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1、重积分的计算方法摘要：本文介绍了几种重积分的计算方法，着重从累次积分的计算、变量代换等方法阐述二重积分的计算，同时介绍了一类特殊的二重积分的计算方法，并由二重积分的计算方法推广到三重积分的计算。关键词：二重积分，三重积分，变量代换，对称法引言：重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数推广为二元函数（三元函数）;积分范围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分）。我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。为了更好的应用重积分
2、，本人结合前人的经验，在这里系统介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。着重介绍累次积分的计算与变量代换。一 二重积分的计算1 常用方法（1） 化累次积分计算法对于常用方法我们先看一个例子（北京师范大学，2002年）例1 计算二重积分，其中为区域解：如图1所示可分为在内，在内 对于重积分的计算主要采用累次积分法，即把一个二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值，分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下：第一步：画出积分区域的草图；第二步：按区域和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限；第三步：计算累次积分。需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序
3、。积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。例2 计算，是由 围成的区域解：先画出区域的图形，如图2先对后对积分，则由知如果先对后对积分，由于不能用初等函数表示，这时重积分“积不出来”。更换积分次序的理论依据是什么呢？对于给定一个二重积分，若分别把它化为积分次序不同的二次积分而得下列等式： 则显然有如果首先给出式中的一个二次积分（例如
4、左端），而此时又无法计算结果或比较麻烦，则我们可以写出式中的另一个二次积分（例如右端），这时重积分重要问题则转化为更换积分次序问题。例3试更换的积分次序解：把先对积分更换为先对积分由原累次积分的上、下限可得，即由的联立双边不等式可画出域的图形，如图3再由图形写出先对的积分域的联立双边不等式，为此，作平行于轴的箭头穿区域，知先对后对积分必须将分为和，其中，如图4则对上面的例题可得更换积分次序的一般步骤为：.由原累次积分的上、下限列出表示积分域的联立双边不等式，例如.根据上列联立双边不等式画出区域的图形.按新的累次积分次序，列出与之相应的区域的联立双边不等式.按3中的不等式组写出新的累次积分的表达
5、式。关于这方面的应用我们再看一个例子。例4（华中理工大学,2000年）设在上连续，证明证：改变积分顺序得：（2） 变量替换法在计算定积分时，求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。从而适当地利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式。在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在于积分区域的多样性。而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。例4（湖北大学2002年，中南矿治学院）求，其中解：令，即则变成了可以说变量替换法步骤如下：i. 若可微分的连续函数把上的有限区域单值唯一地映射平面上的域及雅哥
6、比式则下之公式正确ii. 设广义极坐标变换将平面上的有界闭区域一一地变成平面上有界闭区域，在上连续，则特别，当时，公式变为：极坐标变换公式计算二重积分时，要从被积函数和积分域两个方面来考虑如何适当地选择坐标系，如能采用适当的坐标系，往往可以收到事半功倍的效果。从积分域来考虑，一般情况下，圆形、扇形或者环形可以选用极坐标系。关于这方面的应用我们看下面的例子：例5将连续函数在两圆和 之间的环形区域上之二重积分化为二次积分。解：先画出域的图形，如图5若用直角坐标，则需将分为四个区域：如图5所示，所以，在上的积分若用极坐标，有显然，极坐标系下运算比较方便。（3） 对称法对称法就是利用区域和被积函数的对
7、称性简化积分。在做题时，先考虑区域和被积函数有无对称性，有时一看就知道积分为零，有时可使积分化简。否则的话，就会把时间花在无谓的计算上，有时不仅仅“得不偿失”，而且往往是“有失无得”。利用区域和被积函数对称性简化积分的方法可以总结为： 设域关于轴对称，轴上方部分为，下方为，当把中的看作常数时，若是的奇函数，则。当把中的看作常数时，若是的偶函数，则 设域关于轴对称，轴右边的部分为,左边的部分为，当把中的看作常数时，若是的奇函数，则；当把中的看作常数时，若是的偶函数，则我们只对第一个结论的前一部分做个简单的证明：例6计算重积分，其中为两种形式：是由所构成；是关于轴对称的平面凸域，其边界为和，如图6
8、解：其中利用了当时，又再看一个例子例7（武汉大学，1992年）计算下列积分（1），其中为常数，；（2），其中为直线与曲线围成的有界区域。解：（1）（2）由对称性及被积函数为关于的偶函数（4） 特例当积分区域是一矩形，被积函数可以分离成只含 的函数和只含的函数相乘时二重积分可作两个定积分相乘，即根据这一性质，其中这是一个比较特殊的例子，也是重积分与单积分的互换。例8（武汉大学，1995年）设在上连续，证明：，其中为以为顶点的三角区域。证：如图示令，即，则变成注意到二重积分的值与积分变量的记号无关，二 三重积分三重积分概念可以看作是二重积分概念的直接推广，它的计算也是化为累次积分，适当地选择变量代
9、换可使三重积分容易计算。与前面二重积分情况相同，三重积分也可以应用对称法计算，即一般地，若区域关于z平面对称，被积函数关于 是奇函数，则三重积分必为零，类似地还可推出其它各种对称情况的三重积分。计算三重积分的一般步骤为：1 画出空间域的草图；2 根据被积函数和积分域选择适当的坐标和累次积分的次序，并将域用相应的双边不等式组表示；3 完成累次积分的计算。这里，画好图形是计算的关键，因为积分变量变化的范围就是从图形上看出来的，于是也就顺利地写出了积分限。其中柱坐标系中的定限化为平面直角坐标系的定限，球坐标中定限化为平面极坐标系的定限。可以说，三重积分的计算方法可由二重积分推广过来，不再累述。我们有
10、一般的，在不同坐标中域的表达式和相应的积分表达式引用下表示：坐标系区域计算公式直角坐标系柱坐标系球坐标系选择在哪种坐标系下计算三重积分，要以被积函数和积分域的情况这两个方面全面考虑，若仅从积分域的角度考虑，三种坐标系下的情况分别为：坐标系积分区域体积元素变量替换积分表达式直角坐标系长方体、四面体或任意体柱坐标系柱形区域球坐标系球形区域三 结语综上所述，重积分的计算的方法是有规律可循的。总体上，重积分的主要计算思路是先化重积分为累次积分，难点是积分区域的分块、积分上下限的确定、积分次序的互换以及利用变量代换是重积分简化。参考文献：1钱吉林等主编.数学分析解题精粹M，第2版，武汉：崇文书局，200
11、3年8月：P486-P498，P508 2丁家泰.微积分解题方法（续）M，北京：北京师范大学出版社，1985年12月第一版：P382 3华东师范大学数学系编.数学分析M，高等教育出版社，2001年6月第3版 4郝涌、卢士堂主编.考研数学精解M，华中理工大学出版社，1999年3月第1版HEAVY TOTAL MARK COMPUTING TECHNOLOGYAbstract：This text introduce several serious computing technology of total mark, explain dual calculation of integration
12、from tired times of calculation, variable person who replace method of total mark emphatically, introduced a kind of special dual total mark computing technology at the same time , and popularize the calculation to the triple total mark from the dual total mark computing technology.Keyword: Dual total mark .Triple total mark .The variable replacing. Symmetrical law11
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