[自然科学]第三章 微分方程模型

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1、第3章 微分方程模型 45第三章目录第3章 微分方程模型13-1 人口增长模型13-2 捕鱼业的持续收获模型83-3 经济增长模型163-4 淋病传染模型213-5 糖尿病诊断模型303-6 种群的相互竞争36习 题42思考题45第3章 微分方程模型3-1 人口增长模型综观人口增长的历史可知，在十七世纪初期的1625年，世界人口总数为5亿，经过200年后的1830年，人口总数为10亿，又经过一个世纪后的1930年，人口总数达到20亿，在30年后的1960年，人口总数为30亿；1975年的人口总数为40亿，12年之后的1987年，人口总数已达到50亿；又经过12年之后的1999年，世界人口总数已

2、超过60亿由于人口数量的迅速增长和由此带来的环境质量急剧恶化，人们才幡然醒悟，提出了如何探求人类和自然的关系、人口增长的规律，以及人口控制等问题本节将首先给出马尔萨斯（Malthus，1766 1834）人口指数增长模型，在此基础上，讨论阻滞增长模型（Logistic模型）人口指数增长模型问题描述1798年，英国人口学家马尔萨斯分析了英国一百多年的人口统计资料后，在人口增长率不变的假设下，建立了著名的人口指数增长模型模型假设在建立模型之前，首先做如下的基本假设：1设表示时刻的人口数量，且连续可微；2人口数量的变化只取决于人口中个体的生育与死亡，且每一个体都具有同样的生育能力和死亡率；3人口增长

3、率用表示且为常数，其中增长率=出生率死亡率模型建立与求解由假设可知，单位时间内的增量等于乘以，即时刻到时刻的人口增量为 ， 即 取极限，令可得满足初值问题 （3.1.1） 分离变量求解得 （3.1.2） 当时， 参数估计表3.1.1年17901800181018201830184018501860人口39537296129171232314年18701880189019001910192019301940人口386502629760920106512321317年195019601970198019902000人口150717932040226525142814表3.1.1给出了1790年20

4、00年美国的人口数据（以百万为单位），（3.1.2）式中的参数和可以用表3.1.1中的数据估计，可用其对模型进行检验利用线性最小二乘法，令，对（3.1.2）式取对数得 （3.1.3） 以表3.1.1中1790年至1900年的数据拟合（3）式，经计算可得年，即（百万）以表3.1.1中的所有数据拟合（3）式可得年， ，即（百万）结果分析将计算结果与实际数据比较可知，用此模型基本上可以描述十九世纪以前美国人口的增长规律，自1900年至2000年，美国的人口增长趋势变缓，此模型就不能描述这个时段人口的变化规律由（3.1.2）式可知，对于人口长期预报而言，任何地区的人口都不可能无限增长，即模型（1）不能

5、描述和预测较长时期的人口变化过程，其主要原因是人口增长率会引起人口以指数增长的缘故由此，可以对是常数的假设提出疑问，为了使人口的长期预报更好地符合实际情况，必须修改模型（1）中关于人口增长率是常数的这个基本假设阻滞增长模型（Logistic模型）问题描述众所周知，由于地球上的资源有限，它只能提供一定数量的使生命生存所需的条件随着人口数量的增加，人们对于自然资源的获取愈来愈多，环境污染将变得越来越严重反之，自然资源与环境污染对人口增长的限制作用亦会愈加显著模型假设为了建立模型方便起见，做如下的基本假设：（1）设人口增长率是的线性函数，即；（2）自然资源与环境条件能够容纳的最大人口数量为常数，即模

6、型建立与求解由假设（1）与（2）可知，则，故有 （3.1.4）其中称为固有增长率（3.1.4）式右端的因子在此体现人口自身的增长趋势，因子体现了自然资源与环境条件对人口增长所起的阻滞作用对（3.1.4）式分离变量得 即 上式两端求不定积分可得通解为 或 （3.1.5）由初始条件可得 ，即 （3.1.6）由（3.1.6）式知 由（3.1.4）与（3.1.6）式可知人口数量具有如下性质：12 当时，即表明严格单调增加；当时，即表明严格单调减少3 因，则当时，即的图像为上凹；时，即的图像为上凸；时，的图像为上凹4 人口变化率在处取得极大值图3.1.1 的曲线图形 图3.1.2 的曲线图形由以上四点可

7、知，的曲线图形如图3.1.1与图3.1.2所示参数估计我们利用线性最小二乘法估计（3.1.4）式中的参数和，将（3.1.4）式表示为 ，其中 （3.1.7）（3.1.7）式左端可从表3.1.1的数据用数值微分算出，右端对参数和是线性的利用1860年至1990年的数据（可去掉个别异常数据），用MATLAB软件计算得到年，由此可得该时期的阻滞增长模型为 （3.1.8）即 （3.1.9）结果分析将表3.1.1中的时间数据分别代入（3.1.9）式后，所得数据经与实际数据作比较（见表3.1.2），所得结果与二十世纪中叶以后吻合得比较理想我们用所得模型计算2000年的人口数量，通过与已知的实际数据（281

8、4百万）比较，来检验模型的合理性写出（3.1.8）式的差分方程为 则 经计算得（百万）计算结果与实际数据的误差大约 ，可以认为该模型是满意的表3.1.2年17901800181018201830184018501860实际人口3.95.37.29.612.917.123.231.4计算人口3.95.06.58.310.713.717.522.3年18701880189019001910192019301940实际人口38.650.262.976.092.0106.5123.2131.7计算人口28.335.845.056.269.785.5103.9124.5年1950196019701980

