模糊集理论及其应用第二章.ppt

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1、1,模糊集理论及其应用,第二章 模糊映射与模糊数,2,第二章 模糊映射与模糊数,2.1 一元模糊映射及其性质( P311) 2.2 多元模糊映射及其性质( P1217) 2.3 模糊数及其运算( P1829),3,12,18,3,2.1 一元模糊映射及其性质 2.1.1 一元经典扩展原理 定义2.1.1 设U, V 为两个论域,则由映射 f :UV 可诱导出如下两个集值映射 (i) f :P(U) P(V) A f(A)= f(u)u A. 用特征值表示,有 f(A) (v) = f(u) = v A (u) , v V . (2-1-1) (ii) f -1 :P(V) P(U) B f -

2、1 (B)= uUf(u)B . 用特征函数表示 ,有 f -1 (B) (u) = B (f(u) ) , u U . (2-1-2) 我们称由(2-1-1)确定的集值映射 f 和由(2-1-2)确定的集值映射 f -1 为普通映射 f :UV 的经典诱导映射;而称式(2-1-1) 和式(2-1-2)为一元经典扩展原理;称 f(A) 为A在 f 下的像,而 f -1 (B) 称为 B 在 f 下的原像, 如下图所示,目 录,4,5,例2.1.1 设U=V =(,),映射 f : UV u f(u)= sin u . A=-1,1 P(U) , B = 0,1 P(V) , 则由式(2-1-1

3、) 得 f (A) = f ( -1,1 )= - sin 1, sin 1 而由式 (2-1-2) f -1 (B)= f -1 ( 0,1 )= 2n, (2n+1/2) , ( n = 0, 1, 2, ),目 录,6,2.1.2 一元模糊扩展原理 定义2.1.2 设U, V 为两个论域, f :UV 为普通映射，则由 f 可诱导出如下两个模糊映射： (i) f :F(U) F(V) A f(A) 其中 v V ，有,目 录,7,通常称由式(2-1-3)和式(2-1-4)所确定的模糊映射为Zadeh型函数. f(A)称为U 上的模糊集A 在 f 下的像,而称f -1 (B)为V上的模糊集

4、B在f 下的原像.如下图所示,8,例2.1.2 设U =u1,u2, u3,u4, u5, V = a, b, c,d, 映射 f : UV 定义为 (1) 当 u u1, u3时, f(u)= a ; (2) 当 u u2, u4, u5时, f(u)= c; 又设 A=(0.9, 0.3, 0.8, 0.6, 0.7) F(U) , 试求B= f (A) , f -1 (B).,目 录,9,解: 因为f -1 (a)= u1, u3, f -1 (c) =u2, u4, u5, f -1 (b) = f -1 (d) =, 所以由式(2-1-3)得 f (A)(a) = u f -1 (a

5、) A(u)= A(u1)A(u3)= 0.90.8=0.9 . f (A)(b) = 0, f (A)(d) = 0, f (A)(c) =u f -1 (c) A(u)= A(u2)A(u4)A(u5) = 0.30.6 0.7 = 0.7 . 从而得 B = f(A)=(0.9, 0, 0.7, 0). 而由式(2-1-4)得 f -1 (B)(u1)= B(f(u1)= B(a)=0.9 f -1 (B)(u2)= B(f(u2)= B(c)=0.7 f -1 (B)(u3)= B(f(u3)= B(a)=0.9 f -1 (B)(u4)= B(f(u4)= B(c)=0.7 f -1

6、 (B)(u5)= B(f(u5)= B(c)=0.7,10,所以 f -1 (B)= (0.9, 0.7, 0.9, 0.7, 0.7). 由此可见, A f -1 (f (A). 此结论对于任一模糊映射都成立,即 定理2.1.1 设f :F(U) F(V) 为模糊映射,则 (1) A f -1 (f (A),且 f 为单射时,等号成立; (2) f (f -1 (B)B ,且 f 为满射时,等号成立.,目 录,11,下面我们利用分解定理给出模糊扩展原理的几种其它形式. 定理2.1.2 (扩展原理) 设U, V 为两个论域, f 和 f -1 为由f :UV诱导的模糊映射, AF(U), B

