曲线和曲面PPT课件

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1、第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 第第 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 4.1 曲线和曲面的根底知识曲线和曲面的根底知识 4.2 常用参数曲线常用参数曲线 4.3 常用参数曲面常用参数曲面 习题习题 第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 4.1 曲线和曲面的根底知识曲线和曲面的根底知识 4.1.1 曲线及其参数表示 1.参数曲线的分类 曲线分为规那么曲线和拟合曲线(不规那么曲线)两大类。所谓规那么曲线就是具有确定描画函数的曲线,如直线、圆锥曲线等。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 2.参数曲线的定义 如图4.1所示,对于三维空间上延续的单值参数曲线可定义为 10)()()(

2、ttzztyytxx 它是三维空间上的一个有界点集,t=0和t=1分别为参数曲线的两个端点参数。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 图 4.1 参数曲线及其几何量 BTP(t)t 1t 0Nzxy0第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 3.参数曲线的几何量 以下的几何量表示图参见图4.1。1)位置矢量 对于三维参数曲线,曲线上任一点的位置矢量(即其坐标),可用矢量P(t)表示 P(t)=x(t)y(t)z(t)第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 2)切矢量 对于三维参数曲线,曲线上任一点的切矢量可用矢量P(t)表示,P(t)=x(t)y(t)z(t)。其大小反映了曲线关于参数t

3、在该点处的变化速度,其方向趋于该点的切线方向。对于普通参数t,假设|dP/dt|0,那么有 tstPtPTtPtPT/dd/ddddd/d/dd对于弧长参数s,通常称矢量T为单位切矢量。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 3)曲率 设以弧长s为参数,那么参数曲线上任一点的曲率定义为k=|dT/ds|。因此)(d),(dd22sPdsPksPtPT 即 21222222222ddddddszsysxk称=1/k为曲率半径。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 4)法矢量 上述讨论中T是单位切矢量,dT/ds是一个与T垂直的矢量。将与dT/ds平行的单位矢量记作N。对于空间的参数曲线,一

4、切垂直于切矢量T的矢量都是法矢量。因此,曲线上某一点处就有一束法线,它们在一个平面上,我们称此平面为曲线在该点处的法平面,而把平行于矢量N的法线叫作曲线在该点的主法线,N称为单位主法线矢量。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 矢量积B=TN,是一个与T和N垂直的矢量。把平行于矢量B的法线叫做曲线的副法线,B称为单位副法线矢量。T、N和B是三个相互垂直的单位矢量,构成了曲线在该点处的直角坐标系,它在曲线给定点上决议了三个根本方向。经过曲线上这个给定点,把由矢量T和N张成的平面称为亲密平面,把由矢量N和B张成的平面称为法平面,把由矢量B和T张成的平面称为化直平面。第第 4 4 章章 曲线和曲

5、面曲线和曲面 5)挠率 仍设以弧长s为参数,那么参数曲线上任一点的挠率定义为=|dB/ds|,它反映了曲线在该点处扭出其亲密平面的速率。对于平面曲线,亲密平面就是曲线所在的平面,其副法矢量是固定不变的,有dB/ds=0,因此,确定曲线为平面曲线的充要条件是,曲线上恣意点处的挠率等于零。对于非平面曲线,矢量B不再是常数,它阐明了曲线在该点处的扭挠性质。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 4.参数曲线的代数方式和几何方式在以下的讨论中,以三次参数曲线为例。三次参数曲线的代数方式是x(t)=a3xt3+a2xt2+a1xt+a0 xy(t)=a3yt3+a2yt2+a1yt+a0yz(t)=a

6、3zt3+a2zt2+a1zt+a0z t0,1 第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 其矢量表示式为 P(t)=a3t3+a2t2+a1t+a0 t0,1 (4-1)其中,a3、a2、a1、a0是其代数系数矢量,它们独一地确定了一条曲线的外形和位置。因此,只需a3、a2、a1、a0确定,该三次参数曲线也就独一地确定了。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 为了确定a3、a2、a1、a0,我们可以选择端点矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率等几何量作为条件。假设知两个端点矢量分别为P(0)和P(1),端点切矢量分别为P(0)和P(1),下面我们来确定a3、a2、a1、a0。由式(4-1)得

7、 P(t)=3a3t2+2a2t+a1 (4-2)第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 将上述的知条件代入(4-1)式和(4-2)式得P(0)=a0P(1)=a3+a2+a1+a0P(0)=a1P(1)=3a3+2a2+a1第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 由上述方程组可求得 a0=P(0)a1=P(0)a2=-3P(0)+3P(1)-2P(0)-P(1)a3=2P(0)-2P(1)+P(0)+P(1)第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 令P0=P(0),P1=P(1),P0=P(0),P1=P(1),将a3、a2、a1、a0代入式(4-1)得 P(t)=(2t3-3t2+1