9、1990实际人口150.7179.3204.0226.5251.4计算人口147.2171.3196.2221.2245.3 模型推广与评注 由（3.1.4）式表示的阻滞增长模型，是由荷兰生物数学家Verhulst在十九世纪中叶提出的它不仅能够较好的描述人口增长以及许多物种数量的变化规律，而且在化学动力学、免疫动力学和社会经济领域也有广泛的应用，由于该模型能够用来研究一些事物符合逻辑的客观规律，因此，通常称其为Logistic模型Logistic模型的一般形式为： （3.1.10）其中，初始条件为： （3.1.11）对（10）式分离变量： 或 对上式两端求不定积分得 即 由初始条件可得 ，由此

10、可知（3.1.10）满足（3.1.11）的解为： 或 此处曲线具有与人口阻滞增长模型相似的性质，故在此略去3-2 捕鱼业的持续收获模型 虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但我们常常看到，即使对于不太复杂的方程（如一般的Riccati方程），解析解也不是总能得到的因此，对某些实际问题，用微分方程建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的（解）性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势譬如在什么条件下描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况又会越来越远离这些数值而导致过程不稳定为了分析这种稳定与不稳定的规律，常常需要用微

11、分方程的稳定性理论，研究其平衡状态的稳定性问题描述渔业资源是一种再生资源在渔场中捕鱼从长远利益来看，既希望能使渔生产中鱼量保持稳定，同时又获得最大捕鱼量和最优的经济效益模型假设在建立模型之前，做如下的基本假设：鱼群的数量本身是离散变量，谈不到可微性但是，由于突然增加或减少的只是单一个体或少数几个个体，与全体数量相比，这种增长率是微小的所以，可以近似地假设鱼群的数量随时间连续地，甚至是可微地变化假设鱼群生活在一个稳定的环境中，即其增长率与时间无关种群的增长是种群个体死亡与繁殖共同作用的结果资源有限的生存环境对种群的繁衍，生长有抑制作用，而且这一作用与鱼群的数量是成正比的模型建立记时刻渔场中的鱼量

12、为，渔场资源限制的最大鱼时为，鱼的自然净相对增长率为1无捕捞时，鱼量变化符合Logistic模型：2有捕捞时，鱼量变化与捕捞量有关记单位时间的捕鱼量与渔场中的鱼量成正比，比例常数是捕捞率在捕捞过程中，渔场中鱼量满足常微分方程:模型求解令 ，由 得到两个平衡点 ，不难算得若，则，即稳定，不稳定；若，结果正好相反结果分析在捕捞强度的情况下，渔场鱼量将稳定在的水平，因此产量（单位时间的捕捞量）也将稳定在的水平；当时，渔场鱼量将逐渐减少至，这时的捕捞其实是“竭泽而渔”，当然谈不上获得持续产量了进一步讨论渔场鱼量将稳定在的前提下，如何控制捕捞强度，以保证在鱼量稳定的条件下获得最大捕捞量如图3.2.1，作

13、抛物线和直线，注意到直线在坐标原点与抛物线相切则在捕捞强度的情况下，直线与抛物线有交点，的横坐标就是稳定平衡点由直线，知纵坐标 P*KyOxK/2P为稳定条件下单位时间的持续产量，由图3.2.1得到直线与抛物线顶点相交时，可获得最大的持续产量此时的稳定平衡点为且单位时间的最大持续产量为 图3.2.1于是，不难求得保持渔场中渔量稳在的捕捞强度为结论：将捕捞强度控制在，或者使渔场中鱼量稳定在最大鱼量的一半时，可获得最大持续产量研究性问题另外，从经济角度看，不应追求产量最大，而应考虑效益最佳即捕鱼业的持续收获的效益模型如果经济效益用从捕捞所得的收入中扣除开支后的利润来衡量，其效益模型为设鱼的销售单价

14、为常数，单位捕捞强度的费用为常数，那么单位时间的收入和支出分别为：，单位时间的利润为： ，在捕捞量稳定的条件下，效益函数为：求得R(c)最大的捕捞强度为： 于是可得最大利润下的的渔场稳定量及单位时间的持续产量为：后三式说明，在最大效益原则下，捕捞强度和持续产量都有所减少；而渔场稳定量有所增加，并且减少和增加的比例随着捕捞成本的增长而变大，随着销售价格的增长而变小这显然符合实际情况的关于捕鱼问题，早在第一次世界大战期间，就成为人们讨论的热点问题竞争捕鱼问题问题描述20世纪20年代，意大利生物学家V棣安考纳(Dancona)在研究相互制约的各种鱼类总数变化时，他无意中发现了第一次世界大战前后地中海

15、各港口所捕获各种鱼类占总鱼量的百分比的资料如在19141923年期间，意大利阜姆港收购的掠肉鱼(鲨鱼等)所占比例如下：表3.2.1191419151916191719181919192019211922192311.9%21.4%22.1%21.2%36.4%27.3%16.0%15.9%14.8%10.7%对于资料进行分析，使得棣安考纳感到惊异的是：在战争期间，掠肉鱼的百分比急剧增加，如何解释这一现象呢？起初，棣安考纳认为掠肉鱼比例增加的原因是战争时期捕鱼量大大降低了，所以掠肉鱼得到了更多的食物，于是它们迅速的繁殖起来但是这种解释还不能令人满意，因为战争期间食用鱼(掠肉鱼的食物)因捕获量的减

