第六节线性方程组PPT课件

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1、第六节、线性方程组第六节、线性方程组三三 线性方程组有解的判断条件线性方程组有解的判断条件四四 线性方程组的解法线性方程组的解法一线性方程组的概念一线性方程组的概念二二 克莱姆法则克莱姆法则 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111设线性方程组设线性方程组,21不全为零不全为零若常数项若常数项nbbb则称此方程组为则称此方程组为非非 齐次线性方程组齐次线性方程组;,21全为零全为零若常数项若常数项nbbb此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.(一一)方程个数与未知量个数相同的线性方程组的概念方程个数与未知量个数相

2、同的线性方程组的概念设线性方程组设线性方程组,21不全为零不全为零若常数项若常数项nbbb则称此方程组为则称此方程组为非非 齐次线性方程组齐次线性方程组;,21全为零全为零若常数项若常数项nbbb此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.(二二)方程个数与未知量个数不相同的线性方程组方程个数与未知量个数不相同的线性方程组mnmnmnmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111如果线性方程组如果线性方程组)1(22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式不等于零

3、，即的系数行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0 二二 克莱姆法则克莱姆法则.DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即jDDjnnnj,nnj,nnnj,j,jaabaaaabaaD11111111111 那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表为可以表为 1证明证明 njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbA

4、xaxaxa221122222221211111212111 得得个个方方程程的的依依次次乘乘方方程程组组列列元元素素的的代代数数余余子子式式中中第第用用,1,21nAAAjDnjjj在把在把 个方程依次相加，得个方程依次相加，得n,111111 nkkjknnkkjknjnkkjkjnkkjkAbxAaxAaxAa由代数余子式的性质可知由代数余子式的性质可知,.,2,1njDDxjj .DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211,Dxj的系数等于的系数等于上式中上式中 ;0的系数均为的系数均为而其余而其余jixi.jD又等式右端为又等式右端为于是于是 2当当 时时,方程组方程组 有唯一

5、的一个解有唯一的一个解0 D 2由于方程组由于方程组 与方程组与方程组 等价等价,2 1故故.DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211也是方程组的也是方程组的 解解.1方程个数与未知量个数相等的方程的解的情况方程个数与未知量个数相等的方程的解的情况定理定理1 1 如果线性方程组如果线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则则 一定有解一定有解,且解是唯一的且解是唯一的 .1 1,0 D定理定理2 2 如果线性方程组如果线性方程组 无解或有两个不同的无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零解，则它的系数行列式必为零.1齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理 200022112

6、2221211212111 nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa定理定理 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则齐次线性方程组则齐次线性方程组 没有非零解没有非零解.0 D 2 2定理定理 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 2有非零解有非零解,则它则它的系数行列式必为零的系数行列式必为零.000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa有非零解有非零解.系数行列式系数行列式0 D例例1 用克拉默则解方程组用克拉默则解方程组 .0674,522,963,85243214324214321xxxxxx

7、xxxxxxxx解解6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 12772121357 212cc 232cc 277010353 2733 ,27 67402125603915181 D,81 67012150609115822 D,108 60412520693118123 D,27 07415120903185124 D,27,3278111 DDx,42710822 DDx,1272733 DDx.1272744 DDx例例2 2 用克拉默法则解方程组用克拉默法则解方程组 .6523,611,443,32534321432142432

8、1xxxxxxxxxxxxxx解解2311111140301253 D67,0 23165111611403412531 D,367 23651116111404012332 D,0 26511161111443013533 D,267 65311611111403032534 D,67,DDx316736711 ,DDx067022 ,DDx216726733 .1676744 DDx例例3 问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组 ,01,032,0421321321321xxxxxxxxx 有非零解？有非零解？解解 111132421D 101112431 31214313 312

9、123 齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则0 D所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.20 ,3 .01nARxAnnm 矩矩阵阵的的秩秩的的充充分分必必要要条条件件是是系系数数有有非非零零解解元元齐齐次次线线性性方方程程组组定定理理的解的解讨论线性方程组讨论线性方程组的秩，的秩，和增广矩阵和增广矩阵如何利用系数矩阵如何利用系数矩阵bAxBA 问题：问题：证证必要性必要性.,nDnAnAR阶非零子式阶非零子式中应有一个中应有一个则在则在设设 ,根据克拉默定理根据克拉默定理个方程只有零解个方程只有零解所对应的所对应的 nDn从而从而有非零解，有非零解，设方程组设方程

