材料力学07弯曲应力.ppt

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1、第七章 弯曲应力,材 料 力 学,郑州大学 工程力学系,Bending Stresses,2,1 弯曲正应力 2 正应力强度条件 3 弯曲剪应力 4 剪应力强度条件 梁的合理截面 5 非对称截面梁弯曲弯曲中心 6 考虑塑性的极限弯矩,第七章 弯曲应力,3,概述,CD段：只有弯矩没有剪力,AC和BD段：既有弯矩又有剪力,Q,纯弯曲,剪切弯曲,4,正应力s,先分析纯弯梁横截面的正应力s ， 再将结果推广用于剪切弯曲情况,目录,切应力,弯矩M,5,1. 实验观察, 横向线仍为直线， 但有转动；,一、 表面变形与平面假设, 纵向线弯为曲线，且部分伸（下)部分缩（上）, 横向线与纵向线变形 后仍正交,1

2、 弯曲正应力,( Normal Stresses on Cross Section of Beam ),6,2. 推论与假设,横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生 转动,(凹入一侧缩短),(凸出一侧伸长),中性层与横截面的交线中性轴,横截面上只有正应力，无切应力,平面假设：,（由表及里，由线到面）,(不受拉压应力),内必有一层既无伸长也无缩短，,一层长度不变,此层称中性层.,中性层,7,二. 弯曲正应力公式,应力分布不知, 须考虑,变形几何关系,应变应力关系,静力关系,（变形分布规律）,（应力分布规律）,（应力弯矩关系）,8,（几何方程）,横截面各点线应变与该点到中性轴的距离成正比.,1.变

3、形几何：,应变分布规律：,(中性层无伸缩),微段dx,(1),中性轴处 为零. 距中性轴愈远应变愈大;,以中性轴为界，两侧分为伸缩应变.,曲率中心,dq,9,2.物理关系：,应力分布规律：,( 中性轴两侧 平行而反向形成合力偶弯矩M ),代入Hooke定律：,(2),中性轴处为零.距中性轴愈远应力愈大;,(大小),(方向),（物理方程）,横截面各点正应力 与该点到中性轴的距离成正比.,(1),以中性轴为界,两侧分为拉压应力.,10,3. 静力关系：,中性轴 z 过形心,空间平行力系,11,Note: （1） y 原点在中性轴（过形心）,（2） 号可直观判断,代回,或 根据M图（较难判时）,12

4、,适用于:,三. 公式适用说明,1. 材料线弹性,但更进一步精细分析（弹性力学、光弹实验）表明，当跨度与截面高度之比 L/ h 5 （细长梁）时，此影响可略去不计. 纯弯曲 公式 对于剪切弯曲近似成立。,3. 可推广用于剪切弯曲.,2. 外力沿主轴 ( 如:对称轴 )对称弯曲,平面假设不再成立剪力翘曲对正应力有影响。,（否则条件 无法满足）,13,正应力公式推导:,变形几何关系,应力应变关系,静力关系,14,按伽利略弯曲假设(截面分为拉压两区域, 均匀分布) 计算弯曲正应力, 误差为多少?,解：,y,z,1. 按伽利略均匀分布假设,2. 按沿梁高线性分布:,(相差三分之一),例1:,*,15,

5、15KN,6KN,90,90,60,120,B,6kNm,解：,1m,1m,K,求B截面K点应力,( 拉? 压应力? ),例2:,(拉应力),16,(5),截面上下边缘:,抗弯截面模量,2 弯曲正应力强度条件,一. 最大正应力,( Strength Condition for Normal Stress ),17,常见截面的 I z 和 W,各种型钢的 Iz 、Wz 可从型钢表中查出,环形,18,目录,为使受弯构件安全工作:,强度条件,（许用应力）,二. 强度条件,（抗拉许用应力）,（抗压许用应力）,抗拉压不等的材料：,19,轻型起重机, 吊臂两种设计, 比较两者强度. 截面积相同:A1= A

6、2,W越大，强度越高.,W比 即为强度之比.,例1:,20,分析思考： 1. 强度差异巨大的缘由?,应力分布不同,2. 实际工程意义 提高抗弯强度, 减轻自重,举例,W愈大，抗弯强度愈高,（麦杆抗倒伏，电线杆, 桥梁箱形截面，宜家公司，鸟巢）,材料分布离中性轴愈远，抗弯强度愈高,21,风电塔筒,弯曲内力,目录,22,三一重工泵车,23,虎门大桥,24,截面上下不对称:,（上下斜率同）,拉压应力各有其最大值(不相同).,中性轴z过形心,截面上下对称: 发生在 所在截面.,两最大值也不一定都发生在 所在截面. (情况较复杂),25,解： 弯矩图, 危险面、点,8 kN,6kN/m,A,B,D,试校

7、核强度.并说明合理放置？,T 形截面铸铁梁 Iz=291cm4 t = 40MPac = 100 MPa ,z,形心,35,65,例2:,26,校核强度,不安全,危险截面可能两个,Mtmax,材料抗压能力远高于抗拉时,使危险（最大弯矩）截面受压区高 合理,Mcmax,27,3 弯曲切应力,一. 矩形截面梁,1、两点假设：,切应力 沿截面宽度,大小,方向,注: 中间点对称性;,取微段dx,两截面内力,分离部分,2、公式推导：,平衡分析,均匀分布,与侧边平行,周边 互等定理,( Sheariog Stresses on Cross Section of Beam ),28,两截面M 不等,左侧面,

