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1、材料加工过程中的数值模拟微观组织数值模拟(VI)任课教师:王锦程Office：公字楼216Tel ：029-88460650(O)Email：相场法应用实例（II）纯物质凝固相场模型的建立纯物质凝固相场模型的建立 序参量确定序参量确定 自由能密度函数确定自由能密度函数确定 相场动力学方程相场动力学方程 温度场方程温度场方程 相场参数确定相场参数确定 各向异性各向异性 噪声噪声纯物质相场模型包含两个场变量：相场和温度场(无浓度场)。相场动力学方程initial preparation of (x,t=0)subsequent(x,t)Solid s=1 liquid L=0propagation
2、 of interface)()()(222pTTTLHgFmmV22)1()(g)23()(2pVFMtdFFV)23(2)(32g)1(6)(p)()()(122pTTTLgHtMmm根据标准热传导方程:0QJtQ考虑固/液界面熵的变化：PfhQTcLttt温度场方程()tpQfThcJLt This(phenomenological)term accounts for the release of latent heat as the interface advances()ht(,)hx t(,)hx ttqJk T This is a flux-conservative equati
3、on,i.e.it conserves heat Flux in the absence of latent heatWFourier定律 pdHTdSdQ)(LhTcHpp()tpfThck TLt 纯物质凝固相场模型()tpfThck TLt 2ThuDutt)()()(122pTTTLgHtMmm22)1()(g)23()(2pupgt)()(22MH1H/HTcLMp2pmcLTTu/pTckD)(hTDtT2LsnfnTnTKVL10dTTM尖锐界面模型相场模型？渐近分析渐近分析10ad Daa21Interface kinetic coefficientCapillary leng
4、thNote the details of a1 and a2 depend on the form of h().See A.Karma and W.R.Rappel,Phys.Rev.E(1996)2ThuDuttupgt)()(22液固共存系统的界面自由能p界面自由能或表面张力是扩散界面内的自由能的总和，可算出表面张力为：MMW各向异性各向异性 04=1 c o s 4 np各向异性是自然界呈现如此丰富多彩的根源各向异性的描述p晶体中原子(或分子)都以对称的方式排列，这使得晶体的一些参数如密度、热扩散率，以及界面能、界面动力学参数、溶质再分配系数k都具有各向异性特征。这些各向异性对凝固过
5、程中界面形态的选择和演化起着不同程度的影响，其中以液/固界面上的、k影响尤为显著。p如果材料是各向异性介质，诸热力学状态函数由于相场变化所带来的修正项便不再能用各向同性函数来描述，而必须运用一个依赖于相界面法线方向N=的各向异性函数A()来描述。1212iih hh 各向异性的描述二维四重对称晶体的界面能极图及其平衡形状晶面的界面能与该晶面到中心的距离 4 4041c o s 4.1 31 s i nc o s.1 3sna n Wulff理论cossinnxy1t a nyx2222yxxyxyxy各向异性的描述 22 222222()2 2()()()yxxyxyyxyxxx yyyx x
6、yfx y )4cos1(40r 4sin44rddxyarctg2222211yxyxxxyxxyxxxyxxyxyxyxxx2222211yxyxyxyyxyxyxyyxyxyxyyyy4cos164rdd 222(1)(1)tyxnuxy upgyxffnxyt)()()()(222 界面能各向异性在相场动力学方程中的描述加入各向异性后相场控制方程upgt)()(22 240)4cos1(r各向同性相场控制方程：532)(53p01000 2000 3000 4000 5000 6000 700001000200030004000500060007000 with noise no no
7、ise)1()1(2222utxyarctg42)(42g,RFMMrtt ),(tT cfrFMp晶体的实际生长中，能量、温度和浓度的随机涨落是客观存在的。p引入噪声可以获得形貌逼真的具有高次分支的枝晶，噪声的引入仅引发侧向分支的生长，并不改变枝晶尖端稳态行为。随机涨落（噪声）p侧向分枝产生的原因：噪声选择放大机制？内在确定性机制？未有定论。在相场方程和浓度方程中引入与时间和空间相关的均值为零的成高斯分布的随机变量直接在相场方程中引入与能量有关的随机数随机噪声引入方法)()()()()(1(),(HgTfpTfpTfSL)()()()(),(pTTTLHgTfTfmmL 222(1)(1)t
8、yxnuxy dpTTTLHgFmm)()()(22201LS，纯物质凝固相场模型的建立纯物质凝固相场模型的建立 序参量化学自由能密度系统自由能泛函)()()(122pTTTLgHtMmm相场动力学方程)23()(2p22)1()(g,RFMMr tt 相场和温度场 纯物质凝固相场模型的建立纯物质凝固相场模型的建立 温度场控制方程()tpfThck TLt)(h相场模型参数确定渐近分析10ad Daa21毛细长度动力学系数平衡解分析界面厚度界面能 纯物质凝固相场模型的建立纯物质凝固相场模型的建立 各向异性动力学各向异性界面能各向异性xyarctg42)(42g加入各向异性后相场控制方程形核、侧
9、向分枝的产生需要加入可控的噪声项nLiVmcTTmA随机涨落)()()()(),(pTTTLHgTfTfmmL相场法应用实例（II）单相二元合金凝固相场模型单相二元合金凝固相场模型 p自由能的构造自由能的构造pWBMWBM相场模型相场模型pKKSKKS相场模型相场模型22TTtcDct合金凝固的尖锐界面模型nn)()1()(LLSSLLSScDcDcVkTTLVGibbs-Thompson Equation界面守恒条件控制方程T f T fBA,T=constant序参量单相二元合金凝固相场模型 成分场、相场、温度场自由能函数构造纯物质二元合金自由能密度构造方法纯物质自由能机械混合混合熵过剩自
