6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 教学设计

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1、6.3.2平面向量的的正交分解及坐标表示本节课选自普通高中课程标准数学教科书-必修第二册（人教A版）第六章平面向量及其应用，本节课主要讲解平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示。jy在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解。因为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时会给问题的研究带来方便，联系平面向量基本定理和向量的正交分解，由点在直角坐标系中的表示得到启发，要在平面直角坐标系中表示一个向量最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、作为基底，这时，对于平面直角坐标系内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、

2、，使得a=xi+yj.于是，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，而有序数对(x，y)正好是向量a的终点的坐标这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起映射，从而实现向量的“坐标化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想。课程目标A.会把向量正交分解；B.会用坐标表示向量；学科素养1.数学抽象：向量的正交分解；2.逻辑推理：将一向量分解为两个垂直的向量；3.数学运算：求向量的坐标；1.教学重点：平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示；2.教学难点：平面向量的坐标表示。多媒体1教学过程教学设计意图核心素养目标一、复习回顾，温故知新平面向量基本定理：如果e,e是同一平面内

3、的两个不共线向量，那么对于这一平面内的12任意向量a，有且只有一对实数l,l，使a=le+le。121122我们把e,e叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。12二、探索新知1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解。通过复习上节所学平面向量基本定理，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。通过思考，建立点的坐标和向量思考1：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序坐标之间的关系，实数对（即它的坐标）表示，那么，如何表示坐标平面内的一个向量提高学生分析问呢？题、概括能力。y【解析】在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的

4、两个不共线向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得axi+yj，则把有序数对（x，），叫做向量a的坐标记作a（x，y），此式叫做向量的坐标表示作向量OA=a，设OA=xi+yj，所以a=OA=(x,y)。【结论】向量的起点为原点时，向量的坐标与向量终点的坐标一致。2两向量相等时，坐标一样。2.如图，在正方形ABCD中，O为中心，且OA(1，1)，则OB_；OD_.例1如图，用基底i,j分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标【解析】:由图可知,a=AA+AA=xi+yj,12a=(2,3).同理,b=-2i+3j=(-2,3);c=-2i

5、-3j=(-2,-3);d=2i-3j=(2,-3).来源:学*科*三、达标检测1.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同)(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关()(4)点的坐标与向量的坐标相同()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)错误对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样(2)正确根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标之差等于终点坐标(3)错误根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关(4)错误当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标等于(终)点

6、的坐标通过例题练习向量的坐标表示，提高学生解决问题的能力。通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。3【解析】因为OA(1，1)，由正方形的对称性可知，B(1，1)，所以OB(1，1)，同理OD(1，1)3.如图，已知在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30角，求点B和点D的坐标和AB与AD的坐标【解析】由题意知B,D分别是30，120角的终边与以点O为圆心的单位圆的交点设B(x1，y1)，D(x2，y2)由三角函数的定义，得x1cos302，y1sin302，所以B2，23131.x2cos120，y2sin120所以AB，2，AD2，2.31132131322，所以D2，2.四、小结1.向量的正交分解；2.向量的坐标表示；五、作业预习下一节。通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。本教案的亮点是用心设置思考题，在学生已有的知识基础上得到要学习的问题，水到渠成，讲练结合。学生在独立或小组讨论中解决问题，很好调动学生的积极性与主动性。4