随机信号通过线性系统和非线性系统后的特性分析第二版

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1、随机信号实验报告 随机噪声特性分析 院系： 通信工程学院班级： 011091学号姓名：01109002 董浩天01109026 严文博01109058 杨洪力一、 摘要 本实验主要研究随机信号各种噪声的特性分析。因此，我们通过利用计算机模拟各种噪声来更好的了解随机噪声的特点，来印证我们所学的基本理论。二、实验目的1、了解白噪声信号、色噪声信号自身的特性，包括均值、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度等。2、掌握白噪声、色噪声信号的分析方法。3、熟悉常用的信号处理仿真软件平台：matlab或c/c+语言、EWB软件仿真。4、了解估计功率谱密度的几种方法，掌握功率谱密度估计在随机信号

2、处理中的作用。三、实验步骤1、根据选题的内容和要求查阅相关的文献资料，设计具体的实现程序流程或电路。2、自选matlab、EWB或c仿真软件。如用硬件电路实现，需用面包板搭建电路并调试成功。3、按设计指标测试电路。分析实验结果与理论设计的误差，根据随机信号的特征，分析误差信号对信号和系统的影响。四、实验原理4.1 白噪声特性分析白噪声是指它的概率统计特性服从某种分布，而它的功率谱密度又是均匀的。确切的说，白噪声只是一种理想化的模型，因为实际的噪声功率谱密度不可能具有无限宽的带宽，否则它的平均功率将是无限大，是物理上不可实现的。然而白噪声在数学处理上比较方便，所以它在通信系统的分析中有十分重要的

3、作用。一般地说，只要噪声的功率谱密度的宽度远大于它所作用的系统的带宽，并且在系统的带宽内，它的功率谱密度基本上是常数，就可以作为白噪声处理了。白噪声的功率谱密度为： 其中/2就是白噪声的均方值。白噪声的自相关函数为： 白噪声的自相关函数是位于=0处、强度为的冲击函数。这表明白噪声在任何两个不同的瞬间的取值是不相关的。同时也意味着白噪声能随时间无限快的变化，因为它的带宽是无限宽的。4.2 白化滤波器的设计与分析在统计信号处理中，往往会遇到等待处理的随机信号是非白色的，例如云雨、海浪、地物反射的杂乱回波等，它们的功率谱即使在信号通带内也非均匀分布，这样会给问题的解决带来困难。克服这一困难的措施之一

4、是对色噪声进行白化处理。主要内容是设计一个稳定的线性滤波器或者一种白化变换方法，将输入的有色噪声变成输出的白噪声。下面探讨两种方法来实现白化问题。1、白化滤波器将任意随机信号x(t)输入一个线性时不变滤波器，滤波器将x(t)白化为白噪声，这个滤波器就叫做白化滤波器。我们可以使用频域技术白化这个信号，用输入信号的功率谱密度，选择最小相位得到极点和零点都位于S面左侧，这样就可以用以下关系构造白化滤波器：，选择最小相位滤波器保证逆滤波器稳定，必须保证在所有上都严格为正，这样就不会有奇点。白化噪声为：ifft*,白化噪声的功率谱为：，白化噪声的功率谱为常数，可见随机噪声已白化了。2、白化滤波器的设计方

5、法首先计算色噪声自相关函数，根据色噪声的自相关函数，计算出色噪声的功率谱（色噪声的自相关函数和功率谱构成一对傅里叶变换对），然后根据公式（注意求倒数时不能为零），计算出白化滤波器的频谱。白化变换就是要构造一个白化矩阵，使色噪声与白化矩阵相乘后为白噪声。=QX线性变换，使得的协方差矩阵为单位矩阵(即)。这里 Q称作白化矩阵，它可以通过对色噪声矩阵X的协方差矩阵的对角化求解来获得：，式中E矩阵由的特征向量组成，A为的特征值组成的对角矩阵A=diag(，)。经过白化处理后，色噪声信号变换为具有单位方差的信号，且中各信号分量相互正交。白化变换方法总结：a. 将生成的色噪声由一行变为n*m。b. 计算色