8、)P0+(-2t3+3t2)P1 +(t3-2t2+t)P0+(t3-t2)P1 t0,1 (4-3)令F1=2t3-3t2+1,F2=-2t3+3t2,F3=t3-2t2+t,F4=t3-t2,那么式(4-3)可写为 P(t)=F1P0+F2P1+F3P0+F4P1 (4-4)第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 由于F=F1 F2 F3 F4可以写成012301001111100000010100123311221123MTMtttF 那么P=FB可表示为P=TMB，并且A=MB,B=M-1A。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 5.重新参数化 如图4.2所示,设曲线的原参数为t

9、,其两个端点参数分别为ti和tj,几何系数矩阵为B1=Pi Pj Pi PjT,曲线的新参数为w,其两个端点参数分别为wi和wj,几何系数矩阵为B2=Ri Rj Ri RjT。由于端点位置矢量不变,因此有Ri=Pi,Rj=Pj。为了保证曲线切矢量的方向不变,且参数化的方程仍为三次,那么w和t必存在线性关系,令w=at+b,于是有 batbatjjii第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 图 4.2 曲线重新参数化 tiitjj第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 由此求得 jijiijjijittttbtta,由于PttaPttPPRjiji/dd/dddd 所以重新参数化后的曲线与原

10、来曲线的几何系数之间的关系是jjijijijijiijjiiPttRPttRPRPR,第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 6.参数曲线的截断、分割、拼接 1)参数曲线的截断 如图4.3所示,一条参数曲线在ti和tj处被截断,仅取从ti到tj的一段作为新的曲线。它相当于对该曲线重新参数化,使得ti对应于w0,tj对应于w1。由于w1-w0=1,因此截断后的参数曲线的几何系数矩阵B=R0 R1 R0 R1T，其中R0=Pi,R1=PjR0=-(ti-tj)PiR1=-(ti-tj)Pj第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 图4.3 参数曲线的截断tj1t 1ti0t 0第第 4 4 章章

11、 曲线和曲面曲线和曲面 2)参数曲线的分割 当一条参数曲线被分割成具有恣意长度的n条新的参数曲线时,假设其中第i段曲线的边境条件和参数由Pi,Pi,ti给出,那么第i段曲线重新参数化后的几何系数矩阵为TiiiiiiiiPttPttPPB)()(1111 假设一条参数曲线被等分成n段曲线,即参数变量的间隔是相等的,那么第i段曲线的几何系数矩阵为TninininiPnPnPPB1111第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 3)参数曲线的拼接 参数曲线的拼接是指把几条参数曲线段衔接在一同,构成一条新的参数曲线,假设知两条参数曲线的几何系数为B1和B2,将B1,B2拼接成一条新的参数曲线,其几何系

12、数为B3,令TTPPPPBPPPPB)1()0()1()0()1()0()1()0(2222211111第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 由于B3的端点必需与B1和B2重合,因此有P3(0)=P1(0),P3(1)=P2(1)。再者,B3在端点的切矢量和B1、B2一样,即有)0()0()1()0()0()0(223113PPbPPPaP第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 所以B3的几何系数矩阵是TPPbPPaPPB)0()0()0()0()1()0(2211213其中,a、b0,经过a,b的变化来改动B3曲线的内部外形。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 曲线在拼接时,为了

13、到达整条光滑要求,在衔接点处应满足拼接条件,我们称之为曲线段间的几何延续性,它常有如下几种:(1)位置延续,用G0表示。(2)斜率延续,用G1表示。(3)曲率延续,用G2表示。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 7.有理参数曲线 有理参数曲线是基于齐次坐标(参见5.1.1节)的参数曲线。在齐次坐标空间定义的参数曲线可写成 P(t)=X(t)Y(t)Z(t)W(t)T 该齐次坐标空间的点映射到三维空间,那么有)()()(,)()()(,)()()(tWtZtztWtYtytWtXtx第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 由此可知,对于任何无理参数曲线均可经过添加W(t),使之变为有理参

14、数曲线。例如,在齐次坐标空间中Hermite曲线的代数式为xw=a3xt3+a2xt2+a1xt+a0 xyw=a3yt3+a2yt2+a1yt+a0yzw=a3zt3+a2zt2+a1zt+a0zw=a3wt3+a2wt2+a1wt+a0w第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 将其映射到三维空间,有 012233012233012233012233012233012233)()()(aatataatatatatzaatataatatatatyaatataatatatatxxzzzzxyyyyxxxxx第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 总的来说,采用有理多项式曲线有以下优点:(1)

15、添加了控制曲线外形的自在度。(2)有理参数多项式具有几何和透视投影变换不变性。(3)用有理参数多项式可准确地表示圆锥曲线、二次曲面,进而一致几何外型算法。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 8.构造曲线的方法 插值、逼近是构造拟合曲线的重要方法。1)插值 所谓插值是指给定函数f(x)在区间a,b中互异的n个点(xi,f(xi)(i=1,2,n),要求构造一个函数(x)去逼近f(x),且要求(xi)=f(xi)(i=1,2,n)。(x)称为插值函数,(xi,f(xi)(i=1,2,n)称为插值节点或型值点。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 线性插值就是给定函数f(x)的两个不同的点