10、由能单相二元合金凝固相场模型 ,1,ln 1 ln111ln 1 ln11ABABMMABABMMf cTcf T c f T R Tc ccc c cLT TT TW gcLc Lp R Tc ccc c cLTT ,1ln 1 ln1ABf cT W gcHc Hp R Tcc cc 简化cfMcFMtcfMFMtcVcV)(22理想溶液单相二元合金凝固相场模型 2222,22cVFf cTcd V 单相二元合金相场模型)1)()(BAcHHcPgWfccRTp HHcfAB1ln)()(2()()()(1)ABMW gpcH cHt 11cABcmcRTMpHHM ctcc 可去掉v理想
11、合金熔体的等温凝固的理想合金熔体的等温凝固的WBM模型模型AMAMAATTTLH)10156()(23p)1()(22gBAcMMcM)1(BMBMBBTTTLHlsmcDpDccRTM1 22222130 2112TTTLMWMdtdAMAMAA)10156()(23P单相二元合金相场模型Wheeler-Boettinger-McFadden(1993)令c0)1)()()(2BAcHHcPgWMdtd)()()(2AHPgWMdtdBMBMBBTTTLH,1(1)l n(1)l n11ABmsLR TfcTcfc fccccccpp ,11,SLABf cTcWc Wgp f cT p f
12、 cT )1()(22g得到纯组元相场方程单相二元合金相场模型单相二元合金相场模型单相二元合金相场模型 p自由能的构造自由能的构造pWBMWBM相场模型相场模型pKKSKKS相场模型相场模型)()()(1()()(),(gWTfpTfpTfASALAAp从纯组元A和B的自由能入手 WgTcfhTcfhcTfLLSS,1,p从液相和固相的自由能入手10211 ln)1ln()1(1,LcLccccccRTfcfcTcfSSSSSSSmSSSASSSB自由能密度构造方法单相二元合金相场模型10211 ln)1ln()1(1,LcLccccccRTfcfcTcfLLLLLLLmLLLALLLB单相二
13、元合金相场模型Kim-Kim-Suzuki(KKS)Phase-field Model p质量守恒 p化学势相等 fMtffDtcccc22WgcfhcfhcftxcftxcfchchcLLSSLLcSScLSLS1,1单相二元合金相场模型 LSchchc 1KKSKKS合金相场模型合金相场模型cchcchLs)(1)(1插值函数插值函数双阱函数双阱函数p注意cs、cL是c、的函数 单相二元合金相场模型txcftxcfLLcSScLS,ccdctxcdfccdctxcdfLLLLcsSSScLS,)(,SSccSSSccfdctxcdfS)(,LLccLLccfdctxcLdfL LLccSS
14、ccLLccScfhcfhcfcc1 LLccSSccSSccLcfhcfhcfcc1)()(1)(0LSLscchchch LLLLcsSSSccdct xcdfcdct xcdfLS,单相二元合金相场模型 LLccSSccLLccSLScfhcfhcfcchc1 LLccSSccSSccSLLcfhcfhcfcchc1txcftxcfLLcSScLS,gWcfcccfcfhtMLLcSLSSLLL 21)(,SSccSSSccfdctxcdfS SLcchDcDtc单相二元合金相场模型LLccccffDtcLw22.2223w单相二元合金相场模型),(2120eLeSLemc cwDMkm
15、RTV单相二元合金相场模型pKKS相场模型参数与实际材料参数的联系)1()()()()(1)(1)()()(),(0001000002dcfhcfhhhcccfcfcceLLcceSScceSeLeLLcceSScceLeS0cc eLeSchchc001实际参数：界面能、界面厚度、动力学系数相场参数：梯度项系数、双阱势高度w、相场动力学系数Mp通过数值方法求解控制方程 有限差分法、有限元法、有限体积法、Fourier谱方法单相二元合金相场模型界面上的浓度:WBM :KKS:pWBM：界面定义为成分相同的固相和液相混合物pKKS：界面定义为化学势相同的固相和液相混合物 *00*001cfhcf
16、hfLS eLLeSSc f hc f h f001 界面上的自由能:WBM :KKS :单相二元合金相场模型9.01.0000)0()()(22zzwgd)(2002gdxdxx2tanh121)(0pWBM模型一维稳态解pKKS模型一维稳态解单相二元合金相场模型p一维稳态下相场解与浓度场解完全脱耦 p界面厚度可选取较大值，模拟尺度较大p界面能不依赖于界面厚度 p易于与CALPHAD相结合Advantage of KKS Model 单相二元合金相场模型Disadvantage of KKS Model p界面条件的合理性需进一步考虑p数学上没有经过严格的渐近性分析，无法定量化Isother
17、mal Dendritic Growth0.941.17Solutal fieldAdaptive meshW=750l t*end=1000 t*=100W=750l t*end=1000 t*=100Level=5Ni/Cu alloyc0=0.4083(Cu);T0=1574KNon-isothermal Binary GrowthConcentration fieldW=750l;t*end=1000;Dt*=100NoImageThermal field in a large domainW=20000l;t*end=1000;t*=100Tip shape and isothermsNoImage0.941.17-0.9-1t*=1000NoImage部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
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