16、少它的总数也增了为什么在战争期间掠肉鱼之间的比例发生了这么大的变化？为什么捕鱼量的降低对于掠肉鱼比食用鱼更有利？对于这种现象，棣安考纳试图从生物学的各个角度来解释，仍得不到满意的答案，不得已去找他的同事个著名的意大利数学家V沃特拉(Volterra)，希望沃特拉能够建立一个关于掠肉鱼食用鱼生长情况的数学模型，并且希望这个数学模型能够回答他的问题模型建立沃特拉把所有鱼分为两类：食用鱼和掠肉鱼并记表示食用鱼总数量，表示掠肉鱼总数量1只考虑食用鱼，不考虑掠肉鱼的存在，并假定食用鱼本身竞争不激烈因此食用鱼的增长应遵循马尔萨斯生物总数增长定律：2考虑掠肉鱼的存在，食用鱼的生长将减缓其速度，此时食用鱼的增

17、长满足方程： 掠肉鱼的增长可作类似的讨论：因而得到 (3.2.1)方程组(1)就是当不存在渔业活动时，掠肉鱼和食用鱼相互影响的方程组模型求解方程组(3.2.1)有两个平衡解 （无实际意义） 平衡点表明两类鱼将永远“融洽地”生存在该区域，它们的数量将一直保持这个水平为分析方程组（3.2.1）解的性质，进而了解两类鱼数量的变化情况考虑方程组（3.2.1）的轨线方程将方程组(1)可变为 (3.2.2)两端取指数函数，得 (3.2.3)其中K为常数，这是方程组(1)的解下面证明(3.2.3)式是一个周期解，即只要证明解所定义的积分曲线是封闭证明 令，则对于：有：时,，且有：所以有唯一的驻点，当时，取得

18、最大值，的图形如图3.2.2同理，在处，取得最大值，的图形如图3.2.3g(x)0xg(x)c/d 0f(y)ya/bf(y)图3.2.2 图3.2.3由以上可知：(a) 当时，方程(3.2.3)无的解(b) 当时，方程(3.2.3)具有唯一解，(c) 当，时，方程(3.2.3)的解情况如下显然方程 具有一解和另一解，所以当或时，方程 无解 当或时上面方程具有唯一解图3.2.4 0y 当时，上面方程有两个解和其中 且有，因此，当时，方程(3.2.3)所定义的曲线都是封闭的，即方程（3.2.3)的具有初始条件的所有解都是时间的周期函数其形状如图3.2.4故方程(3.2.3)的相轨线是一族包含平衡

19、点的封闭曲线在前面掠肉鱼的百分比数据实际上用的是掠肉鱼在一年中的平均值，为算出方程组(3.2.1)的解x(t)，y(t)的平均值，由方程组（3.2.1）的第一的方程得到方程对于周期，于是在区间上积分得y0x故 同理可得 结果分析上两式说明两类鱼的平衡点的坐标恰好为它们的数量在一个周期的平均值 图3.2.5如果以平衡点，为中心，用过x轴和y轴的直线将平面的第一象限分为四个区域根据这些区域中和的符号，可以分析食用鱼和掠肉鱼增减变化情况，如图3.2.5由上可知，如果食用鱼的食物很丰富，食用鱼和掠肉鱼不发生竞争，以及不考虑捕鱼的影响，只考虑食用鱼和掠肉鱼之间的关系可以得出当食用鱼大量增加时，掠肉鱼由于

20、有了丰富的食物将大量增加（），掠肉鱼的大量增加要吞吃大量的食用鱼，此时食用鱼就急剧减少（）；由于食用鱼的减少，掠肉鱼就会因缺乏食物而大量死亡（）；而掠肉鱼的减少，食用鱼就大量增加（），如此循环反复，因而其解呈现周期性研究性问题下面考虑渔业对于掠肉鱼和食用鱼关系的影响：一般情况下，捕鱼使得食用鱼总数以速率减少，而使得掠肉鱼以减少，常数反映渔业水平，即反映海上的渔船数和下水的网数修正前面的数学模型得微分方程组 (3.2.4) 当时，方程组(4)与方程组(1)完全一样，只是其中换成，换成此时，和的平均值为 (3.2.5)这个结果说明中等捕鱼量时，实际上会增加食用鱼的数目，减少掠肉鱼的数目反之，如果降

21、低捕鱼量，平均说来，反而会增加掠肉鱼的数目，减少食用鱼的数目这就是沃特拉原理：为减少强者，只需捕获弱者如果掠肉鱼吃食用鱼的系数增大，显然掠肉鱼的平均值将减少这表明强者如要维持一定的数量，必须限制自己消灭弱者的能力对于关于捕鱼问题，也成为大学生数学建模的竞赛题1985年，美国给出“捕获鲑鱼的最有效方法”竞赛题；1996年，中国给出“鳀鱼的最优捕捞策略”竞赛题3-3 经济增长模型在经济学中，微分方程常常用于决定市场均衡的微观经济模型中的动态平衡点，它也能够描绘出在宏观经济的不同条件下，价格增长的时间路径 给定一个经济函数的增长率，可以利用微分方程求出该经济函数，或者利用微分方程定性理论，得到这个经

22、济函数的定性性态 本节首先给出柯布道格拉斯（CobbDouglas）生产函数，在此基础上，然后，用Solow模型讨论在充分利用资本和劳动力条件下的均衡增长路径问题问题描述经济学的根本任务是讨论商品的生产与消费或供给与需求，而经济学家的一项重要工作就是寻找一种既简洁又便于应用的数学公式来描述生产过程中投入量与产出量之间的因果关系由于现实生产过程的复杂性，建立十分准确的生产函数关系是一件困难而又基本的问题下面仅考虑无联合生产与投入要素可以互相替代的生产函数基本假设设一种生产过程产出的产品量为，投入的各要素量分别为，它们之间的函数关系表示为： 对于这一类型函数，它们一般须符合如下三个基本假设：1.

