蒙特卡洛方法及其在风险评估中的应用

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1、蒙特卡洛方法及其应用1 风险评估及蒙特卡洛方法概述77蒙特卡洛方法。蒙特卡洛方法，又称随机模拟方法或统计模拟方法，是在20世纪 40年代随着电子计 算机的发明而提出的。它是以统计抽样理论为基础，利用随机数，经过对随机变量已有数据 的统计进行抽样实验或随机模拟，以求得统计量的某个数字特征并将其作为待解决问题的数 值解。蒙特卡洛模拟方法的基本原理是：假定随机变量x、x2、X3X、丫，其中X、x2、123n12XX的概率分布已知，且X、X、XX 、 丫有函数关系：Y=F (X , X、XX丿，3n23n23n希望求得随机变量丫的近似分布情况及数字特征。通过抽取符合其概率分布的随机数列X、X , XX

2、带入其函数关系式计算获得丫的值。当模拟的次数足够多的时候，我们就可 23n以得到与实际情况相近的函数丫的概率分布和数字特征。蒙特卡洛法的特点是预测结果给出了预测值的最大值,最小值和最可能值，给出了预测 值的区间围及分布规律。12风险评估概述。风险表现为损损益的不确定性，说明风险产生的结果可能带来损失、获利或是无损失也 无获利，属于广义风险。正是因为未来的不确定性使得每一个项目都存在风险。对于一个公 司而言，各种投资项目通常会具有不同程度的风险，这些风险对于一个公司的影响不可小视， 小到一个项目投资资本的按时回收，大到公司的总风险、公司正常运营。因此，对于风险的 测量以及控制是非常重要的一个环节

3、。风险评估就是量化测评某一事件或事物带来的影响的可能程度。根据“经济人”假设， 收益最大化是投资者的主要追求目标，面对不可避免的风险时，降低风险，防止或减少损失， 以实现预期最佳是投资的目标。当评价风险大小时，常有两种评价方式：定性分析与定量分析法。定性分析一般是根据 风险度或风险大小等指标对风险因素进行优先级排序，为进一步分析或处理风险提供参考。 这种方法适用于对比不同项目的风险程度，但这种方法最大的缺陷是在于，在多个项目中风 险最小者也有可能亏损。而定量分析法则是将一些风险指标量化得到一系列的量化指标。通 过这些简单易懂的指标，才能使公司的经营者、投资者对于项目分风险有正确的评估与判断，

4、采取有针对性的措施，最终做出有利于公司的决策。2 蒙特卡洛方法在风险评估中的运用2.1 方法简介在定量分析法下，选取一个合适的量化指标是非常重要的。对于一般的项目投资而言， 项目投资回报是否能按时收回，项目是否能够为公司带来利润是决策者需要考察的问题，也 就是风险。在这种情况下，这一投资未来的收益（净现值或部收益率）以及其相对于预期的 偏离程度常常被用作衡量风险的指标。针对一个投资项目，影响未来收益的因素很多，例如，随着时间的推移，需要追加投 资数额可能会发生变化；在实业中，随着生产规模的扩大，可能出现规模经济或者规模不经 济，使得成本有所下降或上升；由于受到资金量限制，追加投资的量会受到项目

5、回报的影响， 若项目已实现的收益率达到某一标准后才继续投资，否则就退出市场。2.1.1 蒙特卡洛模拟的一般步骤蒙特卡洛模拟的一般步骤如下：1. 选取随机变量,即对净现值最敏感的变量。2. 确定随机变量的概率分布3. 为各随机变量抽取随机数4. 将抽得的随机数转化为各输入变量的抽样值5. 将抽样值构成一组项目评价基础数据6. 根据基础数据计算出一种随机状况下的评价指标值7. 重复上述过程，进行反复多次模拟，得出多组评价指标值8. 整理模拟结果所得评价指标的期望值、方差、标准差、概率分布及累计概率分布，绘 制累计概率图，同时，检验模拟次数是否满足预定的精度要求 根据上述结果，分析各随机 变量对项目