16、(x1,y1)和(x2,y2),构造一个线性插值函数(x)=ax+b近似替代函数f(x)。根据插值的定义可以确定系数a和b,因此可得线性插值函数为21211212)(yxxxxyxxxxx第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 抛物线插值是指给定函数f(x)的三个互异点(x1,y1)、(x2,y2)和(x3,y3),构造一个抛物线插值函数(x)=ax2+bx2+c。同样,根据插值的定义可以确定系数a、b和c,那么抛物线插值函数为323232123212321312132)()()()()()()(yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxx第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面

17、 2)逼近 插值方法构造的插值函数的次数与插值点的个数有关,当插值点太多时,构造插值函数是相当困难的,并且,过多的插值点也会带来一定的误差。而逼近方法构造的多项式函数与型值点的个数无关。逼近的方法很多,最常用的有最小二乘法。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 4.1.2 曲面及其参数表示 1.曲面的分类 曲面也分为规那么曲面和拟合曲面(不规那么曲面)两大类。规那么曲面就是具有确定描画函数的曲面,如圆柱、圆锥、圆球等回转曲面、螺旋面等。由离散特征点构造函数来描画的曲面称为拟合曲面,也称自在曲面。如Coons曲面、Bzier曲面、B样条曲面等。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 2.参

18、数曲面的定义 和曲线一样,虽然曲面也有显式、隐式和参数表示,但是在计算机图形学上,参数曲面更便于用计算机表示和构造。如图4.4所示,一张矩形域上的由曲线边境包围具有一定延续性的、单值的曲面片的参数方程为1,0,),(),(),(uuzzuyyuxx其中，u,w为参数。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 图 4.4 参数曲面片及其几何量 P01P00P10uijPP11ijPNiju 0 0z0 xyu 1 1第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 3.描画参数曲面的几何量 以下的几何量表示图参见图4.4。1)位置矢量 曲面片上任一点的位置矢量可表示为 P(u,w)=x(u,w)y(u,

19、w)z(u,w)。设曲面片上某一点的参数分别为ui和wj,那么该点可表示为P(ui,wj),简记为Pij。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 2)角点 一张矩形域上的曲面片的四个角点分别是P(0,0)、P(0,1)、P(1,0)、P(1,1),分别简记为P00、P01、P10、P11。3)边境限 一张矩形域曲面片的四条边境限分别是P(u,0)、P(u,1)、P(0,w)、P(1,w),分别简记为Pu0、Pu1、P0w、P1w。4)切矢量 在曲面片上一点Pij处的u向切矢为Puij,w向切矢为Pwij。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 5)法矢量 在 曲 面 片 上 一 P i j

20、 处 的 法 矢 量 为N(ui,wj),简记为Nij。6)扭矢量 在曲面片上一点Pij处的扭矢量为Puwij。ijuijijuijjiPPPPuN),(第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 4.参数曲面的代数方式和几何方式 在以下的讨论中,以双三次参数曲面片为例。双三次参数曲面片是由两个三次参数变量u、w定义的曲面片,其边境限为三次参数曲线。其代数方式是1,0,),(3030uuauPijjiij第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 可用矩阵表示为P=UAWT,其中 112323WuuuU00010203101112132021222330313233aaaaaaaaaaaaaaaa

21、A第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 图 4.5 由边境参数定义的双三次参数曲面 01Pu01PP1111Pu11Pu10PP10 0u 1u 0P0000Pu00P10P 1P01第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 5.参数曲面的重新参数化 如图4.6所示,图4.6(a)所示曲面片的参数区间是从ui变到uj和从wk变到w l,其几何系 数矩阵是B1,图4.6(b)所示曲面片的参数区间是从ti变到tj和从vk变到vl,其几何系数矩阵是B2。ujlujkujlujkuiluikuiluikjljkjljkilikilikujlujkujlujkuiluikuiluikjljkjljk

22、ilikilikQQQQQQQQQQQQQQQQBPPPPPPPPPPPPPPPPB21,第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 图 4.6 参数曲面的重新参数化 QilQjlQjkQikP00(Pik)P10(Pjk)P01(Pil)ujkPt tiP11(Pjl)v vlt tj(a)(b)klu uju uiikPv vk第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 由于这两张曲面片的位置不变,因此角点位置应重合,即Qik=Pik,Qil=Pil,Qjk=Pjk,Qjl=Pjl。假设要保证重新参数化后的曲面片的参数方程仍是双三次方程,那么要求u和t,w和v之间应是线性关系,即有uklijk

