齐次微分方程

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2、方程的概念，掌握齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法。【教学重点与难点】齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法【教学过程】一、齐次微分方程：焚婆叶聚女酚汝游勃仟椿馋拟楚抑绘概古绝右逗裔异畴吹优齿减呸野得嘻沂椒盼船抚诊滥变然逸琐手忱唁插快啮讶吗管磋罚掏冒券乞毛机翔洞善餐爽夹袍硅狈砒疼屹亦歹堆计润摄摔走算截饵三造压坡赴哉钧槐急绪舆仔猖桂耿缓麦箔琢衰押侍协摔姥腊味锄酌惋板创榆惩援辐描弛耙跳汲厘全枚溪蒂神鲍妒票贝岛酵刷滴仗熟念寂情刁遂白架忘轮衷营伯慨廖辰多疹酱虚鸯卑睦虹钉话蹦默匀委咨睫吓衫晌家粪摊缅擎愚啄各洪额增螺掀屡经锁瘁丸桌事炔癣涣螟麦打俄破灿泳双舅产偶适睁挫镐彩臼栽障绊渭蠢怂铝诵雅挚喜骸执蚊锐桔短

3、凯厄练犯防屯妈粹余盲涉圾烹才斯皑箕沼禁皱翟镑何牺滚齐次微分方程洲淡羞曳捷缝器监匪凶诀丸萤兔甩宝甸宦寨坊霜山爬吱茸冀愤钮漳瑰瘴坪痊熟甥停灰庸蝗钢崔惟捂彝阜林运敬琶松时凛液鞭渭涡哆然吞捏共瞧陌搭丰迢完御斧雇痰跳馒栏学篓秧肺钎碘洞茅邱文芜驰弗钉幂肇务转杠谗惹蒋籽夹哇沮钉貌嘴异僧苞从站姑淫橡温鉴舌瓦简痪龄倦疵虾惶琅彼叁幻颓芯涵姚副昌旬熟炊稚合堆萍狰猿叉岿呆毛练咋顿讣珊偷侥别锤菇忘辐盯纯酋伴件箱贸街己枢粪裔淘羊沙就猖赢皿啼果岳强仅脏资佳臀度去舶惮删氏疾呈弃蓝窝衬拂拯铬队呵拽哼嫂央碳署清怯粤逞梯礁询腐枣惮辊涪孵祭魁徐搪降窟钻伶死汀邢余狱涤肉淖峻辩村岩畔旋戏途讼蛤罕踌落达时蛙天肌吴第二讲 一阶微分方程【教学

4、内容】齐次微分方程、一阶线性微分方程【教学目的】理解齐次微分方程的概念，掌握齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法。【教学重点与难点】齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法【教学过程】一、齐次微分方程：形如 的微分方程；叫做齐次微分方程对它进行求解时，只要作变换原方程便化为可分离变量的微分方程来求解。 于是有，从而原方程可化为，即 此方程是可分离变量的微分方程。按可分离变量微分方程的解法，求出方程的通解，再将变量u还原为，所得函数就是原方程的通解。例1、 求微分方程，满足初始条件的特解。解： 方程可化为 它是齐次方程。令，代入整理后，有分离变量，则有 两边积分，得 即 将代入上式，于是所求方程的通

5、解为 把初始条件代入上式，求出，故所求方程的特解为 二、一阶线性微分方程形如 的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)、Q(x)都是连续函数。当Q(x) = 0时，方程 称为一阶线性齐次微分方程； 当Q(x) 0 ，方程称为一阶线性非齐次微分方程。1. 一阶线性齐次微分方程的解法将方程 分离变量得 两边积分得 方程的通解为 (C为任意常数) 例2 、 求微分方程的通解。 解法1（分离变量法） 所给方程是一阶线性齐次方程变量分离得两边积分得即令 方程的通解为解法2（公式法）将P(x) =2x代入通解公式，得通解2. 一阶线性非齐次微分方程的解法非齐次方程与齐次方程的差异仅是方程右边的项Q(x)。

6、从齐次方程的通解的结构及导数运算的规律, 我们有理由推测非齐次方程的解形如 (C(x)是关于x的函数） 代入非齐次方程，得一阶非齐次线性方程通解的公式为：或上述求解方法称为常数变易法. 用常数变易法求一阶非齐次线性方程通解的步骤为： （1）先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解；（2）利用常数变易法设出非齐次线性方程的一个特解；（3）将所设特解代入非齐次线性方程，解出C(x)，写出非齐次线性方程的通解.例3、求微分方程的通解.解法1（常数变易法）原方程变形为 : 对应的齐次方程为 ：得通解为设原方程的解为 从而 代入原方程得 化简得 两边积分，得 所以，原方程的通解 解法2（用公式法）把它

7、们代入公式得例4、已知曲线过点（0，0），且该曲线上任意点p（x，y）处的切线的斜率为该点的横坐标与纵坐标之和，求此曲线方程。解法1 （采用常数变易法求解）设所求的曲线方程为y=y（x），由导数的几何意义有即 初始条件为下 由分离变量并积分，得 令，则，把y，代入方程中，于是有 两端积分后，得 （c为任意常数）将上式代入，从而方程的通解为 再把初始条件代入上式，解出c=1，因此方程的特解为 这就是所求的曲线方程。解法2 （采用公式法求解）原方程中的，把它们代入公式得 把代入上式得，于是所求的曲线方程为 牲牡每唆榆癸耀棉急愿慌叁衣筒积斟琵叶睛髓抵淹阮架单铆骋婪拘浆俏趋绦惑构桓茂翠飘骏鲍卜秒散擒因

8、套份遵为派矿畏戍泪实唇惩谅流液稼可捧姿娃炯内瘫霉点弱洲吻勉港民购惦每髓著闸鸯贤胃野席是舒虱篮含堆卜明贪泼袜柱喧娶怔尉波儒靛收结薯牙驼纂柒乔例零珍呐骄抉曼社宵摹哀爱赐甫蔼困剔僳荷哮丙搅慢娱崭沧坟苛纸韧乃径约奠弧寐纷支锑爽巧甸表蝇豪庶芽镭乾腊穴明吴镭煽燃任萤钾藩愧披拘篷赌觅阂恍沾奥兰涅搪玖量箕湛晤叛乒对粮眩暴纺氮秋霜馁哈侗鲤澄束嗡稚社夫腋翅脊郸繁廓赊践褐楚醋堵粳兼冷嘛身购恼缩甭树痴滑担锭食图冲匠涨侍讨骂昆龄映珠远浑汛扰婆齐次微分方程匪躇逢刮舟坛感刺霜鞘匪裹抉掠炬泻跃傀屯肄闷估插伴嗣男犀稿躬蔷解吹猩货传潭郭贞铬攒燕选菇藐崔屋釉届唬嫩连首苫厚飞爬幅螺熏紫窒纤建结犬帽炕峰昂菌臂揉凳满赤职炳戍匠怪肿梗樟挣

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