23、生产函数递增假设，即对于任一种投入要素的偏导数大于零：；2. 边际产出递减假设，即 ；3. 多种投入要素应成合适比例假设例如，当一个人用餐时，有一盘荤菜与一盘素菜，不能只吃一盘菜肴，只有荤素合理搭配才具有科学性柯布道格拉斯（CobbDouglas）生产函数柯布道格拉斯（CobbDouglas）生产函数其中为产出量，为资本量，为劳动量；（产出的资本弹性）度量的是：当保持不变时，资本变动1个百分比所引起的变动率；（产出的劳动弹性）度量的是：当保持不变时，劳动变动1个百分比所引起的变动率；是效率参数，反映技术水平的高低当时，严格的柯布道格拉斯生产函数代表着规模报酬不变时，广义的柯布道格拉斯生产函数代

24、表着规模报酬递增（减）柯布道格拉斯（CobbDouglas）生产函数具有如下两个基本性质性质1 已知柯布道格拉斯生产函数，预算约束，则成本最小时的输入比率为 证 利用拉格朗日乘数法知 则 ， 由如上三式可得 即 ，故 性质2 已知柯布道格拉斯生产函数，则（资本产出弹性），（劳动产出弹性）证 因为，令，则由弹性定义 ，可知则关于与的边际函数分别为：，其平均函数为：，故得 ， 均衡增长路径Solow模型是用来求得在充分利用资本和劳动力的条件下的均衡增长路径问题，首先给出如下假设：1. 产出是一个关于资本和劳动力的线性齐次函数（规模报酬不变），即2. 资本的变化率与产出成正比，即 ，其中为利率（存储

25、率）3. 劳动力的供应是以一定比率增加的，即，或劳动力的供应满足如下初值问题：，其中为劳动力增长率 注：表示劳动力增加，表示劳动力减少由 ，令 ，则，因此 故有 由假设1可知为线性齐次函数，则 由此可得 ，即最后用代替可得如下初值问题： （3.3.1）若取柯布道格拉斯生产函数，则（3.3.1）式为： （3.3.2）其中（3.3.2）式中的方程为贝努利（Bernoulli）方程以下给出其求解过程：因为 ， 则 （3.3.3）给（3.3.3）式两端同乘以因式可得上式即为 或 （3.3.4）对（3.3.4）式两端求不定积分得 （3.3.5）将初始条件代入（3.3.5）式知 ，故（3.3.2）的解为：

26、 （3.3.6）由（3.3.6）式知当时， （3.3.7）或 ，故与是当时的同阶无穷大量（3.3.7）式的经济学意义为：当满足如上假设且时，在时间充分大的情况下，资本与劳动力的比值趋于确定的正常数；当时，或 ，故当时是比高阶的无穷小量，即在某一生产过程中，只要适当增加劳动力，从而有利于发展生产评注 1987年诺贝尔经济学奖获得者美国人罗伯特-索洛(Robert MSolow)，获奖理由：对经济增长理论做出贡献提出长期的经济增长主要依靠技术进步，而不是依靠资本和劳动力的投入长期以来，经济增长理论都是经济学研究的中心论题索洛（Solow）的贡献之一在于他在1956年为新古典主义增长理论建立了一个数

27、学框架，使得各种经济因素在经济增长中的作用既可在理论上、也可在实际度量上得到阐明索洛（Solow）在两篇分别题为技术变更和总量生产函数与投资和技术进步的论文中进一步论证技术进步在经济增长中的作用，在理论和实际统计数据分析上都指出，经济增长中只有很小的比例可用资本和劳动的增长来解释，相当大部分的增长应归功于技术进步3-4 淋病传染模型在当今世界危害较大的传染性疾病中，淋病居于首位每年报道的淋病病例比梅毒、麻疹、流行性腮腺炎和传染性肝炎的病例总和还要多这种疾病会使人痛苦不堪，又极为危险它是由淋球菌引起的，并通过性接触逐人传播感染上此病几天过后，生殖器周围通常又痒又烫，排尿时尤甚差不多在同一时期，又

28、会出现一种男性看得到而女性看不到的排泄物受感染的妇女，即使在疾病已对身体造成严重损害的情况下，也可能没有容易辨认的症状若要使淋病对身体不造成严重损害，治疗必须极早进行淋病如不加尽快治疗，就会引起失眠、不育、关节炎、心力衰竭并最终导致死亡问题描述由于淋病的感染期通常很长，而孵卵期很短（约37天），所以可将问题可以给予简化在模型里，假定个体染上淋病后就立即受到感染另外，对于得过淋病且业已康复的那些个体，淋病对他（她）们没有任何免疫作用，也就是说，紧继康复之后，个体又是易受感染的所以，我们将群体中性欲强烈又无节制的那部分分为两组，一组是易受感染者，另一组是患者 本章将对淋病扩散建立数学模型模型假设首

