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1、立体几何中的向量方法命 题 报 告 难度及题号知识点容易题(题号)中等题(题号)稍难题(题号)利用空间向量证明 平行、垂直问题111利用空间向量求异面 直线所成角、线面角.2、34、6、78利用空间向量求二面角510、129一、选择题1若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的是 ()Aa(1,0,0)，n(2,0,0) Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1) Da(1，1,3)，n(0,3,1)解析：若l，则an0.而A中an2，B中an156，C中an1，只有D选项中an330.答案：D2若向量a(1，2)，b(2，1,2)，且a与b的夹角余弦值为
2、，则等于()A2B2 C2或 D2或解析：cosa，b，2或.答案：C3在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是 ()A. B. C. D.解析：(特殊位置法)将P点取为A1，作OEAD于E，连接A1E，则A1E为OA1在平面AD1内的射影，又AMA1E，AMOA1，即AM与OP成90角或建系利用向量法 答案：D4(2009全国卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为 ()A. B. C. D. 解析：如图连结A1B，则有A1BC
3、D1， A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，设AB=1，则A1E=AE=1，BE=，A1B=.由余弦定理可知：cosA1BE=答案：C5(2009滨州模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为 ()A. B. C. D.解析：以A为原点建系，设棱长为1.则A1(0,0,1)，E(1,0，)，D(0,1,0)，(0,1，1)， (1,0，)，设平面A1ED的法向量为n1(1，y，z)则n1(1,2,2)，平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)cosn1，n2.即所成的锐二面角的余弦值为.答案：B6(2009浙江高考
4、)在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是 ()A30 B45 C60 D90 解析：如图，取BC中点E，连结DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE平面BB1C1C，故ADE为AD与平面BB1C1C所成的角设各棱长为1，则AE，DE，tanADE，ADE60.答案：C二、填空题7长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为_解析：建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)， (1,
5、0,2)，(1,2,1)，cos.答案：8正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_解析：如图，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a， 则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(-a,0,0)，P(0，)，则(2a,0,0)，(a，)，(a，a,0)，设平面PAC的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n，n60，直线BC与平面PAC所成的角为906030 答案：309正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为23，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_解析：设一个侧面面积为S
6、1，底面面积为S，则这个侧面在底面上射影的面积为，由题设得，设侧面与底面所成二面角为，则cos， 60.答案：60三、解答题10(2009包头模拟)如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD底面ABCD，E为侧棱PD的中点 (1)求证：PB平面EAC；(2)若ADAB，试求二面角APCD的正切值解：法一：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接OE，在PDB中，OEPB，又OE平面AEC，PB平面AEC，故PB平面AEC.(2)设AD=AB=PD=PA=a，侧面PAD底面ABCD，又CDAD，CD侧面PAD，AEDC，又PAD为正三角形，且E为PD中点，AEPD，故A
7、E平面PDC 在等腰PDC中，作DMPC，则M为PC的中点，再作ENDM交PC于点N，则ENPC，连接AN，则ANE为二面角A-PC-D的平面角，在RtPDC中，DM=a，所以EN=a，在等边PAD中，AE=a，所以tanANE=法二：(1)证明：如图建立空间直角坐标系O-xyz，其中O为AD的中点设PA=AD=PD=a，AB=b，则P(0,0，a)，D(，0,0)，E(，0，a)，B(，b,0)，连接BD交AC于点F，则F(0，0)(，a)，(，b，a)2，又EF平面AEC，且PB平面AEC，PB平面EAC.(2)设PAADPDABa，则P(0,0，a)，A (，0,0)，C(，a,0)，D
8、(，0,0) (a，a,0)，(，a，a)， (，0，a)，设n1(x1，y1，z1)是平面PAC的法向量，则即令z11，解得x1y1，n1(，1)，设n2(x2，y2，z2)是平面PCD的法向量， 则即令z21，解得x2，y20，n2(，0,1)，cosn1，n2，设所求二面角的平面角为，则cos，sin，tan.11(2010江苏苏北三市模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABCD，BAD90，PA平面ABCD，AB1，AD2，PACD4.(1)求证：BDPC；(2)求二面角BPCA的余弦值解析：(1)证明：以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则B(0,1,0)，
9、C(-2,4,0)，D(-2,0,0)，P(0,0,4)， (2,4，4)，(2，1,0)，440，所以PCBD (2)易证为平面PAC的法向量，(2，1,0)设平面PBC的法向量n(a，b，c)，(0,1，4)，(2,3,0)，所以所以平面PBC的法向量n(6,4,1)，cos.因为平面PAC和平面PBC所成的角为锐角，所以二面角BPCA的余弦值为12(2009湖北五市调研)如图甲，直角梯形ABCD中，ABCD，DAB，点M、N分别在AB，CD上，且MNAB，MCCB，BC2，MB4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直(如图乙)(1)求证：AB平面DNC； (2)当
10、DN的长为何值时，二面角DBCN的大小为30？ 解：法一：(1)证明：MBNC，MB平面DNC，NC平面DNC，MB平面DNC.同理MA平面DNC，又MAMB=M，且MA、MBAB平面DNC.(2)过N作NHBC交BC延长线于H，平面AMND平面MNCB，DNMN，DN平面MBCN，从而DHBC，DHN为二面角D-BC-N的平面角由MB=4，BC=2，MCB=90知MBC=60，CN=4-2cos60=3，NH=3sin60=.由条件知：tanNHD=DN=NH法二：如图，以点N为坐标原点，以NM，NC，ND所在直线分别作为x轴，y轴和z 轴，建立空间直角坐标系N-xyz，易得NC=3，MN=，设DN=a，则D(0,0，a)，C(0,3,0)，B(,4,0)，M(,0,0)，A(,0，a) (1)证明：(0,0，a)，(0,3,0)，(0,4，a)(0,0，a)(0,3,0)，ND，NC平面DNC，且NDNCN，与平面DNC共面，又AB平面DNC，AB平面DNC.(2)设平面DBC的法向量n1(x，y， z)，(0,3，a)，(，1,0) 则，令x1，则y，z.n1(1，)又平面NBC的法向量n2(0,0,1)cosn1，n2.即：.a2，又a0，a，即DN.8用心 爱心 专心
高中数学立体几何中的向量方法同步练习7新人教A版选修21