6、收益的影响。2.1.2 蒙特卡洛模拟结果的分析与应用根据所得的概率分布以及概率分布图，我们可以获得关于项目未来收益的一系列评价指 标，例如未来现金流的净现值的期望值、方差、标准差、净现值可能的区间以及概率。但是， 公司的决策者根据公司总体情况，需要综合考虑很多其他的因素，故在了解该项目风险指标 的基础上，可以根据公司现金流的需求状况、公司整体运营情况来决策。具体而言，首先，公司投资的回报需要用于弥补公司除成本外的各项费用开支，因此， 仅仅要求项目未来收益的现值为正还不能够使得公司盈利，决策者需要在了解总成本的基础 上确定一个收支相抵的净现值额，再结合模拟的结果进行决策。其次，对于一个公司而言，

7、公司可能同时有数个项目在运营中，决策者就需要考虑整个 公司所有项目之间的平衡。例如，公司的某一其他项目在未来的一时间点需要一笔现金投入， 这笔现金投入来源于我们目前考察项目的资金回收。为了保证公司资金链的流畅，就需要了 解项目资金回收的情况。2.2 模型改进2.2.1 输入变量关联性改进在项目评估中，可能有多个风险敏感变量会对目标变量造成影响，尽管蒙特卡洛方法可 以设置多个风险敏感变量，但是传统的蒙特卡洛方法不考虑变量之间的关系，那么对于部分 案例，我们就无法观察到风险敏感变量之间的关系。关联性改进就是通过研究风险敏感变量 之间的关系，试图将变量之间的关系嵌入模型，使得模型更加完善。最典型的例

8、子就是规模 效应。规模效应是指销售量或者产量与单位可变成本之间的关系，可以分为规模经济、规模不 变以及规模不经济。规模经济就是说随着销售量或者产量的增加，单位可变成本是呈现递减 的趋势；同样的，规模不经济就是单位成本随着销售量或者产量的增加而递增。2.2.2 伪随机数列的改进在软件Mat lab中，命令rand （丿可以用来产生0到1之间服从均匀分布随机数列，然 而这种随机数是根据一定的算法，如逆同余法、乘同余法、线性同余法等产生服从均匀分布 的随机数。但上述各方法均存在一定的不足，如高维不均匀性和长周期相关性现象，会导致 仿真收敛速度慢及结果波动大等一系列问题。基于上述原因，传统蒙特卡洛方法

9、往往会造成“空隙和簇”的现象，造成对采样空间的 搜索不充分。为了获得分布更加均匀的数列，可以采用分布更加均匀的拟随机数列，可以使 用精选的确定的样本点。而且由于拟随即序列的收敛速度要高于伪随机序列，它可以用较少 的样本数就可以达到相对高的精度。3 案例分析3.1 案例某饮料企业现准备开发一种新型果汁饮料的投资项目，其初始投资额为200万元 该项 目一旦投入运营后，第一年产品的销量是一个服从均值为 200 万件而标准差为 60 万件的 正态分布，根据这种产品的生命周期规律，第二年销量将在第一年的基础上增长 30%，而 第三年销量将在第二年基础上增长- 20%。三年每年还需投入固定成本100 万元

10、。新产品单 位可变成本为服从2到 4的均匀分配。商品零售价格为服从期望为4，方差为2的正态分布。 试分析此项目的风险。1考虑将项目投资后三年的现金流的净现值作为评估风险的依据，其中，净现值的计 算公式如下：NPV HfB-CA/+(- C)x 卩+卜 1i(W其中：B-年现金流入，C-年现金流出，i-贴现率，n-项目寿命周期，I-项目初始投资额。2对项目的已知数据进行简单整理，考虑金钱的时间价值，设年贴现率为10%。此例题只有一个变量，数据整理如下表：固定数值的输入参数初始投熒额(百万兀)2初始铠篁均值(自万件)2初始韜St标淮差(百力件)0.6镇售第二年贈解30%销售第二年贈长率-20%年固

11、定成卑(百万兀)1年贴现率10%变动数值的输入参数初始销堡(百万件、正态労帘单位可变感本(兀)2到4均匀分布(元)2至怕止态分布3、依据案例，设销售量为x。x服从均值为2，标准差为0.6的正态分布；零售价格 为加，服从期望为4，方差为2的正态分布；单位可变成本为，服从2到4的均匀分布。 写出目标函数：g=-I+ &(x)+ g2(x)+ g3(x)(1 +i) 一1第一年：&(x) = (m*x-1-n*x)* i(i + i)(1 + i)2 -1第二年：g2(x) = (m*x-1-n*x)* iQ*门2(1 + i)3 -1第三年：g3(x) = (mx-1-nx)* iQ*门34.按照

