数学新设计北师大选修21精练：第二章 空间向量与立体几何 测评 Word版含答案

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1、第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在以下命题中,不正确的有()|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;若ab,则存在唯一的实数,使a=b;若向量a,b,c构成空间的一个基底,则a+b,b+c,c+a构成空间的另一个基底;|(ab)c|=|a|b|c|.A.1个B.2个C.3个D.4个解析:只有正确,故选C.答案:C2.如图,已知四面体ABCD,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AC的中点,则)=()A.B.C.D.解析:)=)=,又,)=.答案:C3.已知A(2

2、,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),D(0,0,0),令a=,b=,则a+b=()A.(5,-9,2)B.(-5,9,-2)C.(5,9,-2)D.(5,-9,-2)解析:A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),D(0,0,0),a=(-1,0,-2),b=(-4,9,0),a+b=(-5,9,-2).答案:B4.已知O-ABC是四面体,G1是ABC的重心,G是OG1上一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为()A.B.C.D.解析:如图,连接AG1并延长交BC于点E,则E为BC的中点,)=-2),-2).=3=3(),)=,故选A.

3、答案:A5.设xy0z,空间向量m=,n=,且x2+9z2=4y(x-y),则mn的最小值是()A.2B.4C.2D.5解析:空间向量m=,n=,mn=x2+9z2=4y(x-y)+2=4.当且仅当4y(x-y)=时取等号.则mn的最小值是4.答案:B6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则()A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EF与A1D,AC都垂直C.EF与BD1相交D.EF与BD1异面解析:以D为坐标原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为3,则A(3,0,0),C(

4、0,3,0),D(0,0,0),A1(3,0,3),E(1,0,1),F(2,1,0),B(3,3,0),D1(0,0,3),=(-3,0,-3),=(-3,3,0),=(1,1,-1),=0,=0,A1DEF,ACEF.又=(-3,-3,3),=-3,即BD1与EF平行.故选B.答案:B7.已知空间三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),在直线OA上有一点H满足BHOA,则点H的坐标为()A.(-2,2,0)B.(2,-2,0)C.D.解析:由=(-1,1,0),且点H在直线OA上,可设H(-,0),则=(-,-1,-1).又BHOA,=0,即(-,-1,-1)(-1,1

5、,0)=0,即+-1=0,解得=,H,故选C.答案:C8.如图,正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面内的投影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角是()A.30B.45C.60D.90解析: 如图,以O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P,则=(2a,0,0),=(a,a,0),设平面PAC的一个法向量为n,可取n=(0,1,1),则cos=,所以=60,所以直线BC与平面PAC的夹角为90-60=30.答案:A9.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E

6、是A1B1的中点,则点E到平面ABC1D1的距离是()A.B.C.D.解析: 建立如图所示的坐标系,正方体的棱长为1,A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),C1(0,1,1),D1(0,0,1),E.设平面ABC1D1的法向量为n=(x,y,z).n=0,且n=0,即(x,y,z)(0,1,0)=0,且(x,y,z)(-1,0,1)=0.y=0,且-x+z=0,令x=1,则z=1,n=(1,0,1).n0=.又,点E到平面ABC1D1的距离为|n0|=.答案:B10.如图,在四面体P-ABC中,PC平面ABC,AB=BC=CA=PC,则平面ABP与平面APC的

7、夹角的余弦值为()A.B.C.D.解析: 取AC的中点D,连接BD,过D作DEPC,以DB,DC,DE所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由图知平面APC的法向量为.设AB=1,则D(0,0,0),B,A,C,P,=(0,-1,-1),.设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则令y=3,n=(-,3,-3).cos=-,即平面ABP与平面APC的夹角的余弦值为.答案:C11.设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成,若x1y1+x2y2+x3y3+x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则