8、右侧面,顶平面,(切应力互等 ),顶面有 存在.,不等,FS,29,( 随 而变 ), 分布规律: (沿截面高度),中性处最大. 上下边缘为零.,30,二. 其它形式截面梁,分析方法,(二次 抛物线),2. 圆截面:,竖向切应力分量仍可由上式算出.,b 腹板厚 t,面积应包括翼缘.,目录,即使水平分量最大值也小于腹板部分, 通常不考虑.,1. 工字形截面:,竖向切应力计算公式：,与矩形截面相同;,31,2. 校核切应力的几种情况：,4 弯曲切应力强度条件,1. 切应力强度条件：,为防止横弯曲构件出现剪切破坏:,(许用切应力),( Strength Condition for Shearing

9、Stress ),32,悬臂梁三块木板粘接而成. 胶合面许可切应力 0.34 MPa， 木材:= 10 MPa， =1 MPa， 求许可载荷,1. 正应力强度条件,剪力/弯矩图,解：,2. 切应力强度条件,例1:,33,3. 胶合面强度条件,许可载荷:,( 0.34 MPa ),34,选构件工字钢型号,解：,查型钢表, 选22b,2. 再校核 ：,1.先由 选:,例2,不可,35,3. 重选,查型钢表,选用25b,目录,25b,36,5 抗弯强度的影响因素,一、受力合理,靠近支座，减小跨度,梁抗弯强度主要取决于弯曲正应力：,受力合理,处处相同 变截面,截面合理,(Rational Design

10、 of Beam),37,二、截面合理,截面积已定W 尽可能大,同样面积：50b工字钢与矩形截面（ ）相比 之比为 6.7 ,如：木梁合理高宽比,分布规律表明:,举例：,对大型工程构件应考虑采用:,抗弯强度6.7倍,材料分布离中性轴较远更能提高抗弯强度,38,三、变截面梁,在横力弯曲下,等截面梁大多数截面未能充分发挥其强度.,举例：,单臂刨伸臂、 钻床的摇臂、 建筑中挑梁、,工程机械起重 吊臂,从强度角度看,可使横截面大小随弯矩而变,39,（一个单元）,每单元在立面上呈T型双悬臂,40,成昆线 旧庄河 一号桥,中国铁路上首次采用悬臂拼装法施工的预应力混凝土桥， 主跨为24+48+24(m) 铰

11、接悬臂梁。,（一个单元）,41,厂房大梁、,车辆叠板簧、 闸门主梁,鱼腹式吊车梁、桥 阶梯轴,龙门刨横梁,42,若使受弯构件每一横截面的最大正应力均相等,或：,等强度条件：,等强度梁,43,本章结束,Thanks!,44,解：画弯矩图,T 形截面铸铁梁 Iz=291cm4 L=40MPay=100 MPa ,4,危险面、点,1m,1m,1m,C,形心,8kN,6kN/m,A,B,D,例3,z,试校核强度.并说明更合理放置？,35,65,A3,A4,45,对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类截面，并使中性轴偏于受拉一方,2、根据材料特性选择截面形状,A3,A1,A2,A4,G,A4

12、,46,（二）采用变截面梁 ，如下图：,最好是等强度梁，即,若为等强度矩形截面，则高为,同时,47,7-5 非对称截面梁平面弯曲 开口薄壁截面的弯曲中心,几何方程与物理方程不变,48,依此确定正应力计算公式。,剪应力研究方法与公式形式不变。,弯曲中心(剪力中心)：使杆不发生扭转的横向力作用点 （如前述坐标原点 O）,49,槽钢：,非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力必须作用在主惯性面内，中性轴为形心主轴，若是横向力，还必须过弯曲中心,50,弯曲中心的确定:,(1) 双对称轴截面，弯心与形心重合,(2) 反对称截面，弯心与反对称中心重合,(3) 若截面由两个狭长矩形组成，弯心与两矩形长中线交点重

13、合,(4) 求弯心的普遍方法：,51,7-6 考虑材料塑性的极限弯矩,（一）物理关系：,全面屈服后,平面假设不再成立;仍做纵向纤维互不挤压假设,理想弹塑性材料s-e图,弹性极限分布图,塑性极限分布图,52,（二）静力学关系：,（一）物理关系：,53,54,例4 试求矩形截面梁的弹性极限弯矩M max与 塑性极限弯矩 Mjx 之比,解：,55,求曲率半径,56,Q(x)+d Q(x),M(x),y,M(x)+d M(x),Q(x),dx,图a,图b,图c,由剪应力互等,57,2、几种常见截面的最大弯曲剪应力,Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度,58,槽钢：,59,4 梁的正应力和剪应力强度条件,1、危险面与危险点分析：,一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处,一、梁的正应力和剪应力强度条件,2、正应力和剪应力强度条件：,3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：,60,求最大应力并校核强度,应力之比,q=3.6kN/m,A,B,3m,