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1、2020年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）1已知P是ABC所在平面上一点，满足，则ABP与ABC的面积之比为2已知数列满足：，则4022 3已知，如果集合，则所有符合要求的角构成的集合为4满足方程（）的实数对的个数为 8 5设是模为2的复数，则的最大值与最小值的和为 4 6对一切满足的实数，不等式恒成立，则实数的最小值为7设集合.如果方程（）至少有一个根，就称该方程为合格方程，
2、则合格方程的个数为 23 8已知关于的方程在区间上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9已知二次函数的图象过点（1，13），且函数是偶函数.（1）求的解析式；（2）函数的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.解 （1）因为函数是偶函数，所以二次函数的对称轴方程为，故. -4分又因为二次函数的图象过点（1，13），所以，故.因此，的解析式为. -8分（2）如果函数的图象上存在符合要求的点，设为P，其中为正整数，为自然数，则，从而，即.-1
3、2分注意到43是质数，且，所以有解得因此，函数的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.-16分10已知数列满足.证明：对一切，有（1）； （2）解 （1）显然，所以（）.所以，对一切，所以. -5分所以，当时，所以.又，故对一切，有.因此，对一切，有. -10分（2）显然.由，知，所以，所以，所以，-15分所以，当且时，所以. -20分11已知椭圆C：，过点P而不过点Q的动直线交椭圆C于A、B两点.（1）求AQB；（2）记QAB的面积为，证明：解 （1）如果直线的斜率存在，设它的方程为，因为点P在直线上，所以，故.联立直线和椭圆C的方程，消去，得.设A，B，则， -6分因为，所以0，所以，显然A、Q、B三点互不相同，所以AQB90.如果直线的斜率不存在，则A、B两点的坐标为，容易验证AQB90也成立.因此，AQB90. -12分（2）由（1）知AQB90，所以QAB是直角三角形.如果直线QA或QB的斜率不存在，易求得QAB的面积为.如果直线QA和QB的斜率都存在，不妨设直线QA的方程为，代入椭圆C的方程，消去，得，则.又QBQA，所以，同理可求得. -16分于是，QAB的面积为.令，则.注意到，且等号不能同时取得，所以. -20分
全国高二数学联合竞赛预赛试题湖北省新人教版