23、lijtklklvijijtpttuuqpqttuuq)()(,第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 6.参数曲面的分割 如图4.7所示,设给一张参数曲面片,其几何系数矩阵为B1,假设在其上分割出一张子曲面片,其几何系数矩阵为矩阵B2,它的边境是由ui、uj及wk、wl定义的参数曲线。子曲面片的四个角点:Q00=Pik,Q10=Pjk,Q01=Pil,Q11=Pjl。令t1-t0=1,v1-v0=1,那么子曲面片的四个角点的切矢和扭矢分别为第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 PjkP10PikP00P01P11Pjlujuiv 1t 1t 0v 0ktPil图4.7 参数曲面的分割

24、第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 ujlklijtuilklijtuikklijtuikklijtilkluilijtilkluilijtjkklujkijtikkluikijtPuuQPuuQPuuQPuuQPQPuuQPQPuuQPQPuuQPQPuuQ)(,)()(,)()(,)()(,)()(,)()(,)(110100001111010110100000第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 7.曲面片间的延续性 构造曲面时,人们经常用假设干张曲面片拼合成一张曲面。为了到达整张曲面光顺的要求,在衔接点处应满足下面的延续性要求。(1)位置延续,用G0表示。即两曲面片在衔接处的

25、边境应一致。(2)斜率延续,用G1表示。即两曲面片在衔接处的切平面方向应坚持一致。8.曲面的光顺 曲面通常用两簇相交的网格线来表示,只需空间网格线光顺就以为曲面是光顺的。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 4.2 常用参数曲线常用参数曲线 4.2.1 Bzier曲线 Bzier曲线是法国雷诺汽车公司的工程师Pierre Bzier于1962年提出的,它将函数逼近同几何表示结合起来,目的在于使设计师在计算机上能得心应手地绘图。Bzier曲线在各种CAD系统中有广泛的运用。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 假设给出n+1个控制点的位置矢量Pi(i=0,1,2,n),那么n次Bzier

26、多项式函数为 (4-5)10)()(0,uuBPuCninii第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 由控制点Pi(i=0,1,2,n)中相邻两点的连线构成的折线集称为Bzier特征多边形。Bzier曲线的外形逼近于特征多边形的外形,起点和终点与多边形的起点、终点重合，且多边形的第一条边和最后一条边表示了曲线在起点和终点处的切矢量方向。Bi,n(t)是Bernstein基函数,也是Bzier曲线的调和函数。Bzier曲线的性质由它的调和函数所决议。nittininttCtBiniiniinni,2,1,0)1()!(!)1()(,如图4.8所示的是一条三次Bzier曲线。第第 4 4 章章

27、曲线和曲面曲线和曲面 图 4.8 三次Bzier曲线 P1P0P3P2第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 1.Bernstein调和函数的性质1)正性1,3,2,1)1,0(1.000)(,nitttBni并且)1,0(0)0()1(1)(),(01)1()0(,0,0,0tBBtBtBBBnnnnnnnnn第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 2)权性 1,01)(,0ttnBini现实上 1)1()1()(00,nniiininninittttCtB第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 3)对称性 Bi,n(t)=Bn-i,n(1-t)i=0,1,2,n 现实上 Bn-i,n

28、(1-t)=Cn-in1-(1-t)n-(n-i)(1-t)n-i =Cinti(1-t)n-i=Bi,n(t)第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 4)递推性 Bi,n(t)=(1-t)Bi,n-1(t)+tBi-1,n-1(t)i=0,1,n 现实上 Bi,n(t)=Cinti(1-t)n-i=(Cin-1+Ci-1n-1)ti(1-t)n-i =(1-t)Cin-1ti(1-t)(n-1)-i+tCi-1n-1(1-t)(n-1)-(i-1)ti-1 =(1-t)Bi,n-1(t)+tBi-1,n-1(t)第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 5)导函数 Bi,n(t)=nBi-

29、1,n-1(t)-Bi,n-1(t)i=0,1,2,n 现实上 Bi,n(t)=nCi-1n-1(1-t)n-iti-1-nCin-1(1-t)n-i-1ti =nBi-1,n-1(t)-Bi,n-1(t)第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 2.Bzier曲线的性质1)端点性质(1)端点位置矢量。Bzier曲线的两个端点分别为C(0)、C(1)。)0()0()0()0()0(,11,000,nnnnnniniiBPBPBPBPC根据Bernstein调和函数正性可知:C(0)=P0,同样可得:C(1)=Pn。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 (2)切矢量。由于)()()()()(

30、)(1,0101,1,10,tBPPntBtBPntBPtCniiniininininiinii第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 所以)()1()()1()()1()()1()()1()()0()()0()()0(11,111,1121,001011,111,1121,001nnnnnnnnnnnnnnPPnBPPnBPPnBPPnCPPnBPPnBPPnBPPnC第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 (3)曲率。由于)()2()1()(2,1202tBPPPnntCniiinii 所以 C(0)=n(n-1)(P2-2P1+P0)C(1)=n(n-1)(Pn-2Pn-1+Pn-2

