全国高考试卷解析几何部分汇编下

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1、2014年全国高考试卷解析几何部分汇编（下）1. （2014山东理10）已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为( )A B C D【解析】 A2. （2014山东理21）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有当点的横坐标为3时，为正三角形求的方程；若直线，且和有且只有一个公共点，证明直线过定点，并求出定点坐标；的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由【解析】 当的横坐标为时，过作轴于，为等边三角形又， （）设，又与相切，设切点,，即恒过点直线过定点（），即，得，点到的距离，当且仅当时，“”

2、成立3. （2014山东文14）圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为【解析】4. （2014山东文15）已知双曲线的焦距为，右顶点为，抛物线的焦点为，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为【解析】由已知得，抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为，即代入双曲线方程为得，渐近线方程为故答案为5. （2014山东文21）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为求椭圆的方程；过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点） 点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于，两点设直线，的斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；求面积的最大值【

3、解析】 ，设，则，椭圆方程为设与椭圆在第一象限的交点为则，将代入椭圆得， 方法一：（）设：:令（），对:令得当且仅当时取等号方法二：()设则 即又令令，()当且仅当，“”成立6. （2014陕西理12）若圆的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线对称，则圆的标准方程为_【解析】根据题意得点关于直线对称的点为圆心，又半径，所以圆的标准方程为7. （2014陕西理20）如图，曲线由上半椭圆：和部分抛物线：连接而成，与的公共点为其中的离心率为求的值；过点的直线与别交于点（均异于点），若，求直线的方程【解析】 在的方程中，令，可得，且是上半椭圆的左，右顶点设的半焦距为，由及得 解法一：由知，上半椭圆的

4、方程为易知，直线与轴不重合也不垂直，设其方程，代入的方程，整理得 设点的坐标为，直线过点，是方程的一个根由求根公式，得，从而，点的坐标为同理，由，得点的坐标为，即，解得经检验，符合题意，故直线的方程为解法二：若设直线的方程为，比照解法一给分8. （2014陕西文11）抛物线的准线方程为_【解析】9. （2014陕西文20）已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为求椭圆的方程；若直线与椭圆交于点，与以为直径的圆交于两点，且满足，求直线的方程【解析】 由题设知解得，椭圆的方程为 由知，以为直径的圆的方程为，圆心到直线的距离，由得（*）设 由 得有 由得，解得，满足（*）直线的方程为或10. （20

5、14上海理22）在平面直角坐标系中，对于直线和点，记,若，则称点被直线分隔。若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线。求证：点,被直线分隔；若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；动点到点的距离与到轴的距离之积为，设点的轨迹为曲线，求证：通过原点的直线中，有且只有一条直线是的分隔线；【解析】 将分别代入，得点被直线分隔； 联立与，得，依题意，方程无解，或 设，则，故曲线的方程为 当斜率不存在时，直线为，显然与方程联立无解，又，为上两点，且代入，有，是一条分隔线；当斜率存在时，设直线为，代入方程，得：令，则：，当时，故，即在之间存在实根与曲线有公共点当时，即在

6、之间存在实根与曲线有公共点直线与曲线始终有公共点，故不是分隔线综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分隔线11. （2014四川理10文10）已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）A B C D【解析】 B方法1：设直线的方程为：，点，又，直线与轴的交点（不妨假设）由，所以又因为点，在该抛物线上且位于轴的两侧，所以，故于是当且仅当时取“” 所以与面积之和的最小值是方法2：据题意得，设，则，或，因为位于轴两侧，所以，两面积之和为12. （2014四川理14）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是 【解析】方法

7、1：，因为，所以，故（当且仅当时取“”）方法2：解析:易得设，则消去得：，所以点在以为直径的圆上，所以13. （2014四川理20）已知椭圆：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形求椭圆的标准方程；设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点，证明：平分线段（其中为坐标原点）；当最小时，求点的坐标【解析】 依条件所以椭圆的标准方程为 设，又设中点为（i）因为，所以直线的方程为：所以于是，所以因为所以，三点共线即平分线段（其中为坐标原点）（ii），所以，令（）则（当且仅当时取“”）所以当最小时，即或，此时点的坐标为或14. （2014四川文9）设，过定点的动直线

8、和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ）ABCD【解析】 B15. （2014四川文11）双曲线的离心率等于_【解析】16. （2014四川文20）已知椭圆：（）的左焦点为，离心率为求椭圆的标准方程；设为坐标原点，为直线上一点，过作的垂线交椭圆于，当四边形是平行四边形时，求四边形的面积【解析】 由已知可得，所以又由，解得，所以椭圆的标准方程是 设点的坐标为，则直线的斜率当时，直线的斜率，直线的方程是当时，直线的方程是，也符合的形式设，将直线的方程与椭圆的方程联立，得消去，得，其判别式，所以，因为四边形是平行四边形，所以，即所以解得此时， 17. （2014天津理5文6）已知双曲线的一条渐近

9、线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（）ABC D【解析】 A由题意知，双曲线的一条渐近线为，所以，即，因此，又双曲线的一个焦点是直线与轴的交点，所以该焦点的坐标为（5，0），所以，即，联立得解得，故双曲线的方程为18. （2014天津理18）设椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为已知求椭圆的离心率；设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切求直线的斜率【解析】 设椭圆右焦点的坐标为由，可得，又，则所以，椭圆的离心率 由知，故椭圆方程为设，由，有，由已知，有，即又，故有 又因为点在椭圆上，故 由和可得，而点不是椭圆的顶点，故，代入得，