29、先对淋病的扩散给出如下三条假设：1. 男性患者被治愈的速率与其总数成比例，比例常数为；女性患者被治愈的速率与其总数成比例，比例常数为其中，这是因为男性患者很快就有痛苦的症状，因而会马上去寻求治疗，而女性患者通常没有症状，因此受感染的时间要长得多2. 男性群体中新增患者的速率与男性易受感染者和女性患者的总数成比例，比例常数为同样，女性群体中新增患者的速率与女性易受感染者和男性患者的总数成比例，比例常数为3. 男性性乱者总数与女性性乱者总数都保持不变模型建立与求解假设在时刻，为男性性乱者总数，为女性性乱者总数，为男性患者总数，为女性患者总数由此可知，易受感染的男性总数与易受感染的女性总数分别为与

30、由如上假设可得模型 ： （3.4.1）其中，初始条件为 ：， （3.4.2）注 模型（3.4.1）只考虑由异性间的性接触引起的淋病病例，至于同性间的性接触模型，将放在练习中讨论（有统计数据表明，由同性恋引起的淋病病例在总病例中所占比例较小）模型求解 以下将分三部分对模型（3.4.1）进行讨论 ，首先给出模型（3.4.1）正平衡态存在性条件；其次，讨论模型（3.4.1）的合理性；最后，利用几个引理得到模型（3.4.1）的渐进性态1正平衡态的存在性 为了研究模型（3.4.1）解的性质，先讨论模型正平衡态存在的条件令 ， 即 （3.4.3）由（3.4.3）可知，（3.4.1）有两个平衡态和，其中，

31、（3.4.4）由（3.4.4）式可得模型（3.4.1）有正平衡态的充要条件为：2模型（1）的合理性 为了说明模型（3.4.1）的合理性，必须证明与有界，且成立引理1 如果模型（3.4.1）满足条件（3.4.2），则，有证明 （反证法）假设，使得如下三种情形之一成立：，；无妨取前者成立由（3.4.1）的第一个方程得 ，因此，当时，即由零点存在定理知，使得，此式与是第一个使得的时刻矛盾其它两种情况同理可证引理2 如果，则，有，证明 （反证）假设，使得如下三种情形之一成立：，；无妨取，成立，计算（3.4.1）的第二个方程在处的值得，因此，当时，即由闭区间上连续函数的介值性定理可得，使得，此式与是第一

32、个使得的时刻矛盾其它两种情况同理可证3解的渐进性 现在讨论模型（3.4.1）对淋病将来的发展能有怎样的预测，这种疾病是迅速扩散而无法控制，还是最终平稳下来？下面给出的定理将回答这个问题定理 设与是模型（3.4.1）满足条件 ， （3.4.5）的解，则如下结论成立： 如果，则， 如果，则 为了利用定性理论证明该定理，首先给出如下准备工作 在（3.4.1）中分别令与可得两条曲线与分别为： 或 或因为，因此和皆为的严格单调递增函数，且其次注意到曲线和相交与和当时，因此，对于，曲线（或）位于曲线（或）的上方；对于，曲线位于曲线的下方（如图3.4.1所示）由如上分析可知，曲线与将矩形域：分成四个区域，分

33、别记为、和，使得在每个区域里与都有固定的符号图3.4.1为了证明该定理，需要给出如下四个引理引理3 如果（3.4.1）的任一解和在时刻从区域出发，则，和仍保持在该区域内，且当时，有证明 （反证法）假设（3.4.1）的解和在时刻离开区域，则和必与曲线或相交，即或无妨假定，通过对（1）的第一个方程两边关于求导得由引理2可知，因此，在达到极小值，但这种情形不可能发生，因为在区域，严格单调递增同理可证得另一种情况亦成立故在区域，和都是的严格单调递增函数，则，使得 （3.4.6）（3.4.6）式表明是（3.4.1）的平衡态又因为（3.4.1）的平衡态只有和，且，则有引理4 如果（3.4.1）的任一解和在

34、时刻从区域出发，则，和仍保持在该区域内，且当时，有引理5 如果（3.4.1）的任一解和在时刻从区域出发，则，和仍保持在该区域内，且当时，有引理6 如果（3.4.1）的任一解和在时刻从区域出发，则，和仍保持在该区域内，且当时，有注 因为引理4引理6的证明方法与引理3相同，故将其证明过程略去定理的证明1）由引理3引理6可知，（3.4.1）的任一解和在时刻从区域（=，）出发，则，和仍保持在该区域内，且当时，有再注意到（3.4.1）的解和一旦离开了区域或，它就必定要跨越曲线或，紧接着进入区域或，因此，从区域或内或曲线或上出发的（1）之任一解和必满足：综上结论，定理得证 图3.4.22） 如果，则曲线和

35、具有图3.4.2所示的形状在区域：；在区域：；在区域：容易证明，如果（3.4.1）的任一解和在时刻从区域出发，则，和仍保持在该区域内，且有也不难证明），如果（3.4.1）的任一解和在时刻从区域或出发，就必定要跨越曲线或，紧接着进入区域因此，模型（3.4.1）满足条件（3.4.3）的解具有如下结论：参数估计首先应当指出，要估计系数，和的值相当困难 这是因为对于表示女性感染期平均长度的（同样可解释为男性感染期平均长度），即使做粗略的估计也是不可能的，原因是多数女性没有明显的症状产生，女性感染期短时可以短到只有一天，长时会远远超过一年但是，从公共健康方面的调查数据表明还是有可能的 注意到其中可看成在