8、a与b的夹角为()A.B.C.D.0解析:设a与b的夹角为.x1y1+x2y2+x3y3+x4y4有以下三种可能:2aa+2bb=2|a|2+2|b|2=10|a|2;4ab=4|a|2|a|cos =8|a|2cos ;aa+2ab+bb=|a|2+2|a|b|cos +|b|2=5|a|2+4|a|2cos .由此易知最小,则8|a|2cos =4|a|2,解得cos =,=.答案:B12.导学号90074051已知平面与平面的夹角为60,AB,ABl,A为垂足,CD,Cl,ACD=135,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析:如图,在平面内过C作CEAB,则ECD

9、为异面直线AB与CD所成的角或其补角,不妨取CE=1,过E作EO于O.在平面内过O作OHCD于H,连EH,则EHCD.因为ABCE,ABl,所以CEl.又因为EO平面,所以COl,所以ECO=60.而ACD=135,COl,所以OCH=45.在RtECO中,CO=CEcosECO=1cos 60=.在RtCOH中,CH=COcosOCH=sin 45=.在RtECH中,cosECH=.所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.故选B.答案:B二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知l,且l的方向向量为(2,m,1),平面的法向量为,则m=.解析:l,

10、l的方向向量与平面的法向量垂直,即(2,m,1)=0,2+m+2=0,m=-8.答案:-814.已知正方体ABCD-ABCD的棱长为1,设=a,=b,=c,则=.解析: 如图,取CC中点E,连接AC,AE.正方体ABCD-ABCD的棱长为1,=a,=b,=c,a+b+c=.=|=.答案:15.如图,PD垂直于正方形ABCD所在的平面,AB=2,E为PB的中点,cos􀎮􀎯=.以D为原点,分别以DA,DC,DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系,则点E的坐标为.解析:设DP=2a,则P(0,0,2a),B(2,2,0),E(1,1,a),A(2,0,0).

11、=(0,0,2a),=(-1,1,a),cos􀎮􀎯=,解得a=1.E(1,1,1).答案:(1,1,1)16.如图,等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,平面ABC与平面ABDE的夹角的余弦值为,M,N分别是AC,BC的中点,则EM,AN所成角的余弦值为.解析:如图所示,过点C作CO平面ABDE,垂足为O,取AB的中点F,连接CF,OF,OA,OB,则CFO为二面角C-AB-D的平面角,cosCFO=.设AB=1,则CF=,OF=,OC=,O为正方形ABDE的中心.如图建立空间直角坐标系,则E,A,M,N,cos=.答案:三、解答题(本大题共6个小

12、题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(满分10分)已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5).(1)求ABC的面积;(2)求ABC中AB边上的高.解(1)由已知,得=(1,-3,2),=(2,0,-8),|=,|=2,=12+(-3)0+2(-8)=-14,cos=,sin=.SABC=|sin=2=3.(2)设AB边上的高为CD,则|=3,即ABC中AB边上的高为3.18.(满分12分)如图,在长方体ABCD-ABCD中,AB=2,AD=1,AA=1.证明直线BC平行于平面DAC,并求直线BC到平面DAC的距离.解如图,建立空间直角坐标系,

13、可得有关点的坐标为A(1,0,1),B(1,2,1),C(0,2,1),C(0,2,0),D(0,0,0).设平面DAC的法向量n=(u,v,w),则n,n.因为=(1,0,1),=(0,2,1),n=0,n=0,所以解得u=2v,w=-2v.取v=1,得平面DAC的一个法向量n=(2,1,-2).因为=(-1,0,-1),所以n=0,所以n.又BC不在平面DAC内,所以直线BC与平面DAC平行.由=(1,0,0),得点B到平面DAC的距离d=,所以直线BC到平面DAC的距离为.19.(满分12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PB底面ABC,BCA=90,PB=BC=CA=2,E为PC的中点,

14、点F在PA上,且2PF=FA.(1)求证:BE平面PAC;(2)求直线AB与平面BEF所成角的正弦值.解(1)PB底面ABC,且AC底面ABC,ACPB.由BCA=90,可得ACCB.又PBCB=B,AC平面PBC.BE平面PBC,ACBE.PB=BC,E为PC的中点,BEPC.PCAC=C,BE平面PAC.(2)以点B为坐标原点,BC所在直线为x轴,BP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),C(2,0,0),A(2,2,0),P(0,0,2),E(1,0,1),.设平面BEF的法向量为m=(x,y,z),由m=0,m=0,得x+y+z=0,x+z=0.取x=1,则y

