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1、第二章单元质量测评本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1若k1，则关于x，y的方程(1k)x2y2k21所表示的曲线是()A.焦点在x轴上的椭圆B焦点在y轴上的椭圆C.焦点在x轴上的双曲线D焦点在y轴上的双曲线答案D解析原方程可化为1，因为k1，所以k210,1k0，则方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线故选D.2以双曲线1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()A.1B.1C.1D.1答案A解析双曲线焦点(4,0)，顶点(2,0)，故椭圆的焦点为(2,0)，顶点(4,0)
2、，故选A.3若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x21的离心率为()A.B.C.或 D.或 答案D解析依题意，可知m4.当m4时，曲线为椭圆，长半轴长为2，短半轴长为1，则半焦距为，e；当m4时，曲线为双曲线，实半轴长为1，虚半轴长为2，则半焦距为，e.故选D.4已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，且经过点M(2，y0)，若点M到焦点的距离为3，则|OM|()A.2B.2C.4D.2答案B解析由题可设抛物线的标准方程为y22px(p0)，|MF|23，p2.抛物线方程为y24x.将M(2，y0)代入抛物线可得y8，|OM|2.故选B.5抛物线y212x的准线与双曲线1的两条渐近线所围成
3、的三角形的面积为()A.3B.2C.2D.答案A解析抛物线y212x的准线为x3，双曲线的两条渐近线为yx，它们所围成的三角形为边长为2的正三角形，所以所求三角形的面积为3，故选A.6若ABC的两个顶点坐标为A(4,0)，B(4,0)，ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为()A.1(y0)B.1(y0)C.1(y0)D.1(y0)答案A解析由题意得|CA|CB|10|AB|，所以顶点C的轨迹是以A，B为焦点，且a5的椭圆又因为A，B，C三点不共线，所以顶点C的轨迹方程为1(y0)故选A.7若存在斜率且过点P的直线l与双曲线1(a0，b0)有且仅有一个公共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶点，
4、则双曲线的实轴长等于()A.2B.4C.1或2D.2或4答案B解析因为直线斜率存在，则过P与左顶点的直线必与yx平行，有，解得a2.所以实轴长为4.故选B.8椭圆1与双曲线y21有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为()A.48B.24C.24D.12答案B解析由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,5)和F2(0，5)，又由椭圆与双曲线的定义可得所以或又|F1F2|10，所以PF1F2为直角三角形，F1PF290.所以PF1F2的面积S|PF1|PF2|6824.故选B.9椭圆1中，以点M(1,2)为中点的弦所在的直线斜率为()A.B.C.D.答案B解析设弦的两个端点为A(
5、x1，y1)，B(x2，y2)，则得0，又弦中点为M(1,2)，x1x22，y1y24，0，k.故选B.10如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A.3B.2C.D.答案B解析设椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2a，由M，O，N将椭圆长轴四等分，可得2a22a，即a2a.因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为2c，则双曲线的离心率为e，椭圆的离心率为e，从而2.故选B.11设P，Q分别为圆x2(y6)22和椭圆y21上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A.5B.C.7D.6答案D解析设Q(x，y
6、)，则该点到圆心的距离d，y1,1，当y时，dmax5.圆上点P和椭圆上点Q的距离的最大值为dmaxr56.故选D.12抛物线y2x2上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线yxm对称，且x1x2，则m等于()A.B.2C.D.3答案A解析依题意kAB1，而y2y12(xx)，得x2x1，且在直线yxm上，即m，y2y1x2x12m，2(xx)x2x12m，2(x2x1)22x2x1x2x12m，2m3，m.故选A.第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13已知点(2,3)与抛物线y22px(p0)的焦点的距离是5，则p_.答案4解析抛物线y22p
7、x(p0)的焦点坐标是，由两点间距离公式，得 5.解得p4.14已知A(1,0)，B(1,0)，P是平面上一动点，且满足|，则点P的轨迹方程为_答案y24x解析设P(x，y)，则(1x，y)，(1x，y)，(2,0)，(2,0)因为|，所以22(x1)，即y24x，所以点P的轨迹方程为y24x.15如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_答案解析由题意可得B，C，F(c,0)，则由BFC90，得c2a2b20，化简得ca，则离心率e.16已知双曲线1的左焦点为F，点P为双曲线右支上一点，且PF与圆x2y216相
8、切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|MO|_.答案1解析本题综合考查直线、双曲线与圆设F是双曲线的右焦点，连接PF(图略)，因为M，O分别是FP，FF的中点，所以|MO|PF|，所以|FN|5，由双曲线的定义知|PF|PF|8，故|MN|MO|PF|MF|FN|(|PF|PF|)|FN|851.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交点为P，求抛物线方程和双曲线方程解依题意，设抛物线方程为y22
9、px(p0)，因为点在抛物线上，所以62p，所以p2，所以所求抛物线方程为y24x.因为双曲线左焦点在抛物线的准线x1上，所以c1，即a2b21，又点在双曲线上，所以1，由解得a2，b2.所以所求双曲线方程为4x2y21.18(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求此双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求证：0.解(1)离心率e，ab.设双曲线方程为x2y2n(n0)，(4，)在双曲线上，n42()26.故所求双曲线方程为x2y26.(2)证明：M(3，m)在双曲线上，则M(3，)，kMF1kMF21.故0.19(本小
10、题满分12分)已知抛物线C：y22px(p0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C交于点B，若，求抛物线C的方程解设B，A点的坐标分别为(x1，y1)，M为AB的中点于是有即又k，y2，y1.把B点坐标代入抛物线方程得322p，整理得p2.故所求抛物线C的方程为y24x.20(本小题满分12分)设椭圆E：1的焦点在x轴上(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上的第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1PF1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上解(1)因为a21a2,2c1，a21a2c2，则a2，所以椭
11、圆E的方程为1.(2)证明：设F1(c,0)，F2(c,0)，P(x，y)，Q(0，m)，则(xc，y)，(c，m)，(xc，y)，(c，m)由，得所以(xc)(xc)y2，即x2y2c2.由椭圆E的方程可知，c2a2(1a2)2a21，所以x2y22a21，即y2x22a21.将上式代入椭圆E的方程，得1，解得x2a4.因为点P是第一象限内的点，所以xa2，y1a2.故点P在定直线xy1上21(本小题满分12分)设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截
12、距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.解(1)根据c及题设知M，2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得，或2(舍去)故C的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故4，即b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|，设N(x1，y1)，由题意知y10)，求的取值范围解(1)因为椭圆的上焦点为(0,1)，所以抛物线的焦点为(0,1)，抛物线的标准方程为x24y.(2)因为直线l与圆相切，所以1k2t22t.把直线方程代入抛物线方程并整理得：x24kx4t0.由16k216t16(t22t)16t0，得t0或t0或t4或2t42，所以的取值范围为.DI SAN ZHANG |第三章导数及其应用
数学人教A版选修11作业与测评：第二章 单元质量测评 Word版含解析