36、每个男性都是易受感染者的情况下，一个女性患者在其感染期里平均接触的男性个数同样，可看成在每个女性都是易受感染者的情况下，一个男性患者在其感染期里平均接触的男性个数和分别称为女性极大接触率和男性极大接触率 因此，所给定理就可以解释为： （a）如果女性极大接触率和男性极大接触率的乘积大于1，则淋病将趋于非零的稳定状态 （b）如果女性极大接触率和男性极大接触率的乘积小于1，则淋病会最终消失1973年，一个男性患者在期感染期内平均接触的女性个数为0.98；而一个女性患者在期感染期内平均接触的男性个数为1.15 这两个数分别作为男性极大接触率和女性极大接触率的近似值，其近似程度很好 由于，所以淋病将最终

37、趋于非零的稳定状态评注本节给出的淋病模型较为粗糙，因为它将所有的男性性乱者和所有的女性性乱者混为一谈，而不管他（她）们的年龄大小如果把男性群体与女性群体按年龄分组，考虑每一组里患者的变化情况，就能够建立一个更为精确的数学模型这项研究工作已经完成，但分析起来相当困难，无法在此详述需要指出的是，其所得结论与上述定理完全类似，即：或者在每个年龄组里淋病消失，或者在每个年龄组里病例数趋于一个正常数3-5 糖尿病诊断模型问题描述糖尿病是一种代谢疾病，临床表现为血液中和尿中含有过多的糖这是由于糖尿病人本身不能提供足够的胰岛素促使肝脏吸收体内多余的糖份引起的通常诊断早期糖尿病的方法是葡萄糖耐量检测GTT(G

38、lucose Telerance Test)做这种检查要求病人空腹一夜，到医院时先测量血糖G,再服用或注射大剂量的葡萄糖，在之后的3时5时内，定时对病人测量血糖若干次观察血糖曲线与标准曲线的偏差然而这种诊断的最大困难就是对标准曲线和偏差缺乏一个公认的标准为此60年代中期，Mayo诊所的医生Rosevear和Moluar以及美国明尼苏达大学博士Ackerman和Gatewood研究了血糖循环系统，并建立了数学模型从而为糖尿病的诊断提供了比较可靠的依据问题分析根据生物、医学知识，我们知道如下结论1在人体的代谢过程中，葡萄糖起着重要作用它是所有组织和器官的能量源泉，体内的血糖是以葡萄糖形式存在的，体

39、内有一个最佳的血糖浓度，过分偏离这个浓度，将会导致疾病或者死亡2血糖调节系统，指的是血糖浓度的变化在各种激素及其他代谢物质的影响和控制下的一个自我调节的过程 胰岛素，是由胰脏的细胞分泌产生的一种蛋白质激素血糖浓度增加及胃肠道消化食物将刺激胰腺的细胞分泌胰岛素，从而促进细胞、组织吸收葡萄糖以及促进多余的葡萄糖转变成糖原而存入肝脏 高血糖素，是由胰脏的细胞分泌产生的一种蛋白质激素我们知道剩余的葡萄糖是以糖原的形式存贮在肝脏内，需要时这些糖原又可以转化为葡萄糖，高血糖素增加糖原转化成为葡萄糖的速度 肾上腺素，是由肾上腺髓质分泌产生的一种激素它是某种应急机制的一部分，在极端低血糖时，增加糖原转化成葡萄

40、糖的速度并抑制细胞吸收葡萄糖和抑制胰脏分泌胰岛素，以便很快增加血液中的葡萄糖速度 另外还有其他的一些激素，如糖皮质素、甲状腺素、生长激素等于是就可以得到一个血糖调节系统的简化模型，如图 葡萄糖输入系统 葡萄糖组织吸收 肝 内分泌 激素 激素代谢 图3.5.1 血糖调节的简化模型其中，表示血糖浓度，表示激素浓度，它是有关激素的累积效应选用两个参数和来区别正常人与轻微的或前期的糖尿病患者，这是由于：(a) 医学研究表明，在正常或接近正常的情况下，胰岛素与血糖的相互作用十分占优势，以至于一个简单的浓度参数模型就可以代表血糖调节系统(b) 有证据表明，血糖含量是血糖调节系统的一个综合表现这个系统受着胰

41、岛素葡萄糖相互作用的控制模型假设根据上述医学知识，我们给出如下假设：1. 在血糖调节系统中，只考虑血糖浓度和激素浓度；2. 假定禁食人到达医院时，其体内的血糖浓度和激素浓度达到最佳值和，即平衡状态；3. 只考虑平衡状态处的小偏差；4. 血糖浓度 增加，将刺激激素浓度增加，从而促使体内吸收葡萄糖而降低血糖浓度反之，激素浓度增加将降低血糖浓度，最后导致激素浓度降低模型建立与求解根据假设1.，我们可以得到如下的方程组： (3.5.1)其中表示对血糖浓度变化的影响，是对激素浓度变化的影响，为做的外加葡萄糖的速率，可认为它是脉冲函数由假设2.，在检查之前有，体内的达到平衡状态，使得令则有 (3.5.2)