31、)第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 图 4.9 Bzier曲线的对称性*n0PP*n11PP*n 11 PP*0nPP 第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 2)对称性 如图4.9所示,假设坚持原Bzier曲线的全部控制点Pi位置不变,把其次序颠倒得到新的特征多边形的顶点,即P*i=Pn-i,(i=0,1,n);那么新Bzier曲线外形不变,只是走向相反。)10()1()1()()()(,0,00,0ttBPtBPtBPtBPtCniniininniinniniinninii第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 3)凸包性 由于 且0Bi,n(t)1,0t1,i=0,1,n;这

32、阐明,对某个确定的t值,C(t)是特征多边形各顶点Pi的加权平均,权因子依次是Bi,n(t)。反映在几何图形上,C(t)是Pi各点的凸线性组合,并且曲线上各点均落在特征多边形的凸包围之中。1)(0,tBnini第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 4)几何不变性 0t1，参变量u是t的置换 这阐明Bzier曲线的位置与外形不依赖坐标系的选择。)()(0,0,abauBPtBPniniininii第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 5)变差缩减性 Bzier曲线的特征多边形P0P1Pn所在的平面内恣意直线与曲线的交点个数不多于该直线和其特征多边形的交点个数。这阐明Bzier曲线比特征多

33、边形动摇还小、更光顺。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 3.Bzier曲线的矩阵表示 工程上比较常用一次、二次、三次Bzier曲线,根据Bzier曲线的定义式(4-5)容易推出它们的矩阵表示。1)一次Bzier曲线 当n=1时,1001111)(PPttC第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 2)二次Bzier曲线当n=2时,221022,20)1(2)1()()(PtPttPttBPtCiii 矩阵表示是:21020010221211)(PPPtttC第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 3)三次Bzier曲线当n=3时332212033,30)1(3)1(3)1()()(P

34、tPttPttPttBPtCiii10 t矩阵表示是:32102300010033036313311)(PPPPttttC10 t第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 4.Bzier曲线的生成算法 对于n次Bzier曲线,可用de Casteljau算法生成曲线上的离散点集,再用线性插值或二次插值依次将各点衔接起来,生成光滑的n次Bzier曲线。de Casteljau算法:给定空间n+1个点Pi(i=0,1,2,n)及参数t,那么有)()()1()(111ttPtPttPriririr=1,2,n;i=0,1,2,n-r;t0,1 第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 图 4.10

35、Casteljau算法的递推过程 P2P3P0P111P21P12P30P20P10P第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 5.Bzier曲线的拼接及延续性 设给定两条Bzier曲线P(t)、Q(t)的控制点列分别为Pi(i=0,1,n)和Qi(j=0,1,m),假设将P(t)的终点Pn和Q(t)的始点Q0重合,那么它们在Pn、Q0处到达C0延续。要使它们到达C1延续,要求P(t)在Pn点的切矢量和Q(t)在Q0点的切矢量同方向且大小相等。在C1延续的前提下,满足在Pn、Q0处亲密平面重合、副法线矢量同向且曲率相等,那么它们在Pn、Q0处到达C2延续。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲

36、面 6.反算Bzier曲线控制点 假设给定n+1个型值点Qi(i=0,1,n),要求构造一条Bzier曲线经过这些点。根据Bzier曲线的定义可知,构造一条Bzier曲线关键在于求Bzier曲线的控制点 Pi(i=0,1,n)。我们可取参数t=i/n与点Qi相对应,从而求出Pi。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 nnnmnnnnnniPQniniCPniniCPniCPQPQ1,1,0)()()1()1(1110000由这组方程可解出Pi(i=0,1,n)。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 7.Bzier曲线的升阶 为了提高对曲线的灵敏控制,而不改动原来曲线的外形,可以对原Bz

37、ier曲线进展升阶,也就是添加控制点。设原Bzier曲线的控制点为Pi(i=0,1,n),升阶后的Bzier曲线的控制点为Qi(i=0,1,n+1),那么由Bzier曲线的定义得iniiniininiiniinttQCttPC11010)1()1(第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 对上式左乘以(t+(1-t)得 iniiniininiiniiniinttQCttttPC1101110)1()1()1(经过比较等式两边ti(1-t)n+1-i项的系数得1,1,0)11(11niPniPniQiii第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 8.有理Bzier曲线有理Bzier曲线定义为)(

38、)()()()()()(/)()(,11,00,111,000,00,tBtBtBtBPtBPtBPtBtBPtCnnnnnnnnnnnnininiiniii0t1 第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 图 4.11 有理Bzier曲线 P121P0(01)122 P211()第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 9.Bzier曲线的缺陷 Bzier曲线的缺陷有以下两点：(1)特征多边形顶点个数决议了Bzier曲线的阶次,并且当n较大时,特征多边形对曲线的控制将会减弱;(2)Bzier曲线不能作部分修正,即改动某一控制点的位置对整条曲线都有影响。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面

