量子力学周世勋课后答案第一二章

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1、量子力学课后习题详解第一章 量子理论基础1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长与温度T成反比，即T=b（常量）；并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。解 根据普朗克的黑体辐射公式， （1）以及 ， （2）， （3）有这里的的物理意义是黑体内波长介于与+d之间的辐射能量密度。本题关注的是取何值时，取得极大值，因此，就得要求 对的一阶导数为零，由此可求得相应的的值，记作。但要注意的是，还需要验证对的二阶导数在处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的就是要求的，具体如下： 如果令x= ，则上述方程为这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是

2、平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有把x以及三个物理常量代入到上式便知这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。1.2 在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。解：根据德布罗意波粒二象性的关系，可知。所考虑的粒子是非相对论性的电子（动能），满足，因此利用非相对论性的电子的能量动量关系式，有在这里，利用了，。最后，对 作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的

3、波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。自然单位制： 在粒子物理学中，利用三个普适常数（光速c，约化普朗克常数,玻耳兹曼常数k）来减少独立的基本物理量的个数，从而把独立的量纲减少到只有一种（能量量纲，常用单位eV）。例：1nm=5.07/keV，1fm=5.07/GeV，电子质量m=0.51MeV. 核子（氢原子）质量M=938MeV，温度.1.3 氦原子的动能是（k为玻耳兹曼常数），求T=1

4、K时，氦原子的德布罗意波长。解：根据 ，知本题的氦原子的动能为显然远远小于这样，便有 这里，利用了。最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT，这样，其相应的德布罗意波长就为 据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就不能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布玻色分布或费米公布。1.4 利用玻尔索末菲的量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量；解：玻尔索末菲的量子化条件为： 其

5、中q是微观粒子的一个广义坐标，p是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n是正整数。（1）设一维谐振子的劲度常数为k，谐振子质量为m，于是有这样，便有 这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据谐振子在最大位移处p=0，可解出 。这样，根据玻尔索末菲的量子化条件，有 为了积分上述方程的左边，作以下变量代换：这样，便有 。能量间隔 最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的

6、波长最大是多少？解：关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去计算，修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不需要用那么高深的知识去计算，具体到本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时，转化为正负电子对所需的能量最小，因而所对应的波长也就最长，而且，有此外，还有 于是，有 尽管这是光子转化为电子的最大波长，但从数值上看，也是相当小的，我们知道，电子是自然界中最轻的有质量的粒子，如果是光子转化为像正反质子对之类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上告诉我们，当

7、涉及到粒子的衰变，产生，转化等问题，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。第二章波 函数和薛定谔方程2.1证明在定态中，几率流与时间无关。证：对于定态，可令，得 可见无关。2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： 说明表示向外传播的球面波，表示向内(即向原点) 传播的球面波。解：在球坐标中所以，。 同向，表示向外传播的球面波。 反向，表示向内(即向原点) 传播的球面波。2.3一粒子在一维势场 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。补充：设已知t=0时刻波函数为，求 。解：无

8、关，是定态问题。其定态S方程 在各区域的具体形式为 ： ： ：由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必须 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为 令，得 其解为 根据波函数的标准条件确定系数A、B，由连续性条件，得 由归一化条件 得 由三角函数正交性 可见E是量子化的。对应于的归一化的定态波函数为 补充：粒子的一般含时波函数为，在t=0时刻所以，综上得任意时刻粒子波函数为 2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是 证： 2.6-14）由归一化，得 归一化常数 2.5 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。解：一维谐振子第一激发态的波函数 ，。得几率密度为 对其微

9、分得 由极值条件，令 ， 可得 由的表达式可知，时，。显然不是最大几率的位置。而 即 可见是所求几率密度最大的位置。 #2.6在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为 将式中的代换，得 利用，得 比较、式可知，满足同样的S-方程，都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。如果体系不存在简并，它们描写的是同一个状态，因此之间只能相差一个常数。方程、可相互进行空间反演 而得其对方，由经反演，可得， 由再经反演，可得，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 乘 ，得 可见，即 当时，具有偶宇称，当时，具有奇宇称。 如果

10、体系存在简并，对做线性组合：根据叠加原理，也满足S-方程，且满足，具有偶宇称，具有奇宇称。S-方程的定态波函数可以表达为（偶宇称）和（奇宇称）的叠加形式。综上，当势场满足时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。#2.7 一粒子在一维势阱中运动， 求束缚态()的能级所满足的方程。补充：取电子质量，势阱深20eV，a=0.5nm，给出基态（和第一激发态）能级的数值结果并作波出函数和概率密度的图。解法一：粒子所满足的定态S-方程为 按势能的形式分区域的具体形式为 ： ： ： 整理后，得 ： ：. ： 令 则 ： ：. ： 各方程的解为 由波函数的有限性，有 因此 由波函数的连续性，有 整理(10)、(1

11、1)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得 解此（四元一次）方程即可得出B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式。注意，系数依赖于未定常数E，即该方程为数学上的本征方程。要方程组有非零解，必须系数矩阵的行列式为零 即 为所求束缚态能级(E)所满足的方程。注意 都依赖于E，做出函数的图，其中束缚态要求0EU0，其零点即给出本征能量E的解。能级的特点：U0较小（1/a）且无论多小时，存在且只存在1个束缚态，随U0的增大，束缚态数增加。由于本征方程的解不定，可以差一个常系数，取B为自由量，将其余系数矩阵（部分）化为（消元法）所以由B及前三个方程可得（注第四个方程和前三个是自洽的） 即粒子的波函数为 B可由波函数的归一化得出。#