6、噪声的协方差矩阵。c. 计算协方差矩阵的特征值以及特征向量。d. 求白化变换矩阵。e. 白噪声等于色噪声乘白化矩阵。f. 再将生成的色噪声由n*m行变为一行。4.3 理想白噪声、带限白噪声比较分析若一个具有零均值的平稳随机过程，其功率谱密度在某一个有限频率范围内均匀分布，而在此范围外为零，则称这个过程为带限白噪声。带限白噪声分为低通型和带通型。4.4 色噪声的产生与分析我们把除了白噪声之外的所有噪声都称为有色噪声。就像白光一样，除了白光就是有色光。色噪声中有几个典型：（1）粉红噪声。粉红噪声是自然界最常见的噪声，简单说来，粉红噪声的频率分量功率主要分布在中低频段。从波形角度看，粉红噪声是分形的

7、，在一定的范围内音频数据具有相同或类似的能量。从功率（能量）的角度来看，粉红噪声的能量从低频向高频不断衰减，曲线为1/f，通常为每8度下降3分贝。粉红噪声的能量分布在任意同比例带宽中是相等的。在给定频率范围内(不包含直流成分)，随着频率的增加，其功率密度每倍频程下降3dB(密度与频率成反比)。每倍频的功率相同，但要产生每倍频程3dB的衰减非常困难。因此，没有纹波的粉红噪声在现实中很难找到。粉红噪声低频能下降到接近0Hz（不包括0Hz），高频段频率接近20几千赫，而且它在等比例带宽内的能量是相等的(误差只不过0.1dB左右)。粉红噪声的功率普密度图如下图所示： 粉红噪声的功率普密度 （2）红噪声

8、(海洋学概念)。这是有关海洋环境的一种噪声，由于它是有选择地吸收较高的频率，因此称之为红噪声。 （3）橙色噪声。该类噪声是准静态噪声，在整个连续频谱范围内，功率谱有限，零功率窄带信号数量也有限。这些零功率的窄带信号集中于任意相关音符系统的音符频率中心上。由于消除了所有的合音，这些剩余频谱就称为“橙色”音符。 （4）蓝噪声。在有限频率范围内，功率密度随频率的增加每倍频增长3dB(密度正比于频率)。对于高频信号来说，它属于良性噪声。 （5）紫噪声。在有限频率范围内，功率密度随频率的增加每倍频增长6dB(密度正比于频率的平方值)。 （6）灰色噪声。该噪声在给定频率范围内，类似于心理声学上的等响度曲线

9、(如反向的A-加权曲线)，因此在所有频率点的噪声电平相同。 （7）棕色噪声。在不包含直流成分的有限频率范围内，功率密度随频率的增加每倍频下降6dB(密度与频率的平方成反比)。该噪声实际上是布朗运动产生的噪声，它也称为随机飘移噪声或醉鬼噪声。 （8）黑噪声(静止噪声)： 有源噪声控制系统在消除了一个现有噪声后的输出信号。 在20kHz以上的有限频率范围内，功率密度为常数的噪声，一定程度上它类似于超声波白噪声。 这种黑噪声就像“黑光”一样，由于频率太高而使人们无法感知，但它对你和你周围的环境仍然有影响。 4.5 色噪声的产生与分析平稳随机过程是在时间平移下概率性质不变的随机过程。其统计特性是，任意

10、有限维分布函数不随时间的推移面改变；当过程随时间的变化而产生随机波动时，其前后状态相互联系，即不但它的当时情况，而且它的过去情况对未来都有不可忽视的影响。按照描述平稳随机过程的统计特性的不同，平稳随机过程分为严平稳随机过程和宽平稳随机过程。五、 实验设计与实现5.1 利用计算机产生正态分布、均匀分布和指数分布的随机数，分别画出200点和2000点的波形。（1）正态分布：其概率密度为x=normrnd(0,1,1,200)实验程序如下：x=normrnd(0,1,1,200);Subplot(2,1,1);plot(x);xlabel(n);ylabel(x(n);title(200点正态分布)

