高中人教B版数学新教材必修第一册学案：第三章 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第1课时 Word版含解析

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1、第1课时函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系(教师独具内容)课程标准：1.理解函数零点的概念.2.会求函数的零点.3.能结合学过的函数图像，了解函数的零点与方程解的关系教学重点：1.函数零点的概念.2.函数的零点与其对应方程解的关系教学难点：1.求函数的零点.2.函数的零点与其对应不等式解集之间的关系.【情境导学】(教师独具内容)在二次函数yx22x3中令y0得x22x30，这是一个一元二次方程，那么这个一元二次方程的根与前面二次函数的图像有什么关系呢？【知识导学】知识点一函数零点的概念(1)一般地，如果函数yf(x)在实数处的函数值等于零，即f()0，则称为函数yf(x)的零点(2

2、)是函数f(x)零点的充分必要条件是(，0)是函数图像与x轴的公共点知识点二 二次函数f(x)ax2bxc(a0)的零点(1)当b24ac0时，方程ax2bxc0的解集中有两个元素x1，x2，且x1，x2是f(x)的两个零点，f(x)的图像与x轴有两个公共点(x1,0)，(x2,0)(2)当b24ac0时，方程ax2bxc0的解集中只有一个元素x0，且x0是f(x)唯一的零点，f(x)的图像与x轴有一个公共点(3)当b24ac0时，方程ax2bxc0没有实数根，此时f(x)无零点，f(x)的图像与x轴没有公共点【新知拓展】1函数的零点不是一个点，而是f(x)0的根，是函数yf(x)的图像与x轴

3、交点的横坐标2方程的根与函数零点的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)所有的函数都有零点()(2)若方程f(x)0有两个不等实根x1，x2，则函数yf(x)的零点为(x1,0)，(x2,0)()(3)不论实数a取什么值，不等式ax2bxc0的解集一定与函数f(x)ax2bxc的零点有关()答案(1)(2)(3)2做一做(1)下列各图像表示的函数中没有零点的是()(2)函数f(x)x25x的零点是_答案(1)D(2)0和5题型一 求函数的零点例1求下列函数的零点(1)f(x)x27x6；(2)f(x).解(1)

4、解方程x27x60，得x1或x6，所以函数的零点是1，6.(2)解方程0，得x6，所以函数的零点为6.金版点睛求函数零点的方法函数的零点就是对应方程的根，求函数的零点常有两种方法：(1)令f(x)0，方程f(x)0的根就是函数的零点；(2)画出函数f(x)的图像，图像与x轴交点的横坐标就是函数的零点(1)若函数f(x)x2xa的一个零点是3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点；(2)求下列函数的零点：yx2x20；y(x22)(x23x2)；yx37x6；f(x)x41.解(1)由题意，知f(3)0，即(3)23a0，a6，f(x)x2x6.解方程x2x60，得x3或2.函数f(x)其余

5、的零点是2.(2)令y0，即x2x200，解得x15，x24，所以所求函数的零点为5,4.令y0，即(x22)(x23x2)0，(x)(x)(x1)(x2)0，解得x1，x2，x31，x42，所以所求函数的零点为，1,2.因为x37x6(x3x)(6x6)x(x21)6(x1)x(x1)(x1)6(x1)(x1)(x2x6)(x1)(x2)(x3)，所以由x37x60，得x13，x21，x32，所以所求函数的零点为3,1,2.由于f(x)x41(x21)(x1)(x1)，所以方程x410的实数根是x11，x21.故函数的零点是1,1.题型二 函数零点的个数问题例2函数f(x)的零点个数是()A

6、0 B1 C2 D3解析解法一：方程x20(x0)的根为x1，所以函数f(x)有2个零点：2与1.解法二：画出函数f(x)的图像，如图所示，观察图像可知，f(x)的图像与x轴有2个交点，所以函数f(x)有2个零点答案C金版点睛判断函数零点个数的方法(1)直接求出函数的零点进行判断(2)结合函数图像进行判断设函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，则关于x的方程f(x)x的解的个数为()A1 B2 C3 D4答案C解析由f(4)f(0)，f(2)2，得f(x)当x0时，f(x)x24x2x，解得x1或x2.当x0时，f(x)2x，解得x2.方程f(x)x的解有3个故选C.题型三 利用函数的零

7、点求不等式的解集 例3利用函数求下列不等式的解集：(1)2x2x60.解(1)设f(x)2x2x6，令f(x)0，得2x2x60，即220，该方程无解因此函数f(x)无零点，从而f(x)的图像与x轴没有交点，又因为函数图像是开口向下的抛物线，因此可得所求不等式的解集为R.(2)设f(x)x26x9，令f(x)0，得x26x90，即(x3)20，从而x3.因此函数f(x)的零点为3，从而f(x)的图像与x轴相交于(3,0)，又因为函数图像是开口向下的抛物线，因此可得所求不等式的解集为3(3)设f(x)x22x3，令f(x)0，得x22x30，即(x3)(x1)0，从而x3或x1.因此3和1都是函

8、数f(x)的零点，从而f(x)的图像与x轴相交于(3,0)和(1,0)又因为函数图像是开口向上的抛物线，因此可得所求不等式的解集为(，1)(3，)金版点睛利用函数的零点求不等式解集的一般步骤(1)根据所求不等式设出函数；(2)求出函数的零点；(3)根据函数的图像写出不等式的解集求下列不等式的解集：(1)x28x30；(2)x23x10；(3)4x24x10.解(1)因为824(1)(3)520，所以方程x28x30有两个不等实根x14，x24，又二次函数yx28x3的图象开口向下，所以原不等式的解集为x|4x0，所以方程x23x10有两个不等实数根x1，x2，所以原不等式的解集为.(3)设f(

9、x)4x24x1，令f(x)0，得4x24x10，即(2x1)20，从而x.因此函数f(x)的零点为，从而f(x)的图像与x轴相交于，又因为函数图像是开口向下的抛物线，因此可得所求不等式的解集为.题型四 函数f(x)g(x)h(x)的零点问题例4已知函数f(x)|x22x|a，求满足下列条件的a的取值范围(1)函数f(x)没有零点；(2)函数f(x)有两个零点；(3)函数f(x)有三个零点；(4)函数f(x)有四个零点解函数y|x22x|的图像如图所示(1)函数f(x)没有零点，即函数ya与y|x22x|的图像没有交点，观察图像可知，此时a1.(3)函数f(x)有三个零点，即函数ya与y|x22x|的图像有三个交点，由图像易知a1.(4)函数f(x)有四个零点，即函数ya与y|x22x|的图像有四个交点，由图像易知0a6；(2)(5x)(x1)0.解(1)由x27x6，得x27x60.设f(x)x27x6，令f(x)0，得x27x60.解得x1或x6.因此函数的零点为1和6.由函数的图像可知，不等式x27x60的解集为(1,6)故原不等式的解集为(1,6)(2)原不等式可化为(x5)(x1)0.设f(x)(x5)(x1)，则函数的零点为5，1.由函数的图像可知不等式(x5)(x1)0的解集为1,5故原不等式的解集为1,5