联合分布与边缘分布的关系

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1、2021/3/111联合分布函数与边缘分布函数的关系联合分布函数与边缘分布函数的关系()(,);()(,).XYFxF xFyFy 3.2 边缘分布边缘分布1()(,),iXijxx jFxF xp 1()(,).jYijyy iFyFyp 由联合分布律求边缘分布函数由联合分布律求边缘分布函数()(,)(,)()(,)(,)xXyYFxF xdxf x y dyFyFydyf x y dx 由联合概率密度求连续型由联合概率密度求连续型r.v.的边缘分布函数的边缘分布函数2021/3/112由由(X,Y)的联合分布律的联合分布律PXxi,Yyjpij，i,j1,2,111,(),1,2,.iij

2、jijijijjP XxP XxYyP Xx Yyppi 111(),1,2,.jijiijijjiiP YyPXxYyP Xx Yyppj 二、二、二维离散型随机变量的边缘分布律二维离散型随机变量的边缘分布律2021/3/1131x1 xi 11pjp11 ipijppip1pip jp1p jyjy1XY 联合分布律联合分布律及及边缘分布律边缘分布律2021/3/114.),(,d),()(,dd),(),()(),(),(的边缘概率密度的边缘概率密度关于关于称其为随机变量称其为随机变量记记由于由于密度为密度为设它的概率设它的概率对于连续型随机变量对于连续型随机变量XYXyyxfxfxyy

3、xfxFxFyxfYXXxX 定定义义三、连续型随机变量的边缘概率密度三、连续型随机变量的边缘概率密度同理可得同理可得Y 的边缘概率密度的边缘概率密度,dd),(),()(yYyxyxfyFyF()(,)d.Yfyf x yx 2021/3/115解解yyxfxfXd),()(,10时时当当 xxy 2xy Oxy)1,1(yyxfxfXd),()(xxy2d6.)(),(.,0,6),(2yfxfxyxyxfYXYX求边缘概率密度求边缘概率密度其他其他具有联合概率密度具有联合概率密度和和设随机变量设随机变量 例例5).(62xx 2021/3/116,10时时或或当当 xx.0d),()(y

4、yxfxfX .,0,10),(6)(2其他其他因而得因而得xxxxfXxy 2xy Oxy)1,1(2021/3/117,10时时当当 yxyxfyfYd),()(,10时时或或当当 yy.0d),()(xyxfyfY .,0,10),(6)(其其他他得得yyyyfY yyxd6).(6yy xy 2xy Oxy)1,1(2021/3/118例例6 设设(X,Y)在区域在区域 上服上服从从均匀分布均匀分布,求求(X,Y)关于关于X和和Y的边缘概率密度的边缘概率密度.(,)01,Gx yxyx 2021/3/119的概率密度为的概率密度为设二维随机变量设二维随机变量),(YX 22222121

5、21212221)()(2)()1(21exp121),(yyxxyxf.的的边边缘缘概概率率密密度度试试求求二二维维正正态态随随机机变变量量,yx.11,0,0,212121 且且都都是是常常数数其其中中例例72021/3/1110(,)f x y 2211222221212()()()()122(1)xxyye 212121 22222212212()()(1)()12(1xyye 212121 2122222122()(2)(1)2xyyee 212121 2021/3/1111(,)f x y2122222122()(2)(1)2xyyee 212121 22222()22ytee 2

6、12121 ()(,)Yfyf x y dx 2222222()ytteed 212 211dxdt2111dx ttdddxdx 令令12122()()1xy t2222()2ye 212()Yfy2 222(,)YN 2021/3/1112【结论结论】二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布分布,并且都不依赖于参数并且都不依赖于参数.【说明】【说明】对于确定的对于确定的 1,2,1,2,当当 不同时不同时,对应了对应了不同的二维正态分布不同的二维正态分布.在下一章将指出在下一章将指出,对于二维正态对于二维正态分布而言分布而言,参数参数 正好刻画了正好