11、;x=normrnd(0,1,1,2000);Subplot(2,1,2);plot(x);xlabel(n);ylabel(x(n);title(2000点正态分布);（2）均匀分布的：0-1分布，其概率密度为x=rand(200,1)实验程序如下：x=rand(200,1);Subplot(2,1,1);plot(x);xlabel(n);ylabel(x(n);title(200点均匀分布);x=rand(2000,1);Subplot(2,1,2);plot(x);xlabel(n);ylabel(x(n);title(2000点均匀分布);（3）指数分布： x=exprnd(2,20

12、,10)实验程序如下：x=exprnd(2,200,1);Subplot(2,1,1);plot(x);xlabel(n);ylabel(x(n);title(200点指数分布);x=exprnd(2,2000,1);Subplot(2,1,2);plot(x);xlabel(n);ylabel(x(n);title(2000点指数分布);（4）计算上面三种分布的均值与方差的理论值，并画出理论的概率密度（图），利用计算机分析画出这3种随机序列分别在100、5000和10000点的概率密度、均值与方差，比较分析不同长度下的统计结果；上面三种分布的均值与方差的理论值 正态分布 均匀分布 指数分布

13、三种分布理论的概率密度图实验程序如下：x=-6:0.01:7;y=normpdf(x,0,1);subplot(1,2,1);axis on;plot(x,y);axis square;title(正态概率密度函数);实验程序如下：clear;x=-10:0.01:10;y=unifpdf(x,0,1);subplot(1,2,1);axis on;plot(x,y);Axis(0,30,0,1);title(均匀概率密度函数);实验程序如下：x=0:0.01:30;y=exppdf(x,2);subplot(1,2,1);axis on;plot(x,y);axis square;title

14、(指数概率密度函数);5.2 3种随机序列分别在100、5000和10000点的概率密度、均值与方差、概率密度表一、不同长度下的正态分布统计结果理论值100点5000点10000点均值00.01380.0195-0.0092方差10.76060.98980.9684实验程序如下：x=-6:0.01:10;y=normrnd(0,1,1,100);subplot(3,1,1);hist(y,x); title(100点正态概率密度函数);m=mean(y)sigma= var(y) x=-6:0.01:10;y=normrnd(0,1,1,5000);subplot(3,1,2);hist(y,

15、x); title(5000点正态概率密度函数);m=mean(y)sigma = var(y) x=-6:0.01:10;y=normrnd(0,1,1,10000);subplot(3,1,3);hist(y,x); title(10000点正态概率密度函数);m=mean(y)sigma= var(y) 表二、不同长度下的均匀分布统计结果理论值100点5000点10000点均值0.50.52090.49700.5037方差0.830.07180.08460.0835实验程序如下：x=0.:0.01:1;y=rand(100,1);subplot(3,1,1);hist(y,x); tit

16、le(100点均匀概率密度函数);M1=mean(y)Sigma1= var(y) y=rand(5000,1);subplot(3,1,2);hist(y,x); title(5000点均匀概率密度函数);M2=mean(y)Sigma2= var(y) y=rand(10000,1);subplot(3,1,3);hist(y,x); title(10000点均匀概率密度函数);M3=mean(y)Sigma3= var(y) 表三、不同长度下的指数分布统计结果理论值100点5000点10000点均值2 2.0559 1.99932.0122方差4 5.7294 4.1452 4.0242

17、实验程序如下：clear;x=-1:0.01:10;y=exprnd(2,100,1);subplot(3,1,1);hist(y,x); title(100点指数概率密度函数);M1=mean(y)Sigma1= var(y) y=exprnd(2,5000,1);subplot(3,1,2);hist(y,x); title(5000点指数概率密度函数);M2=mean(y)Sigma2= var(y) y=exprnd(2,10000,1);subplot(3,1,3);hist(y,x); title(10000点指数概率密度函数);M3=mean(y)Sigma3= var(y) 分