7、F(V), 则 (1) f (A) = 0,1 f (A); (2) f -1(B) = 0,1 f -1(B);,12,定理2.1.3 (扩展原理) 设U, V为两个论域, f 和 f -1 为由f :UV诱导的模糊映射, AF(U), BF(V),则 (1) f (A) = 0,1 f (As); (2) f -1(B) = 0,1 f -1( Bs).,目 录,13,定理2.1.4 (扩展原理 )设U, V为两个论域, f 和 f -1 为由f :UV诱导的模糊映射, AF(U), BF(V),则 (1) f (A) = 0,1 f (HA() , 其中 HA()满足 As HA() A

8、 , 0,1 ; (2) f -1(B) = 0,1 f -1(HB(), 其中 HB()满足 Bs HB() B , 0,1 .,14,2.1.3 模糊映射的基本性质 定理2.1.5 设f :F(U)F(V) 为模糊映射 , At | tT F(U), 则 (1) f (tT At ) = tT f (At ) ; (2) 若A, B F(U)且A B, 则 f (A) f (B) ; (3) f ( ) = ; (4) f (tT At ) tT f (At ) .,目 录,15,证明: (1) vV, 若f -1(v) = , 由定义2.1.2知 f (tT At )(v) = 0, 且

9、 tT , f (At )(v) =0, 从而 ( tT f (At )(v) = tT f (At )(v)=0 . 于是等式成立. 若f -1(v) , 则由式(2-1-3)知 f ( tT At )(v) = f(u)=v ( tT At )(u) = f(u)=v tT At (u) = tT f(u)=v At (u) = tT f (At )(v) = (tT f (At )(v) 从而有f ( tT At ) = tT f (At ) .,16,定理2.1.6 设f :F(U)F(V)为模糊映射, AF(U), 0,1 , 则 (1) f (As)=f (A)s ; (2) f

10、(A)=f (A)当且仅当vV , u0U, s.t. f (A)(v)= A(u0). 证明: (1) vV, 有 v f (A)s iff f(A)(v) iff uf -1 (v) A(u) iff u0U ,s.t. f (u0)= v 且 A(u0) iff u0U ,s.t. f (u0)= v 且 u0 As iff vf (As). f (As)=f (A)s,目 录,17,注2.1.1: 一般说来, f (A)=f (A)不成立. 例2.1.3 设U=V=0,1, f :UV定义为 取AF(U),使A(u)=1u (uU ),则vV, 由定义2.1.2知 取 =1,则f (A

11、) =0,1,但f (A1)=f (0)=0,故 f (A)1 f (A1).,18,定理2.1.7 设f -1 :F(V) F(U) 为由f :UV诱导的模糊映射, Bt | tT F(V), 则 (1) 保空性: f -1( ) = ; (2) 保序性: 若B , G F(V)且B G , 则 f -1(B) f -1(G) ; (3) 保并性: f -1( tT Bt ) = tT f -1(Bt ) ; (4) 保交性: f -1( tT Bt ) = tT f -1(Bt ) ; (5) 保逆合性: 若BF(V) , (f -1(B)= f -1(B) .,目 录,19,定理2.1.