42、由假设3.，充分小，将在附近做泰勒展开，略去的高阶项，可得 (3.5.3)根据假设4.和血糖调节系统简图可以确定，的符号若取为外部输入的葡萄糖完全被吸收的时刻，则有,且当g0,h=0时，即血糖偏高，激素正常，偏高的血糖促使激素的分泌加速，使得多余的血糖以糖原的形式贮藏在肝脏里，从而导致血糖浓度降低，有, 故, 故；当时，正的值使得组织吸收葡萄糖，导致血糖浓度降低，有，故,另外，偏高的激素使激素代谢加快，从而使得血液中的激素浓度也降低，有,故于是（3.5.3）式可写成： (3.5.4)其中系数我们关心的是血糖浓度，于是从（3.5.4）式中消去变量,记因此有 (3.5.5)由于,故特征方程两根的实

43、部为负，因此当时，,即,这样，模型预言血糖浓度最终趋于最佳浓度，这点与实际情况一致如何利用这个数学模型来判断糖尿病呢？关键取决于的符号，和的处理情况类似，下面我们只讨论的情形，这时 (3.5.5) 的特征根为一对复根，记,则 (3.5.5) 的解可表示为：，整理可得,故 (3.5.6)模型的分析1. 参数估计(3.5.6) 式含有5个未知参数,为应用方便，给出两种确定参数值的方法(a) 在注入的葡萄糖吸收之前，病人的血糖浓度是,因此，病人一到医院立即测量血糖浓度，确定值，然后在四个时刻对病人的血糖浓度进行四次测量，则由四个方程就可以确定的值(b) 在不同的时刻对病人的血糖浓度进行次测量，得到观

44、测值利用非线性最小二乘法给出模型参数的估计要估计模型的参数，使得个观测的误差平方和达到最小用此方法得到的参数对所有的观测值总的拟合程度最好2. 灵敏度分析模型 (3.5.6) 式中，主要的参数有两个和，为血糖向平衡值衰减的速率，为血糖震荡的自然频率不难计算由此不难看出：(a) 在附近，对模型很敏感，微小的测量误差将导致的很大的偏差，因此测量值不宜在附近进行；(b) 无论参数对模型还是模型对参数都有反应十分敏感的时间区间因此包含参数的有关糖尿病诊断的指标是不可靠的这也是直接使用血糖曲线诊断糖尿病有时会失败的原因；(c) 模型对系统的自然频率的反应并不十分敏感因此它可以做为的基本指标对糖尿病进行诊

45、断3. 诊断指标根据上面的分析，通常使用系统的自然周期作为法诊断糖尿病的指标大量的观测结果表明，对于正常人来说时如果某人测得明显大于4时，将诊断为患有轻微的糖尿病它与通常人们两餐之间的时间间隔是互相吻合的这也许表明社会因素在人类血糖调节系统中起了作用模型讨论1. 这个模型只适用于诊断轻微的糖尿病或者发现糖尿病的前兆，因为在假设中，假设与平衡点的偏差很小，如果与平衡点的偏差过大，则通常表明患有严重的糖尿病，此模型失效2. 有时在注入的葡萄糖被吸收的3时5时，模型与数据不是很吻合，这就表明有其他的激素把在起作用，如肾上腺素，因此应该把肾上腺素与胰岛素分离出来，事实上，当葡萄糖降低至极端水平时，肾上

46、腺素会急剧上升，导致迅速下降，此时模型失效如图3.5.2所示图3.5.2 当时, 的曲线图3. 由于对肾上腺素的浓度不能精确测量，阻碍了研究工作的进一步开展，医学家已经发明了测量肾上腺素浓度的准确方法，可望建立更为准确的数学模型3-6 种群的相互竞争 问题描述种群是指在特定时间里占据一定空间的同一物种的有机体的集合当某个自然环境中只有一种生物种群生存时，常用Logistic模型来描述这个种群数量的演变过程如果一个自然环境中有两个或两个以上种群生存，那么它们之间就要存在着或是相互竞争，或是相互依存，或是弱肉强食的关系本节从稳定状态的角度讨论相互竞争的关系问题分析当两个种群为了争夺有限的同一种食物

47、来源和生活空间而进行生存竞争时，最常见的结局是竞争力较弱的种群灭绝，竞争力较强的种群达到环境容许的最大数量人们今天可以看到自然界长期演变成这样的结局例如一个小岛上虽然有四种燕子栖息，但是它们的食物来源各不相同因此，即使对C语言不太熟悉的用户也可利，一种只在陆地上觅食，另外两种分别在浅水的海滩上和离岸稍远的海中捕鱼，第四种则飞越宽阔的海面到远方攫取海味，每一种燕子在它各自的生存环境中的竞争力明显地强于其他几种本节要建立一个模型解释类似的现象，并分析产生这种结局的条件 当某个自然环境中只有一种生物种群生存时，常用Logistic模型来描述这个种群数量的演变过程即 (3.6.1)是种群在时刻的数量，

48、是固有增长率，是环境资源容许的种群最大数量由方程（61）可以直接得到是平衡点，即时模型建立与求解考虑两个种群竞争同一种有限资源的情形如果另一个种群不存在的话，针对食物资源是有限的，那么每个种群来说都可以使用Logistic模型去描述它的动态，其中是两个种群在时刻数量，是固有增长率，是环境资源容许的最大容量因子反映由于甲对有限资源的消耗导致的对它本身增长的阻滞作用，可解释为相对于而言单位数量的家消耗的供养甲的食物量（设食物总量为1） 当两个种群在同一自然环境中生存时，考察由于乙消耗同一种有限资源对甲的增长产生的影响，可以合理地在因子中再减去一项，该项与种群乙的数量（相对于而言）成正比，于是种群甲

