概率论课件第十六次.ppt

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1、设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分,别为1和4，而相关系数为0.005，则根据切比雪夫,不等式求：,解：,1、契比雪夫不等式可以用来干什么？,一、复习：,则,2、大数定律的含义是什么？,独立同分布大数定律说明：经过算术平均后得,到的随机变量的取值比较紧密地聚集在它的期望,值附近。,贝努利大数定律说明：当n充分大时，事件A发,生的频率与其概率的绝对偏差小于任意给定的正数,3、中心极限定理可以用来干什么？,某计算机系统有120个终端，每个终端在1小,时内平均有3分钟使用打印机，假定各终端使用,打印机与否是相互独立的，求至少有10个终端,同时使用打印机的概率。,解：,设X=计算机使用打印机的终

2、端数,则,数理统计学是数学的一个分支学科,研究怎样有效地收集 ,整理和分析带有随,或预测, 直至为采取一定的决策和行动提,供依据与建议。,数理统计学就是这样一门学科：它使用,概率论和数学的方法,研究怎样收集 (通过试,验或观察) 带有随机误差的数据, 并在设定的,析(称为统计分析), 以对所研究的问题作出推,断(称为统计推断).,本书前五章的研究属于概率论的范畴。,在那里，随机变量及其概率分布全面描述了,随机现象的统计规律，在概率论的许多问题中，,概率分布通常被假定为已知的，而一切计算推理,均基于这个这个已知的分布进行，但在实际问题,情形往往并非如此。,例1、某公司要采购一批产品，每件产品,要

3、么是正品，要么是次品，若设这批产品的次,随机抽取一件，用X服从0-1分布B（1,p），但,品率为p （一般是未知的），则从该批产品中,分布中参数p是不知道的。显然，p的大小决定,了该批产品的质量，它直接影响采购行为的经济,效益，故人们对p提出一些问题：,p的大小如何？,p大概落在什么范围？,能否认为p满足设定要求（如 ）？,第六章 样本及其分布,第一节 随机样本和统计量,1、总体：,一、总体、个体,研究的对象的某个(或某些)数量指标的,X的分布函数和数字特征称为总体的分布函数,全体,称为总体(母体)，,和数字特征.,它是一个随机变量(或多维随机变量).记为X .,的某个取值.用 表示.,即总体

4、的每个数量指标,可看作随机变量 X,2、个体:,组成总体的每一个元素称为个体.,例2、考察某批灯泡的质量时，该批灯泡的全体,就是总体；,其中每一个灯泡就是个体。,例3、考察某城市的人口时，该城市人口的全体,就是总体；,其中每一个市民就是个体。,从总体中抽取的部分个体称为样本，,容量为n的样本可以看作n维随机变量.,样本中所包含的个体数目称为样本容量.,例如，考察某批灯泡的质量时，从该批灯泡中抽取,16只灯泡，检验它们的寿命，,一个样本，,用 表示,则16只灯泡就是,且样本容量为16。,3、样本,样本是随机变量,例如上面抽到哪16只是随机的.,但是, 一旦取定一组样本, 得到的是n个具体的数,(

5、x1, x2, xn)，,称为样本的一次观察值，,简称样本值,由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，,为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必,须考虑抽样方法.,X1, X2, , Xn是相互独立的随机变量.,最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”,X1, X2, , Xn中每一个与所考察的总体,1) 代表性：,2) 独立性：,它要求抽取的样本满足下面两点:,有相同的分布.,由简单随机抽样得到的样本,若总体的分布函数为F(x)，则简单随机样本的,4、 简单随机样本：,称为简单随机样本，它可以用与总体独立同分布的,n个相互独立的随机变量X1, X2, , Xn表示.,联合分布函数为：,若总

6、体X的概率密度为,则X1, X2, , Xn,的联合密度为：,二、频率直方图,设总体X是一个连续型随机变量，,下面介绍,体X的概率密度 的图解法频率直方图。,一种根据样本观察值 来近似求出总,设 和 分别是,的最大值和最,小值，选取略小于,的数a和略大于,的数b，,并在区间(a,b中插入若干个分点,于是把区间(a,b分成 r+1,个小区间：,且,计算样本观察值落入第,个数(即频数)，,而,称为样本观察值落入,的频率，,频率直方图：,为底，以,为高的矩形,(如图)的图称为频率直方图。,三、经验分布函数,设,是总体X的样本观察值，将它按,大小次序排列如下：,例4、从总体X中获得一组样本观察值如下：

7、-1 ，,-0.5，0，1， 1.5， 2,求经验分布函数。,四、统计量,1. 统计量：,不含任何未知参数的样本的函数称,为统计量.,它是完全由样本决定的量.,例4、设总体服从正态分布,其中,未知,X1, X2, , Xn为总体X的一个样本，则,2. 几个常见统计量,1)样本均值:,2)样本方差:,3)样本k阶原点矩:,4)样本k阶中心矩:,k=1, 2, ,第六章 样本及其分布,第二节 几个常用的分布,一、标准正态分布的上分位点：,例1、求,正态分布N(0,1), 则称随机变量,所服从的分布为自由度为 n 的 分布.,分布的密度函数为,设 相互独立, 都服从正态分布,结论1：,结论2：,结论

8、3：,结论4：,则,n=2,n = 3,n = 5,n = 10,n = 15,例2、求,t 分布密度函数为,记为：Tt(n).,2、 t 分布,设XN(0,1) ,Y ,且X与Y,相互独立，,则称变量,所服从的分布为,自由度为 n的 t 分布.,t 分布的密度函数关于x=0对称，且,当n充分大时，,结论1：,结论2：,其图形近似于标准正态分布密度函数的图形.,t 分布的图形(红色的是标准正态分布),n = 1,n=20,图形的对称性有：,例3、求,例4、设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分,布N(0，32)，,而X1, X2, , X9和,Y1, Y2, , Yn分别,是来自总体X和Y的简单随机样本，问统计量,服从什么分布？,参数是多少？,解：,且X1, X2, , X9相互独立,于是,又,且Y1, Y2, , Y9 相互独立,于是,由定义可见，,3. F分布,F(n, m).,记为 FF(m, n) .,设,F分布的概率密度为,例5、求,例6、设随机变量,证明：,证明：,假设,且U，V相互独立,则,而,于是,P180 2,3 2） 4）,