12、8 设f -1 :F(V)F(U) 为由f :UV诱导的模糊映射 , BF(V),则 (1) f -1(B) = f -1(B) ; (2) f -1(B)s = f -1(Bs) ; 证明: uU,有 u f -1(B) f -1(B)(u) B(f (u) f (u)B u f -1(B ) f -1(B) = f -1(B ) 即(1)成立. 同理可证(2)也成立.,20,2.2 多元模糊映射及其性质 2.2.1 二元扩展原理 定义2.2.1 设AiF(Ui) (i=1,2,n), 则A1, A2 , An的Descartes乘积,记作,目 录,21,定义2.2.2 设U1, U2, V

13、为三个论域 , f :U1U V为二元普通映射,则由 f 诱导的二元模糊映射 f : F(U1)F(U2)F(V) (A1, A2) f (A1, A2) 的隶属函数为 v V,22,定理2.2.1 (二元扩展原理) 设 f : F(U1)F(U2)F(V) 为二元模糊映射, 则 (A, B) F(U1)F(U2), 有 f (A, B)= 0,1 f (A, B);,23,定理2.2.2 (二元扩展原理)设 f : F(U1)F(U2)F(V) 为二元模糊映射, 则 (A, B) F(U1)F(U2),有 f (A, B)= 0,1 f (AS, BS);,目 录,24,定理2.2.3 (二

14、元扩展原理)设 f : F(U1)F(U2) F(V) 为二元模糊映射, 则(A, B) F(U1)F(U2), 有 f (A, B)= 0,1 f (H1(), H2() 其中Hi()(i=1,2)满足条件 AS H1() A , BS H2()B,25,定理2.2.4 设f : F(U1)F(U2)F(V) 为由f :U1U2V诱导的模糊映射, 0,1 则 (1) f (A, B )S = f (AS, BS); (2) f (A, B) = f (A, B), 当且仅当vV , (u1, u2 ) f -1(v) , s.t. f (A, B)(v)= A(u1) B(u2).,26,2

15、.2.2 实数论域上模糊集的二元运算 下面我们利用二元扩展原理构成实数论域上模糊集合的加,减,乘,除,取大和取小六种二元运算.为此,设L=, 为算子集, 为 L的任一算符,则 可视为二元映射 : RR R (x, y) x y 根据二元扩展原理,可将算符 扩展到 F(R ) 中去,即 定义2.2.3 设 : F(R )F(R )F(R )为由 : RR R诱导的二元模糊运算, A, BF(R ),则 A B = 0,1 (A B) 其中A B= x y xA , y B,特别地,目 录,27,AB = 0,1 (AB),其隶属函数为z R , A-B = 0,1 (A-B),其隶属函数为z R

16、 ,28,(3) AB = 0,1 (AB),其隶属函数为z R , (4) AB = 0,1 (AB),其隶属函数为z R ,(其中BF(/R)-0),目 录,29,(5) AB = 0,1 (AB),其隶属函数为z R , (6) AB = 0,1 (AB),其隶属函数为z R ,目 录,30,例 2.2.1 设U=0,1,4, A, BF(U),且A=(0.4, 0.2, 1, 0, 0), B=(0, 0.3, 0.5, 0.7, 0),求(A+B)(2), (A-B)(2), (AB)(2), (AB)(2), (AB)(2),(AB)(2). 解: (A+B)(2)= x+y=2(

17、A(x)B(y) = (A(0)B(2)(A(1)B(1)(A(2)B(0) = (0.40.5)(0.20.3)(10) = 0.40.20=0.4 (A-B)(2)= x-y=2(A(x)B(y) = (A(2)B(0)(A(3)B(1)(A(4)B(2) = (10)(00.3)(00.5)=0 (AB)(2)= xy=2(A(x)B(y) = (A(1)B(2)(A(2)B(1) = (0.20.5)(10.3)= 0.20.3=0.3,31,(AB)(2)= xy=2(A(x)B(y) = (A(2)B(1)(A(4)B(2) = (10.2)(00.5)=0.2 (AB)(2)=

18、xy=2(A(x)B(y) = (A(0)B(2)(A(1)B(2)(A(2)B(2) (A(2)B(1) (A(2)B(0) = (0.40.5)(0.20.5)(10.5)(10.3)(10) = 0.40.20.50.30=0.5 (AB)(2)= xy=2(A(x)B(y) = (A(2)B(2)(A(2)B(3)(A(2)B(4)(A(3)B(2) (A(4)B(2) = (10.5)(10.7)(10)(00.5)(00.5) =0.7 可以计算出 (A+B)=(0, 0.3, 0.4, 0.4, 0.5). 注: 一般说来, A-A=不一定成立, A+A=2A也不一定成立.由此可