12、构建的模型，使用Mat lab进行编程、计算模拟、绘图。首先可以统计出所有模拟中的最值，期望和方差，如下表：特定净现值笆万说模拟浄现值均值角万兀）2.42百万次模拟淨现值栋谁差耳万兀）441.27-3万次模拟现值最夭頂【巨万兀）ISBk32百为次模拟淨现值叢小值（痔乃兀）-153.91其次画出概率分布图和累计概率图：概率分布图由上图可以看出, 在该饮料企业当前的运营情况和经济环境下 ,此项目投资的值大部分 都落在（0,1000000）区间,均值为2 .42百万元，净现值大于0的概率为53% ，净现值约为 10,000,000的概率约为33%，收益净现值达到20,000,000的概率约为18%，

13、这表明投资 项目的可行性比较高, 项目投资经济上基本是安全的。而且，此案例中所设定的年贴现率为 10%，这是一个非常高的费率，而往往年贴现率要远远低于这一水平，因此，这个项目是一 个比较具有投资价值的项目。3.2 案例改进3.2.1 输入变量关联性改进对于饮料项目而言，随着销量的增加，对于原材料的需求会增大，这使得企业在采购原 材料时能够降低成本，同时在进行生产时所耗费的各种费用分摊到单个产品后的单位成本就 会降低，这就是规模效应。在上述案例中，当销量小于800,000时，单位可变成本为3元，然而当销量大于800,000 后，销量每增加200,000，单位成本会降低0.2 元。假设单位可变成本

14、为n,销量为x,则随着销量的增加，他们之间的关系可以表达为：n=3-（x-0.8）/ 0.3）*0.2）。则数据表格变更为下表：固定数值的舟靑入参数初始投资额右万元）2初始销量均值百万件）2初始销量标准差（百万件）0. 6销售第二H决率30%销售第三匚增T怜率-20%左二固定成本（百万兀）1年贴现率10%变动数值的彳橋入参数销量（:百万件）正态分布单位可变成本（兀）随着销量降低的增加价格（元）2到如二态分布再进行模拟,统计出所有模拟中的最值,期望和方差,如下表：特定净现值一百万眈莫拟净现值均值【百万兀）11. 24一百万次,:莫拟淨现值方差白万兀）482. 70一百万次1復拟现值最大值（白万兀

15、）193. 00-百万次模拟浄现值最小值（白万兀-9&. 75其次画出概率分布图和累计概率图：僦卒疗布I勺： E：芒:.玉列L由概率分布图和累计概率图中我们可以看出，此项目的净现值主要落在(-5,000,000， 40,000,000)区间，均值为14.24 百万元，净现值大于0 的概率为 68%，接近70%，可以 说项目投资的整体风险较小，适宜投资。但是，对于饮料生产企业，前期需要大量的资金投 入用于采购生产线、开拓市场，但是在后期，尤其是产销量出现大幅增长以后呈现规模效 应，单位可变成本下降，同时市场占有率不断提高会使得后期的资金投入与产出比增加， 收益也会有所增加。3.2.2 伪随机数列

16、的改进在软件Mat lab中，使用命令rand (丿可以产生0到1之间的随机数，同时matlab中 还有很多其他产生随机数的命令，例如利用命令unidrnd (N丿可以产生均匀分布(离散丿 随机数，利用unifrnd(A,B)可以产生A,B上均匀分布的随机数。这两个命令都可以使得所 产生的随机数列分布更加均匀。4 总结蒙特卡洛模拟能够比较好的解决项目投资中现金流的随机性和不确定性，它能将财务 分析人员和项目决策人员从繁琐的数学计算中解脱出来，还能够在比较短的时间由计算机进 行多次数值模拟实验，提高决策人员的决策效率。但是由于蒙特卡洛模拟要求变量服从一定的概率分布，但是由于实际概率的分布不一 定是完全拟合某一分布律。这就要求市场调研人员在进行市场调查时能够获得尽量多、尽量 准确的初始数据，这样在对数据进行初步处理时，就能够得到更精确拟合概率分布，从而提 高蒙特卡洛模拟的效率。