15、=1,z=-1,m=(1,1,-1)为平面BEF的一个法向量.又=(-2,-2,0),cos=-,直线AB与平面BEF所成角的正弦值为.20.(满分12分)如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,ABC=,OA底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点.(1)求证:直线MN平面OCD;(2)求异面直线AB与MD夹角的大小;(3)求点B到平面OCD的距离.解 作APCD于点P.如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.A(0,0,0),B(1,0,0),P,D,O(0,0,2),M(0,0,1),N.(1)证明:.设平面OCD的法向

16、量为n=(x,y,z),则n=0,n=0,即取z=,解得n=(0,4,).n=(0,4,)=0,又MN平面OCD,MN平面OCD.(2)设AB与MD的夹角为,=(1,0,0),cos =.=,即AB与MD的夹角的大小为.(3)点B到平面OCD的距离为d=,点B到平面OCD的距离为.21.(满分12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是直角三角形,AB=AC=1,AA1=2,点P是棱BB1上一点,满足=(01).(1)若=,求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值;(2)若平面PA1C与平面A1BC的夹角的正弦值为,求的值.解以A为坐标原点,分别以AB,AC,AA1所在直线为x轴

17、、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz.因为AB=AC=1,AA1=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,2),B1(1,0,2),P(1,0,2).(1)由=得,=(1,0,-2),=(0,1,-2).设平面A1BC的法向量为n1=(x1,y1,z1),由不妨取z1=1,则x1=y1=2,从而平面A1BC的一个法向量为n1=(2,2,1).设直线PC与平面A1BC所成的角为,则sin =|cos|=,所以直线PC与平面A1BC所成的角的正弦值为.(2)设平面PA1C的法向量为n2=(x2,y2,z2),=(1,0,2-2),由不妨取z2=1,则x2=2-

18、2,y2=2,所以平面PA1C的法向量为n2=(2-2,2,1).则cos=.又因为二面角P-A1C-B的正弦值为,所以,化简得2+8-9=0,解得=1或=-9(舍去),故的值为1.22.导学号90074052(满分12分)如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD平面FGH;(2)若CF平面ABC,ABBC,CF=DE,BAC=45,求平面FGH与平面ACFD夹角的大小.(1)证法一连接DG,CD,设CDGF=O,连接OH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DFGC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则O为

19、CD的中点,又H为BC的中点,所以OHBD,又OH平面FGH,BD平面FGH,所以BD平面FGH.证法二在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BHEF,BH=EF,所以四边形BHFE为平行四边形.可得BEHF.在ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GHAB.又GHHF=H,所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED,所以BD平面FGH.(2)解法一设AB=2,则CF=1.在三棱台DEF-ABC中,G为AC的中点,由DF=AC=GC,可得四边形DGCF为平行四边形,因此DGFC.又FC平面ABC,所以DG平面ABC.在ABC中,由ABBC,BAC=45,G

20、是AC中点,所以AB=BC,GBGC,因此GB,GC,GD两两垂直.以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.所以G(0,0,0),B(,0,0),C(0,0),D(0,0,1).可得H,F(0,1),故=(0,1).设n=(x,y,z)是平面FGH的一个法向量,则由可得可得平面FGH的一个法向量n=(1,-1,).因为是平面ACFD的一个法向量,=(,0,0),所以cos=.所以平面FGH与平面ACFD夹角的大小为60.解法二作HMAC于点M,作MNGF于点N,连接NH.由FC平面ABC,得HMFC,又FCAC=C,所以HM平面ACFD.因此GFNH,所以MNH即为所求的角.在BGC中,MHBG,MH=BG=,由GNMGCF,可得,从而MN=.由HM平面ACFD,MN平面ACFD,得HMMN,因此tanMNH=,所以MNH=60.所以平面FGH与平面ACFD夹角的大小为60.