19、见,模糊集合的四则运算与实数的四则运算有着本质的区别(参见书中P37例2.2.2).,目 录,32,2.3 模糊数及其运算 2.3.1 凸模糊集及其性质 定义2.3.1 设R为实数集, AF(R), 如果对R中满足xyz的任意实数x, y和z都有 A(y)min( A(x), A(z) 则称A为R上的凸模糊集 .,目 录,33,例如: 正态模糊集AF(R), 是R上的凸模糊集,其隶属函数曲线如图2.3.1所示,而由图2.3.2所确定的模糊集是非凸的.,34,性质2.3.1 AF (R)为凸模糊集当且仅当 0,1 , A为区间. 证明:必要性:设A为凸模糊集, 0,1 , x, z A且xz,则

20、y x, z ,有 A(y)min( A(x), A(z) , 故yA. 这说明若两点在A中,则以这两点为端点的整个区间包含在A中. 因此, A是一个区间. 充分性: 设 0,1 , A为区间, 对任意实数xyz,取= min( A(x), A(z), 则xA且zA. 因为A为区间,故yA, 即 A(y)= min( A(x), A(z) 于是,由定义2.3.1 知为凸模糊集. ,35,性质2.3.2 若A, BF(R )均为凸模糊集,则AB也是凸模糊集. 证明: 由定理1.4.2(2)知, 0,1 , (AB)= AB. 因为A, B均为凸模糊集, 所以由性质2.3.1知A和B均为区间. 而

21、区间的交仍为区间, 故(AB)为区间. 于是由性质2.3.1知AB为凸模糊集. ,目 录,36,2.3.2 凸模糊集表现定理 定义2.3.2 若映射I:0, 1 P(R)满足 (i) 01 2 1 I(2 )I(1 ); (ii) 0,1 , I()为R的子区间;. 则称I为R的区间套. 记I(R)为R的全体区间套之集. 显然, 区间套必为集合套, 故I(R) u(R).,目 录,37,定理2.3.1(凸模糊集表现定理) 设II(R) , = 0, 1 I() , 则 (1) A = 0,1 I()为凸模糊集; (2) xR , A(x) = 0, x I().,38,2.3.3 模糊数及其性

22、质 定义2.3.3 设AF(R),若( 0,1 , A为R中有限闭区间,则称A为R上的一个模糊数; 若A为模糊数,且A1=kerA=a,则称A是关于a的严格模糊数. 记R- 为R上的全体有限闭区间(称为区间数)所成之集,而记R为R上的全体模糊数所成之集. 显然, 如果我们把实数a与单点集a等同看待, 则 实数 区间数 模糊数 凸模糊集 即RR-Rc(R)(这里c(R)表示R上的全体凸模糊集所成之集).,目 录,39,下面给出两个判别凸模糊集成为模糊数的充分必要条件. 定理2.3.2 AF(R )为模糊数 iff 存在a,b ,使得 (1) 在a,b上, A(x)1; (2) 在(-, a)中,

23、 A(x)为右连续的增函数, 且 0 A(x) 1; (3) 在(b, +)中, A(x)为左连续的减函数,且 0 A(x) 1.,40,定理2.3.3 A R iff 0,1 , A为非空有界闭凸集. 利用这两个定理可以方便地判断一个凸模糊集是否为模糊数,关于模糊数的例子参见教材P40中的例2.3.2. 设rR,若aR s.t. r(x+a)为偶函数, 则称 r 是对称模糊数. 例如:三角模糊数, 正态模糊数, Cauchy模糊数等都是对称模糊数.,41,2.3.4 模糊数表现定理 定理2.3.4,目 录,42,2.3.5 模糊数运算法则 (i) 区间数的运算法则 定义2.3.4 设L=,