7、刻画了X和和Y之间关系的密切程度之间关系的密切程度.221212(,)(,)X YN 即即221122(,),(,)XNYN 2021/3/1113联合分布联合分布 边缘分布边缘分布 【结论】【结论】在什么情况下，由边缘分布可以唯一确定联合分布呢？在什么情况下，由边缘分布可以唯一确定联合分布呢？思考思考 边缘分布均为正态分布的随机变量边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布其联合分布一定是二维正态分布吗一定是二维正态分布吗?2021/3/1114问题问题.,他们都有自己的分布他们都有自己的分布机变量机变量都是随都是随和和则则记此人的体重和身高记此人的体重和身高和和用用分别分别从其中随机挑选一

8、个人从其中随机挑选一个人考虑一大群人考虑一大群人YXYX1.5m,.YX现现在在如如果果限限制制取取值值为为在在这这个个限限制制下下求求的的分分布布3.3 条件分布条件分布2021/3/1115一、离散型随机变量的条件分布一、离散型随机变量的条件分布 1(,),1,2,0.jijiijijijjjjX YjP Xx YypP Xx YyiP YypYyPXYyp 设设是是二二维维离离散散型型随随机机变变量量 对对于于固固定定的的若若则则称称为为在在条条件件下下随随机机变变量量的的条条件件分分布布律律定义定义1,1,2,.0iijjijijjiiiiiP Xx YyP XxpP Yy XxjP

9、XxxYppX 对 对于于固固定定的的若若则则称称为为在在条条件件下下随随机机变变量量的的条条件件分分布布律律2021/3/1116【说明】【说明】条件分布的本质是条件概率条件分布的本质是条件概率,离散型离散型r.v.X在在Y=yj发发生的条件下的条件分布律生的条件下的条件分布律,就是在就是在Y=yj发生条件下将发生条件下将X每一个可能取值及取值的条件概率列出每一个可能取值及取值的条件概率列出.条件分布律满足分布律的充要条件条件分布律满足分布律的充要条件:111(1)0,1,2,;1(2)1.ijijjijjijijiiijjjpP Xx YyipppP Xx Yypppp 2021/3/11

10、17u类似乘法公式类似乘法公式(求联合分布律求联合分布律)0,1,2,0ijijijjiijP X x YyP X xPYy X xPYyP X x YyiP XjxPYy 或或u类似全概率公式类似全概率公式(求边缘分布律求边缘分布律)1110,1,2,iijijjjijjjjP XxpP Xx YyP Xx YyP YyyiP Y 2021/3/1118111,1,20,jijijiijiiiiP YypP Xx YyP Yy XxP XxP Xjx u类似逆概公式类似逆概公式(求条件分布律求条件分布律)1,1,2,jiiijjkkkP Yy XxP XxP Xx YyP Yy XxP Xx

11、i 2021/3/1119【练习】【练习】已知已知(X,Y)的联合分布律的联合分布律XY0120123/283/289/281/145/141/28000求求:Y=1时时,X的条件分布律的条件分布律.2021/3/1120例例1 把三个球等可能地放入编号为把三个球等可能地放入编号为 1,2,3 的三个盒子的三个盒子中中,每盒可容球数无限每盒可容球数无限.记记 X 为落入为落入 1 号盒的球数号盒的球数,Y 为落入为落入 2 号盒的球数，求号盒的球数，求 (1)在在Y=0 的条件下，的条件下，X 的条件分布律；的条件分布律；(2)在在 X=2 的条件下，的条件下，Y 的条件分布律的条件分布律.2

12、021/3/1121例例2 一射手进行射击一射手进行射击,每次击中目标的概率为每次击中目标的概率为p(0p1),射击到击中目标两次为止射击到击中目标两次为止.设以设以X 表示首次击中目标所进表示首次击中目标所进行的射击次数行的射击次数,以以Y 表示总共进行的射击次数表示总共进行的射击次数.试求试求 X 和和 Y 的联合分布律及条件分布律的联合分布律及条件分布律.2021/3/1122二、连续型随机变量的条件分布二、连续型随机变量的条件分布 00,lim limP Xx y YyP Xx y YyP y Yy 定义定义 给定给定y,对于任意固定的对于任意固定的 .0,0yYyP 若对于任意实数若