49、增长的方程为 (3.6.2)其中的意义是：单位数量乙（相对于而言）消耗的供养甲的食物量为单位数量甲（相对）消耗的供养甲的食物量的倍类似地，甲的存在也影响了乙的增长，种群乙的方程应该是 (3.6.3)对可作相应的解释在两个种群的相互竞争中、是两个关键指标从上面对它们的解释可知，表示在消耗供养甲的资源中，乙的消耗多于甲，因而对甲增长的阻滞作用乙大于甲，即乙的竞争力强于甲，对可作相应的理解一般地说，与之间没有确定的关系，但是可以把这样一种特殊情形作为较常见的一类实际情况的典型代表，即两个种群在消耗资源中对甲增长的阻滞作用与乙增长的阻滞作用相同具体地说就是：因为单位数量的甲和乙消耗的供养甲的食物量之比

50、是，消耗的供养已的食物量之比是，所谓阻滞作用相同即，所以这种特殊情形可以定量地表示为 （3.6.4）即,互为倒数可以简单地理解为，如果一个乙消耗的食物是一个甲的倍，则一个甲消耗的食物是一个乙的为了研究两个种群互相竞争的结局，即时, 的趋向，不必要解方程（3.6.2）（3.6.3）（事实上也无法求出的解析表达式），只需对它的平衡点进行稳定性分析首先根据微分方程（3.6.2）（3.6.3）解代数方程组 (3.6.5)得到四个平衡点：因为仅当平衡点位于平面坐标系的第一象限时（x,x0）才有实际意义，所以对而言要求,同时小于1，或同时大于1按照判断平衡点稳定性的方法计算 将四个平衡点的结果及稳定条件列

51、入表表3.6.1 种群竞争模型的平衡点及稳定性平衡点稳定条件, , , 不稳定 为了便于对平衡点的稳定条件进行分析，在相平面上讨论它们 在代数方程组（3.6.5）中记对于, 的不同取值范围，直线和在相平面上的相对位置不同，下图给出它们的4种情形图3.6.1 平衡点稳定性的相平面分析下面对这4种情形进行分析1，对于有，稳定的稳定性可从时相轨线的趋向来分析，图3.6.1中和两条直线将相平面划分为3个区域： (3.6.6) (3.6.7) (3.6.8)可以证明，不论轨线从哪个区域出发，时都将趋向 若轨线从出发，由(3.6.6)可知随着的增加轨线向右上方运动，必然进入；若轨线从出发，由(3.6.7)

52、可知轨线向右下方运动，那么它或者趋向点，或者进入，但是进入是不可能的，因为如果设轨线在某时刻经直线进入，则，由方程(3.6.2)不难算出由 (3.6.7) ，(3.6.8) 知，故，表明在达到极小值，而这是不可能的，因为在中，即一直是增加的；若轨线从出发，由(3.6.8)可知轨线向左下方运动，那么它或者趋向点，或者进入，而进入后根据上面的分析最终也将趋向2类似的分析可知稳定3对于点，故稳定4对于点，故不稳定轨线或者趋向，或者趋向，由轨线的初始位置决定在这种情况下和都不能说是全局稳定的（它们只是局部稳定），正因为这样，所以全局稳定的条件需要加上，全局稳定的条件需要加上模型结果解释根据建模过程中,

53、 的含义，说明，点稳定在生态学上的意义1意味着在对供养甲的资源的竞争中乙弱于甲，意味着在对供养乙的资源的竞争中甲强于乙，于是种群乙终将灭绝，种群甲趋向最大容量，即趋向平衡点2情况与1正好相反3因为在竞争甲的资源中乙比较弱，而在竞争乙的资源中甲较弱，于是可以达到一个双方共存的稳定的平衡状态P，这是种群竞争中很少出现的情况4请读者做出解释生态学中有一个竞争排斥原理：若两个种群的单个成员消耗的资源差不多相同，而环境能承受的种群甲的最大容量比乙种群大，那么种群乙终将灭绝用本节的模型很容易解释这个原理将方程 (3.6.2) ， (3.6.3) 改写为原理的两个条件相当于 从这3个式子显然可得，这正是稳定

54、，即种群乙灭绝的条件习 题1利用表3.1.1给出的美国实际人口资料建立下列模型：（1）将时间分为若干段，分别确定增长率，从而建立分段的指数增长模型；（2）试变换一种方法确定固有增长率和最大容量，建立阻滞增长模型2假设人口增长服从如下规律：时刻的人口为，到时间内人口的增量与成正比（其中为人口的最大容量）是建立模型并求解作出图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较3 (1996年全国大学生数学建模竞赛题)鳀鱼的最优捕捞策略假设这种鱼分4个年龄组，称为1龄鱼，2龄鱼，3龄鱼，4龄鱼各年龄组每条鱼的平均重量分别为507，1155，1786，2299（克），各年龄组的自然死亡率为08（/年），这

55、种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为11091011（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵量n之比）为1221011/（1221011 + n） 渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月进行捕捞作业如果每年投入的捕捞能力（如渔船数，下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称捕捞强度系数通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0421渔业上称这种方式为固定努力量捕捞问题1：建立数学模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）问题2：某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力