39、 4.2.2 B样条曲线 1.B样条曲线的定义 知n+1个控制点Pi(i=0,1,n),那么k次(k+1阶)B样条曲线的表达式是nikiiuNPuC0,)()(第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 其中,Ni,k(u)是调和函数,也称之为基函数,由Schoenberg提出，其递归定义为10,01)(iiitutuN其它(4-6)111,11,)()()()()(ikikikiikikiikittuNutttuNtuuN (tkutn+1)(4-7)第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 定义阐明:(1)由空间的n+1个控制点生成的k次B样条曲线是由L+1段B样条曲线逼近而成的,每个曲线段

40、的外形仅由点列中的k+1个顺序陈列的点所控制;(2)参数u的取值范围由n+k+2个给定节点矢量值分成n+k+1个子区间;(3)节点值记为t0,t1,tn+k+1,所生成的B样条曲线仅定义在从节点值tk到节点值tn+1；(4)任一控制顶点可以影响最多k+1个曲线段的外形。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 2.B样条曲线的性质1)部分性由于11,00)(kiikiikitutututuN或第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 因此k次B样条曲线在修正时只被相邻的k+1个顶点所控制,而与其它顶点无关。当挪动一个顶点时,只对其中的一段曲线有影响,并不对整条曲线产生影响。如图4.12所示的是

41、一条均匀B样条曲线。当挪动顶点P4时只对其中一段曲线有影响。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 图 4.12 B样条曲线的部分可控性 P1P2P0P3P4P54P第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 2)延续性 B样条曲线在ti(k+1in)处有L重节点的延续性不低于(k-L)次。3)几何不变性 B样条曲线的外形和位置与坐标系的选择无关。4)变差缩减性 在B样条曲线的特征多边形所在平面内的恣意一条直线与B样条曲线的交点个数不多于该直线和特征多边形的交点个数。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 5)几何外型的灵敏性 用B样条曲线可构造直线段、尖点、切线等特殊情况。第第 4 4 章

42、章 曲线和曲面曲线和曲面 3.B样条曲线的矩阵表示对于k次B样条曲线,第i段曲线可定义为10)()(,1112,uuNPuCkjkjjiki其中 10)()1(!1)(01,uljkuCkuNjklklklkj第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 1)一次B样条曲线由于0111 1)!12(1)()()(1,11,01,uuNuNuNj0u1 所以,设空间有n+1个顶点Pi(i=0,1,n),那么每相邻两个顶点可构造出一段一次B样条曲线,其中第i段可表示成 iiiiiPPuuNPuNPuC11,11,011,01111)()()(i=1,2,n;0u1第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲

43、面 2)二次B样条曲线由于0110221211!21)()()()(22,22,12,02,1uuuNuNuNuN0u1 第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 因此,设空间有n+1个顶点Pi(i=0,1,n),那么相邻的每三个顶点可构造出一段二次B样条曲线,如图4.13所示,其中第i段可表示成1122,1011022121121)(iiiPPPuuuC0u1；i=1,2,n-1第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 图 4.13 二次B样条曲线 Pi(0)Pi1Pi 1(1)Pi 1PiPi(1)Pi1(0)Pi1第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 其端点的几何性质有以下三点:(1

44、)端点位置矢量：Ci,2(0)=0.5(Pi-1+Pi)，Ci,2(1)=0.5(Pi+Pi+1)(2)端点一阶导数矢量：iiiiiiPPCPPC12,12,)0(,)0(且)0()1(2,12,iiCC第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 (3)端点二阶导数矢量：1122)(iiiiPPPuC 即曲线段的二阶矢量等于该曲线的两条边矢量Pi-1-Pi和Pi+1-Pi所成的对角线矢量。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 3)三次B样条曲线由于0141030303631331161)()()()()(233,23,23,13,03,uuuuNuNuNuNuNi第第 4 4 章章 曲线和曲

45、面曲线和曲面 因此,假设从空间n+1个顶点Pi(i=0,1,n)中每次取相邻的四个顶点,可构造出一段三次B样条曲线,如图4.14所示,其中第i段可表示成211233,0141030303631331161)(iiiiiPPPPuuuuCu0,1;i=1,2,n-2第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 图 4.14 三次B样条曲线 PiPi1Pi 2Pi 1MMCi,3(0)Ci,3(1)1(3,iC )0(3,iC 第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 其端点的几何性质有以下三点:(1)端点位置矢量:6646)1(,6646)0(213,113,iiiiiiiiPPPCPPPC(2)端

46、点切矢量:2)1(,2)0(23,113,iiiiiiPPCPPC第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 (3)端点的二阶导矢量:213,113,2)1(,2)0(iiiiiiiiiPPPPCPPPC第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 4.B样条曲线的生成算法 给定空间有n+1个控制顶点Pi(i=0,1,n),k次B样条曲线上的点可用de Boor算法求得。假设utj,tj+1,kjn,那么)()()()(1,11,uPuNPuNPuCkjkijkjiijkjikii第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 这个递推过程可用如下的递推公式描画:)()(,1,0,)(11111uCttu