18、析：从理论概率密度曲线和100,5000,10000点的概率密度曲线的比较看出，取点越多，概率密度曲线与理论概率密度曲线越接近，其均值和方差也越接近理论计算均值和方差。所取的随机变量越多，其统计特性越接近理论统计特性。 5.3 实现一个信号处理的应用实例：处理所给图片素材（Lena.jpeg），进行图像直方图的均衡，画出原始图像和经过均衡处理后的图像直方图，并做比较分析。 原始图像 均衡处理后的图像实验程序如下： Pic=imread(D:lena.jpg); %读取原图象 m,n,o=size(Pic); imshow(Pic); gp=zeros(1,256); %计算各灰度出现的概率 f

19、or i=1:256 gp(i)=length(find(Pic = (i-1)/(m*n); end figure,bar(0:255,gp); title(均衡前直方图); xlabel(灰度值); ylabel(出现概率); newGp=zeros(1,256); %计算新的各灰度出现的概率 S1=zeros(1,256); S2=zeros(1,256); tmp=0; for i=1:256 tmp=tmp+gp(i); S1(i)=tmp; %各会灰度的累计概率 S2(i)=round(S1(i)*256); %将取整后的值存储在S2 end for i=1:256 newGp(i

20、)=sum(gp(find(S2=i); end figure,bar(0:255,newGp); title(均衡后直方图); xlabel(灰度值); ylabel(出现概率); newGrayPic=Pic; %填充各像素点新的灰度值 for i=1:256 newGrayPic(find(Pic=(i-1)=S2(i); %用新的灰度填充以前旧的灰度值 end figure,imshow(newGrayPic);5.4 测试高斯白噪声n(t)特性。输入信号，其频率为1KHz、2KHz、3KHz，叠加噪声后有什么变化。并设计一个线性系统。线性系统设计成一个滤波器。要求信号经滤波器后只剩下

21、2KHz频率的信号。分析经过线性系统后信号特性。1、输入信号x(t)、噪声n(t)的测试与分析（1）x(t)的特性分析均值：Ex(t)=0.0031均值除了表示信号的平均值，它还表示信号的直流分量，可见此信号没有直流分量。均方值：Ex2(t)=1.5001均方值表现了信号的平均功率方差：Dx(t)=1.5026方差反映了信号绕均值的波动程度,也表示信号平均交流功率。实验程序如下：clear;fs=10000; N=1024; %采样频率和数据点数n=0:N-1; t=n/fs; %时间序列x=sin(2*pi*1000*t)+sin(2*pi*2000*t)+sin(2*pi*3000*t);

22、%输入信号y=fft(x,N); %输入信号频谱 mag=abs(y); %输入信号频域振幅f=n*fs/N; %频率序列subplot(2,1,2);plot(f,mag); %绘制输入信号幅频特性曲线xlabel(频率/Hz);ylabel(振幅);title(输入信号幅频特性曲线);grid on;subplot(2,1,1),plot(t,x); %绘制输入信号xlabel(时间/s);ylabel(振幅);title(输入信号);axis(0 0.01 -4 4);（2）n(t)的特性分析 均值：En(t)=0.0547此噪声直流分量很小，近似为0 均方值：En2(t)=1.0071

23、此噪声平均功率1.0071 方差：Dn(t)=1.0051此噪声平均交流功率1.0051 自相关函数 自相关函数表示两时刻的相关程度，在0处有冲击是因为在一个时刻他肯定和自己线性相关，等于均方值。 时域上看它做无规律波动，频域上看它频带很宽，频域也做无规律波动。 功率谱密度近似一条直线，符合白噪声定义（均值为0，功率谱密度是非0常数的平稳随机过程）。实验程序如下：figure(2);y1=wgn(1,N,0.00001); %生成高斯白噪声序列 subplot(3,1,1),plot(t,y1); %绘制高斯白噪声时域波图 xlabel(时间/s);ylabel(振幅);title(高斯白噪声

