r. 第三步：m=n,n=r. 第四步：若r0,则m,n的最大公约数等于m； 否则转到第二步. 第五步：输出最大公约数m.,（3）程序框图,（4）程序,INPUT “m,n=“;m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP
5、 UNTIL r=0 PRINT m END,九章算术更相减损术,算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。,第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。,第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。,2、更相减损术,（1）算理：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数
6、便为原来两个数的最大公约数。,（2）算法步骤,第一步：输入两个正整数a,b(ab); 第二步：若a不等于b ,则执行第三步；否则转到第五步； 第三步：把a-b的差赋予r; 第四步：如果br, 那么把b赋给a,把r赋给b;否则把r赋给a，执行第二步； 第五步：输出最大公约数b.,（3）程序框图,（4）程序,INPUT “a,b=“;a,b WHILE ab r=a-b IF br THEN a=b b=r ELSE a=r END IF WEND PRINT b END,输入a,b,是,否,b=r,a=b,r=a-b,a=r,否,是,例3 用更相减损术求98与63的最大公约数,解：由于63不是偶
7、数，把98和63以大数减小数，并辗转相减,9863356335283528728721 21721 1477,所以，98和63的最大公约数等于7,先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数4,例3、求324、243、135这三个数的最大公约数。,思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。,比较辗转相除法与更相减损术的区别 （1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到,小结,问答推广百度知道问答 勃痋耶,
高二数学辗转相除法与更相减损术3.ppt