10、组0 Ax三三 线性方程组有解的判断条件线性方程组有解的判断条件这与原方程组有非零解相矛盾，这与原方程组有非零解相矛盾，.nAR 即即不能成立不能成立nAR)(充分性充分性.,nrAR 设设.个自由未知量个自由未知量从而知其有从而知其有rn 任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，即可得方程组的一个非零解即可得方程组的一个非零解 .个非零行，个非零行，的行阶梯形矩阵只含的行阶梯形矩阵只含则则rA证证必要性必要性,有解有解设方程组设方程组bAx ,BRAR 设设则则B B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程，方程

11、，.,2的秩的秩阵阵的秩等于增广矩的秩等于增广矩矩阵矩阵的充分必要条件是系数的充分必要条件是系数有解有解元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组定理定理bABAbxAnnm 这与方程组有解相矛盾这与方程组有解相矛盾.BRAR 因此因此并令并令 个自由未知量全取个自由未知量全取0 0，rn 即可得方程组的一个解即可得方程组的一个解充分性充分性.,BRAR 设设 ,nrrBRAR 设设证毕证毕个非零行，个非零行，的行阶梯形矩阵中含的行阶梯形矩阵中含则则rB其余其余 个作为自由未知量个作为自由未知量,rn 把这把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量非自由未

12、知量,r小结小结有唯一解有唯一解bAx nBRAR nBRAR 有无穷多解有无穷多解.bAx 方程组的通解方程组的通解性性程组的任一解，称为线程组的任一解，称为线定义：含有个参数的方定义：含有个参数的方齐次线性方程组齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；便可写出其通解；非齐次线性方程组：非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；简形矩阵，便可写出其通解；例例4 4 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组.034022202432

13、143214321 xxxxxxxxxxxx解解 341122121221A 463046301221施行初等行变换：施行初等行变换：对系数矩阵对系数矩阵 A13122rrrr 四四 线性方程组的解法线性方程组的解法 0000342101221)3(223 rrr212rr 00003421035201即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组 ,0342,0352432431xxxxxx ,342,3522413222221cxcxccxccx).,(43可可任任意意取取值值xx由此即得由此即得 ,342,352432431xxxxxx形式形式，把它写成通常的参数，把它写成通常的参

14、数令令2413,cxcx .1034350122214321 ccxxxx例例 5 5 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 .3222,2353,132432143214321xxxxxxxxxxxx解解对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，322122351311321B13122rrrr 10450104501132123rr 200001045011321,3)(,2)(BRAR显然，显然，故方程组无解故方程组无解例例 6 求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解.2132130432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变

15、换进行初等变换 2132111311101111B 2121001420001111.00000212100211011 ,2 BRAR由于由于故方程组有解，且有故方程组有解，且有 2122143421xxxxx 42442342242102120021xxxxxxxxxxxx.02102112000011424321 xxxxxx.,42任意任意其中其中xx所以方程组的通解为所以方程组的通解为例例 7 7 求求出出它它的的一一切切解解在在有有解解的的情情况况下下，是是有有解解的的充充要要条条件件证证明明方方程程组组.054321515454343232121 aaaaaaxxaxxaxxax

16、xaxx解证解证对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，方程组的增广矩阵为方程组的增广矩阵为 543211000111000011000011000011aaaaaB 5143210000011000011000011000011iiaaaaa 051 iiaBRAR.051 iia是是方方程程组组有有解解的的充充要要条条件件由于原方程组等价于方程组由于原方程组等价于方程组 454343232121axxaxxaxxaxx由此得通解：由此得通解：544543354322543211xaxxaaxxaaaxxaaaax .5为为任任意意实实数数x例例 8 8 设有线性方程组设有线性方程

17、组 23213213211 xxxxxxxxx?,有无穷多个解有无穷多个解有解有解取何值时取何值时问问 解解 21111111 B 11111112 作初等行变换，作初等行变换，对增广矩阵对增广矩阵),(bAB 2222111011011 32222120011011 22112100111011 ,11时时当当 000000001111B .,3 方方程程组组有有无无穷穷多多解解 BRAR其通解为其通解为 33223211xxxxxxx .,32为为任任意意实实数数xx ,12时时当当 22120011011 B这时又分两种情形：这时又分两种情形：:,3,2)1方程组有唯一解方程组有唯一解时时 BRAR .21,21,212321 xxx .,故故方方程程组组无无解解BRAR,2)2时时 300063304211B nBRAR nBRAR 有无穷多解有无穷多解.bAx 非齐次线性方程组非齐次线性方程组bAx 齐次线性方程组齐次线性方程组0 Ax nAR;0只只有有零零解解 Ax nAR.0有有非非零零解解 Ax小结;有唯一解有唯一解bAx