24、信号);grid; y2=fft(y1,N); %求高斯白噪声频谱mag2=abs(y2); %求频域振幅f2=n*fs/N; %频率序列subplot(3,1,2);plot(f2,mag2);%绘制高斯白噪声频谱xlabel(频率/Hz);ylabel(振幅);title(高斯白噪声幅频特性);grid;subplot(3,1,3);periodogram(y1,twosided,N,fs);%周期图法估计高斯白噪声功率谱密度%自相关函数y3,b=xcorr(y1,biased);figure(3);plot(b*fs,y3);xlabel(t);ylabel(相关程度);title(高斯

25、白噪声自相关函数);grid;%均值 En=mean(y1)%均方值 En2=mean(y1.*y1)%方差 o2=var(y1)（3）加噪声的信号s(t)=x(t)+n(t)均值：Es(t)=0.0579 其直流分量是两个信号的线性叠加均方值：Es2(t)=2.5786其平均功率是两个信号的线性叠加方差：Ds(t)= 2.5777其平均交流功率是两个信号的线性叠加从功率谱密度可以很轻易的分辨出有用信号和噪声实验程序如下：figure(4)z1=x+y1;subplot(3,1,1),plot(t,z1); %绘制加噪信号xlabel(时间/s);ylabel(振幅);title(加噪信号);

26、axis(0 0.01 -5 5);w1=fft(z1,N); %加噪信号频谱 magw1=abs(w1); %加噪信号频域振幅subplot(3,1,2);plot(f,magw1); %绘制加噪信号幅频特性曲线xlabel(频率/Hz);ylabel(振幅);title(加噪信号幅频特性曲线);grid ;subplot(3,1,3);periodogram(z1,twosided,2048,fs); %周期图法估计加噪信号功率谱密度%3.1、加噪信号数字特征%均值 Es=mean(z1)%均方值 Es2=mean(z1.*z1)%方差 os2=var(z1)2、滤波器的设计及输出信号特性

27、 均值：Ez(t)= -7.5095e-04直流分量仍然近似为0 均方值：Ez2(t)=0.6853平均功率减小，因为有些频率的波被虑除了。 方差：Dz(t)= 0.6860平均交流功率也减小了，因为有些频率的波被虑除了。实验程序如下：fs=10000; N=1024; %采样频率和数据点数n=0:N-1; t=n/fs; %时间序列s=sin(2*pi*1000*t)+sin(2*pi*2000*t)+sin(2*pi*3000*t)+y1;%混合信号figure(5)subplot(2,1,1),plot(t,s);%绘制输入信号xlabel(时间/s);ylabel(振幅);title(

28、滤波器输入信号);axis(0 0.01 -5 5) b=fir1(48,0.3 0.5);h,f=freqz(b,1,1024);subplot(2,1,2);plot(f*5000/pi,20*log10(abs(h)%绘制滤波器频率响应xlabel(频率/Hz);ylabel(振幅/db);title(滤波器幅频响应); sf=filter(b,1,s);%输出信号figure(6)subplot(2,1,1),plot(t,sf);%绘制输出信号xlabel(时间/s);ylabel(振幅);title(滤波器输出信号);axis(0 0.01 -2 2) fousf=fft(sf,N);%输出信号傅里叶变换magsf=abs(fousf);fsf=n*fs/N;subplot(2,1,2);plot(fsf,magsf);xlabel(频率/Hz);ylabel(振幅);title(输出信号幅频响应);六、 实验总结通过这次试验，我们了解了随机信号自身的特性，包括均值、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度等的概念和特性，以及随机信号通过线性系统后有何变化。掌握 了一定matlab技巧，直观地看到了随机信号以及高斯白噪声的特点及信号的变换，并体会到了matlab的便利与强大。加深了对随机信号的认识，对以后的学习大有帮助。