13、对于任意实数x,极限极限().X YP Xx YyFx y 或或存在存在,则称此极限为则称此极限为在条件在条件Y=y下下,X的条件分布函数的条件分布函数,记作记作【引言】【引言】在条件分布中在条件分布中,作为条件的随机变量的取值作为条件的随机变量的取值是确定的数是确定的数.但是但是当当Y 是连续型是连续型r.v.时时,条件分布不能条件分布不能用用 直接定义直接定义,因为因为 ,我们我们只能讨论只能讨论Y取值在取值在y附近的条件下，附近的条件下，X的条件分布的条件分布.P Xx Yy 0P Yy 2021/3/112300,limlimP Xx yYyP Xx yYyP yYy 0(,)(,)l

14、im()()YYF x yF x yFyFy 0(,)(,)/lim()()/YYF x yF x yFyFy (,)()YF x yydFydy (,)(,)()()xxYYf x y dxf x ydxfyfy ()X YFx y def.P Xx Yy 连续连续()0,Yfy (,)f x y连续连续2021/3/1124(,)(,),(,)().(,),(),(,)().()0(X YYYYYX Yf x yX YYfyf xf xyyyfx yfyYfyyfyX 设设二二维维随随机机变变量量的的概概率率密密度度为为关关于于的的边边缘缘概概率率密密度度为为若若对对于于固固定定的的则则称

15、称为为在在的的条条件件下下的的条条件件概概率率密密度度 记记为为定定义义(,)d.(yY XXf x yfFy xyx ()0Xfx 同理同理,当当 时时,(,)()d()xX YYf x yFx yP Xx Yyxfy 则则2021/3/1125【说明说明】(),X YFx y()X Yfx y仅是仅是 x 的函数的函数,此时此时y是常数是常数.u(,)()()()0()()()0XXY XYYXYf x yfx fy xfxf y fx yf y u 类似于乘法公式类似于乘法公式(求联合概率密度求联合概率密度)u 条件概率密度满足概率密度的充要条件条件概率密度满足概率密度的充要条件:(1)

16、()0;(,)()(2)()1.()()X YYX YYYfx yf x y dxfyfx y dxfyfy u 利用条件概率密度可计算利用条件概率密度可计算Y=y条件下条件下,与与X有关的事有关的事件的条件概率件的条件概率:()X YLP XL Yyfx y dx 2021/3/1126u 类似于全概率公式类似于全概率公式(求边缘概率密度求边缘概率密度)()(,)()()XYX Yfxf x y dyfx y fy dy ()(,)()()YXY Xfyf x y dxfy x fx dx (,)()Yf x yfy u 类似于类似于Bayes公式公式(求条件概率密度求条件概率密度)()X

17、Yfx y()()()XY XYfy x fxfy(,)()Xf x yfx()Y Xfy x()()()YX YXfx y fyfx 2021/3/1127u联合分布、边缘分布、条件分布的关系联合分布、边缘分布、条件分布的关系联合分布联合分布边缘分布边缘分布条件分布条件分布联合分布联合分布2021/3/1128例例3 已知已知(X,Y)服从圆域服从圆域 x2+y2 r2 上的均匀分布上的均匀分布,求求(),().X YY Xfx yfy xr22rx 22rx x-r2021/3/1129例例4 已知已知 ,221122(,),;,;X YN 求求 .()X Yfx y解解(,)()()X

18、YYf x yfx yfy 2211222221 2122222()()()()122(1)212()2212112xxyyyee 2021/3/1130211222211()2(1)21121xye 同理，同理，2222121()(),(1)Y Xfy xNx 2211212()(),(1)XYfx yNy 【说明】【说明】二维正态分布的条件分布仍为正态分布二维正态分布的条件分布仍为正态分布.2021/3/1131例例5 设设8,0,01(,)0,xyxyyf x y 其其它它求求(),().X YY Xfx yfy xy=x112021/3/1132例例6 已知已知222,14(1),01(),()10,0,XY Xyxyxxxfy xfxx 其其它它其其它它求求211,0.5,3221.32P XYP YP YXP YX y=x11