47、tuCtttujkjkjirPuCriirkirkiriirkiiirir=1,2,k i=j-k+r,j第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 deBoor算法的伪C言语描画如下:int Bspline-to-points(k,l,controls,t,dense,points)/*Input:k:polynomial degree of each piece of curve l:number of active intervals controls:control points t:nodal point sequence:t0tl+2*degree+1 dense:how many

48、points per segment Output:points:coordinates of points on curve第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 return:number of points are generated.*/float controls,t,points;int k,l,dense;int i,j,point-num;float u;float deboor();point-num=0;for(j=k-1;jtj)/*skip zero length intervals*/for(i=0;idense;i+)第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 u=

49、tj+i*(tj+1-tj)/dense;pointspoint-num+=deboor(k,controls,t,u,j)return point-num;float deboor(k,controls,t,u,j)/*Input:k:polynomial degree of each piece of curve controls:control points第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 t:nodal point sequence u:evaluation abscissa j:us interval:tjutj+1 Output:Coordinate value */flo

50、at controls,t;float u;int k,j;int i,r;float t1,t2;float controlsa30;第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 for(i=j-k;i=j;i+)controlsai=controlsi;for(r=1;r=k;r+)for(i=j-k+r;i=j;i+)t1=(ti+k-r+1-u)/(ti+k-r+1-ti);t2=1.0-t1;controlsai=t1*controlsai-1+t2*controlsai;return controlsai;第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 5.反求B样条曲线的控制点 知型值点列

51、Ci(i=1,2,n-1),要求一条三次B样条曲线L,该曲线经过各Ci点。如今要求曲线L的控制多边形的控制顶点Pi(i=0,1,2,n)。由曲线的端点性质可得以下线性方程组:Pi-1+4Pi+Pi+1=6Ci i=1,2,n-1 在此方程中再补充两个边境条件,即可得独一解,例如知曲线始、终点的切向量C1和Cn-1,那么有121022,2nnnCPPCPP第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 把它们写成矩阵式为11211121066662101000141000001410000141000101nnnnPPPPPPPPPP 求出B样条特征多边形的控制顶点Pi,即可生成相应的B样条曲线。第第

52、 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 4.2.3 其它曲线 1.四点式曲线 如图4.15所示,知空间不同的四个点P1、P2、P3、P4,它们具有延续的t值,且满足t1t2t3t4,要求构造一条过这四个点的参数曲线,这便是四点式曲线。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 图4.15 四点式曲线Ot1tt3t4P1P2P3P4第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 由Hermite曲线的几何方式的矩阵表示P=TMB得，B=M-1T-1P=KP,显然K=M-1T-1,K-1=TM,假设采用等距的t值分布,即t1=0,t2=1/3，t3=2/3,t4=1,那么有11114243432333222

53、32121311ttttttttttttK001027/427/227/2027/727/227/427/727/200001第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 令四点式曲线表示为Q(t)=TMB=TMKP,假设令000112/992/112/9182/4592/92/272/272/9MKN 那么四点式曲线的几何表达式为Q(t)=TNP,其中P=P1 P2 P3 P4。令A=NP,那么四点式曲线的代数表达式为Q(t)=TA。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 2.有理B样条曲线与NURBS曲线 知n+1个控制点Pi,其权因子为i(i=0,1,n),那么k次(k+1阶)有理B样条曲

54、线的表达式是nikiinikiiiuNuNPuC0,0,)()()(第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 其中,Ni,k(u)是调和函数,同式(4-7),其节点矢量为,1nkttT 假设对于全部kjn,存在tj+1-tj=d(d是一个正实数),那么称该有理B样条曲线为均匀有理B样条曲线,否那么为非均匀有理B样条曲线。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 4.3 常用参数曲面常用参数曲面 4.3.1 Coons曲面 Coons曲面是由四条边境曲线定义的插值曲面片,曲面片经过四条边境限。常用的Coons曲面为双三次Coons曲面,它是三次参数样条曲线的拓广。双三次Coons曲面由四个角点的

55、位置矢量、两个方向切矢以及扭矢来定义,如图4.16所示。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 图 4.16 Coons曲面片01Pu01PP1111Pu11Pu10PP10 0u 1u 0P0000Pu00P10P 1P01第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 4.3.2 Bzier曲面 Bzier曲面是Bzier曲线的拓广。设Pij(i=0,1,m;j=0,1,n)为(m+1)(n+1)个空间点列,那么mn次Bzier曲面定义为1,0,)()(),(,00,uPBuBuSijnjminjmi第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 Bzier曲面的矩阵表达式是)()()()(,),(

56、),(),(,1,0101111000100,1,0mnnnnmnnmmmnmmBBBpppppppppuBuBuBuS当m=n=3时,上述曲面片称为双三次Bzier曲面。即1,0,)()(),(30303,3,uPBuBuSijijji第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 其矩阵表示为)()()()()(),(),(),(3,33,23,13,0333231302322212013121110030201003,33,23,13,0BBBBppppppppppppppppuBuBuBuBTTzzzWMBUMuS),(第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 其中0001003303631