10、即点的坐标为设圆的圆心为，则，进而圆的半径设直线的斜率为，依题意，直线的方程为由与圆相切，可得，即，整理得，解得所以，直线的斜率为或19. （2014天津文18）设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为，上顶点为已知求椭圆的离心率；设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点，求椭圆的方程【解析】 设椭圆右焦点的坐标为（，0）由，可得，又，则所以，椭圆的离心率 由知故椭圆方程为设由，有由已知，有，即又，故有因为点在椭圆上，故由和可得而点不是椭圆的顶点，故，代入得，即点的坐标为设圆的圆心为，则，进而圆的半径由已知，有，又，故有，解得所以，所求椭圆的方程为评析 本题主

11、要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识考查用代数方法研究圆锥曲线的性质考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力20. （2014新课标1理4）已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ）AB3CD【解析】 A21. （2014新课标1理10）已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个焦点，若，则=（ ）ABCD2【解析】 B22. （2014新课标1理20）已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点求的方程；设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程【解析】 设，由条件知，得又，所以，故的方程为

12、 依题意设直线：将代入得当，即时，从而又点到直线的距离，所以的面积设，则，因为，当且仅当，即时等号成立，且满足所以当的面积最大时，的方程为23. （2014新课标1文4）已知双曲线的离心率为2，则（）A2BC D1【解析】 D由双曲线方程知，从而，又，因此，又，所以，故选D24. （2014新课标1文10）已知抛物线的焦点为是上一点，则（）A1B2C4D8【解析】 A由得，即，因此焦点，准线方程为，设点到准线的距离为，由抛物线的定义可知，从而，解得，故选A25. （2014新课标1文20）已知点（2，2），圆，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为为坐标原点求的轨迹方程；当时，求的方程及的面积

13、【解析】 圆的方程可化为，所以圆心为，半径为4设，则，由题设知，故，即由于点在圆的内部，所以的轨迹方程是 由可知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆由于，故在线段的垂直平分线上，又在圆上，从面因为的斜率为3，所以的斜率为,故的方程为又，到的距离为，所以的面积为26. （2014新课标2理10）设为抛物线的焦点，过且倾斜角为30的直线交于两点，为坐标原点，则的面积为（ ）A B C D【解析】 D27. （2014新课标2理16）设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是_【解析】28. （2014新课标2理20文20）设分别是椭圆 的左，右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为若直线的斜率为

14、，求的离心率；若直线在轴上的截距为2，且，求【解析】 根据及题设知，直线的斜率为将代入，解得（舍去）故的离心率为 由题意，原点为的中点，轴，所以直线与轴的交点是线段的中点，故，即 由得设，由题意知，则即,代入的方程，得 将及代入得解得，故29. （2014新课标2文10）设为抛物线的焦点，过且倾斜角为30的直线交于两点，则（ ）A B C D【解析】 C焦点的坐标为，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，代入，得，设，则，所以，故选C30. （2014新课标2文12）设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是（ ）A B C D【解析】 A解法一：过作圆的两条切线，切点分别为，若在圆上存在点，使

15、，则，所以，所以，故选A解法二：过作于，则，即，即，故选A31. （2014浙江理16文17）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则该双曲线的离心率是_【解析】得由得则线段的中点为由题意得得故32. （2014浙江理21）如图，设椭圆，动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限已知直线的斜率为，用表示点的坐标；若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为【解析】 设直线的方程为，由消去得由于与只有一个公共点，故，即，解得点的坐标为又点在第一象限，故点的坐标为 由于直线过原点且与垂直，故直线的方程为，所以点到直线的距离，整理得因为，所以，当且仅当时等号成立所以，点到直线的距离

16、的最大值为评析 本题主要考查椭圆的几何性质、点到直线距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力33. （2014浙江文5）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（ ）ABCD【解析】 B将圆的方程化为标准方程为，所以圆心为，半径，圆心到直线的距离，故，即，所以，故选B34. （2014浙江文22）已知的三个顶点都在抛物线上，为抛物线的焦点，点为的中点，若，求点的坐标；求的面积的最大值【解析】 由题意知焦点，准线方程为设，由抛物线定义知，得，所以或同上，分别得，或 设直线的方程为，点，由得，于是，所以中点的坐标为由，得，所以由得由，得又

17、因为，点到直线的距离为，所以记令，解得，可得在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数又，所以，当时，取到最大值，此时所以，面积的最大值为35. （2014重庆理8）设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，则该双曲线的离心率为（ ）ABC D【解析】 B36. （2014重庆理13）已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数_【解析】37. （2014重庆理21）如图，设椭圆的左、右焦点分别为点在椭圆上，的面积为求该椭圆的标准方程；设圆心在轴上的圆与椭圆在轴上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径【解析】 设，其中由得从而，故从而，

18、由得，因此所以，故因此，所求椭圆的标准方程为 如答（21）图设圆心在轴上的圆与椭圆相交，是两个交点，是圆的切线，且由圆和椭圆的对称性，易知由知，所以再由得由椭圆方程得，即解得或当时，重合，此时题设要求的圆不存在当时，过分别与垂直的直线的交点即为圆心由是圆心的切线，且，知又，故圆的半径38. （2014重庆文8）设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，则该双曲线的离心率为（）ABC4D【解析】 D39. （2014重庆文14）已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_【解析】40. （2014重庆文21）如图，设椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上，的面积为求该椭圆的标准方程；是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由【解析】 设其中由得从而故从而由得因此所以，故因此，所求椭圆的标准方程为 如图，设圆心在轴上的圆与椭圆相交是两个交点，是圆的切线，且，由圆和椭圆的对称性，由知所以再由得由椭圆方程得即解得当时重合，题设要求的圆不存在当时，过分别与垂直的直线的交点即为圆心设由，得而，故圆的半径综上，存在满足题设条件的圆，其方程为