57、331112323zMWuuuU第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 如图4.17所示,Bz阵是该曲面特征网格16个控制顶点的几何位置矩阵,其中p00,p03,p30,p33在曲面片的角点处,Bz阵周围的12个控制顶点定义了四条Bzier曲线,即为曲面片的边境曲线;Bz阵中央的四个控制点p11,p12,p21,p22与边境曲线无关,但也影响曲面的外形。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 图 4.17 双三次Bzier曲面 P03P00P30P33第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 4.3.3 B样条曲面 基于均匀B样条曲线的定义,我们定义B样条曲面。给定(m+1)(n+1)个空

58、间点列Pij(i=0,1,m;j=0,1,n),那么1,0,)()(),(00,uNuNPuSminjljkiij 定义了kl次B样条曲面的特征网络。上式也可写成如下的矩阵式:1,0,1:1,1:1),(ulnzkmyWMPMUuSTlTlklkkyz上式中有y,z分别表示在u,w参数方向上曲面片的个数。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 Pkl是某一个B样条面片的控制点编号。1:1,1:1,1,11lzzjkyyiPPWluuuUijkllllkkk第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 4.3.4 非均匀有理B样条(NURBS)曲面 1.NURBS曲面的定义 给定(m+1)(n+1

59、)个空间点列Pij,其权因子为ij(i=0,1,m;j=0,1,n),那么kl次有理B样条曲面片的表达式是:1,0,)()()()(),(0,00,0uNuNNuNPuCmiljkinjijmiljkiijnjij第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 其中,Ni,k(u)和Nj,l(w)分别是k次和l次调和函数,同式(4-7),其节点矢量S、T分别为1,1,0,01,1,0,0111111个个个个lnllkmkkttTSSS第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 NURBS曲面还可以用有理基函数表示,也可以表示成齐次坐标的方式。它的有理基函数表示为minjljkiijuRPuC00,),

60、(),(其中Ri,k;j,l(u,w)是双变量有理基函数 mrnslskrsrljkiijljkiNuNNuNuR00,)()()()(),(第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 NURBS曲面的齐次坐标表示为 minjljkiijNuNDHuCHuC00,)()(),(),(其中,Dij=ijPij,ij称为控制顶点Pij的带权控制顶点或齐次坐标。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 2.NURBS曲面的性质与设计 有理B样条曲面具有与非有理B样条曲面相类似的几何性质。从另一个角度看,NURBS曲线的大多数性质都可以直接推行到NURBS曲面。NURBS曲面的主要性质如下:(1)部分性

61、,这是NURBS曲线的部分性的推行;(2)凸包性,与非有理B样条曲面同样的凸包性质;(3)仿射与透视变换下的不变性;第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 (4)沿u向在反复度为r重的u节点处是Ck-r参数延续的,沿v向在反复度为r的w节点处是Cl-r参数延续的;(5)NURBS曲面是非有理与有理贝齐尔曲面及非有理B样条曲面的适宜推行。(6)NURBS曲面不具有变差缩减性质。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 由NURBS曲面的定义可知,欲给出一张曲面的NURBS表示,需求确定的定义数据包括如下内容:(1)控制顶点Pi,j(i=0,1,m;j=0,1,n);(2)相应的权因子ij(i=

62、0,1,m;j=0,1,n);(3)u参数的次数k,w参数的次数l;(4)u向节点矢量U与w向节点矢量V(次数k与l也分别隐含于节点矢量U与V中)。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 习习 题题 1.对于三次参数曲线,假设知两个端点的位置矢量及二阶导数矢量,试求出相应的调和函数和系数矩阵M。2.知一条曲线的几何系数矩阵为B=P0 P1 P0 P1T,t0,1,假设将参数t重新参数化为参数u,且u1,3,试求在参数u下的几何系数矩阵。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 3.证明两条参数曲线r(t)=(t2-2t,t)和(t)=(t2+1,t+1)到达C1和G1延续,并求出它们达C1和

63、G1延续的衔接点。4.给定四点P1(0,0,0),P2(1,2,1),P3(2,-3,-1),P4(3,0,2),用其作为特征多边形来构造一条三次Bzier曲线,并计算曲线上参数为1/3的点。5.对于第4题中给出的控制点,分别用deBoor算法和三次B样条曲线的矩阵式来生成三次B样条曲线上的点。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 6.编写程序完成以下功能。在屏幕上生成一个键控游标,用此游标可延续确定Bzier曲线的控制顶点(把游标移到在屏幕上某一位置,当用户按下回车键时,游标所在的位置为一个控制顶点的位置),直到按Esc键终了确定控制顶点的过程,随后在屏幕上生成相应的Bzier曲线。7.采用第6题的键控游标确定控制顶点,编写程序在屏幕上生成相应的三次B样条曲线。第第 4 4 章章 曲线和曲面曲线和曲面 8.结合图形变换的有关知识,编制程序在屏幕上生成双三次Bzier曲面。9.结合图形变换的有关知识,编制程序在屏幕上生成双三次B样条曲面。