24、, 为R上的二元运算, A= a, b , B= c, d 为R中两个区间,则zR,有 (a, b c, d)(z)=xy=z (a, b(x)c, d(y),目 录,43,下面就算符 的不同形式,给出区间数的各种运算 (1) a, b + c, d = a+c, b+d (2) a, b c, d = ad, bc (3) a, b c, d = p, q , 其中p=min ac, bc, ad, bd, q =maxac, bc, ad, bd (4) a, b c, d = a/d, b/c (c0, d0) (5) a, b c, d = a c, b d (6) a, b c, d

25、 = a c, b d ,44,例2.3.1 设 a, b =2,2 , c, d = 1,4 , 则 2,2 + 1, 4= 2+1, 2+4 =1, 6, 2,2 1,4 = 24, 21 =6, 1, 2,2 1,4= 8, 8 , 其中 p=min2, 8, 2, 8, q =max 2, 8, 2, 8, 2,2 1,4= 2/4, 2/1 =1/2, 2, 2,2 1,4= 21, 24 =1, 4, 2,2 1,4= 21, 2 4 =2, 2.,45,注意: 对于区间数的除法运算,若0 c, d ,则 a, b c, d 不一定是一个区间数, 如 -1, 1 -1, 1 = -

26、1, 1-1, 0 -1, 10, 1 = (-, -1-1, + ) = (-, + ) 不是有限闭区间, 故不是区间数.,目 录,46,(ii) 模糊数的运算法则 定义2.3.5 设 p, qR, L=, 则根据分解定理可定义模糊数的运算为 (1) p q = 0,1 (p q)其隶属函数为 (p q)(z) = xy=z p(x) q(y) 其中x, y, zR (2) 设 k为非负实数,则r R, k与r的乘积为 k r = 0,1 (k r) 其隶属函数为 (k r)(x) = k y =x r(y) x, yR,47,例2.3.2 设近似等于2的模糊数为,目 录,48,例2.3.2

27、 设 T(a,), T(a1,1),和T(a2,2) 均为 三角模糊数, k 0 ,求T(a1,1)+T(a2,2) , kT(a,).,目 录,49,解: 因为 0,1 ,有 T( a,)=a (1), a+ (1). 所以由定义2.3.5知 (1) T(a1,1)+T(a2,2) = 0,1 T(a1,1) +T(a2,2) = 0,1 a11 (1), a1+ 1 (1)+ a2 2 (1), a2+ 2 (1) = 0,1 a1+a2(1+2 )(1), a1+a2 +(1+2 )(1) = T(a1+a2,1+2). (2) kT(a,) = 0,1 k a (1), a+ (1)

28、= 0,1 kak (1), ka+k (1) = T(ka, k),50,定理2.3.5 设k0, p, q,rR,则L=, , , p*q R, k*r R. 这说明模糊数关于“, ” 这六种运算和数乘运算都是封闭的. 证明: 因为( 0,1 , p, q和r都是区间数,故有区间数的运算知 p* q R- , k*r R-, 从而由模糊数的表现定理知, p*q R, k*r R .,51,2.3.6 模糊数运算性质 (i) 模糊数的截集运算性质 首先介绍一些将在证明模糊数的截集运算性质需用到的概念 定义2.3.6 设AF(U ),记 则称 和 分别为模糊集A的 高 和 底 . (1) 若u

29、, vU ,s.t. A(u)=1 , A(v)=0 则称A为正则模糊集 ; (2) 若 ,则称A为拟正则模糊集 ; (3) 若u0U ,s.t. A(u0)= ,则称 是可达的 定理2.3.6 设AF( R ),若 0,1 , A为R中的有限闭区间或空集, 则 是可达的. 证明:记 ,则由数学分析中的确界定理知 xnR, nN 使 , 且A(xn)| nN是严格递增数列,令A(xn)=n ,则由定理1.4.4得 由n 0 ,知 ,故A n为有限闭区间,且 是闭区间套, 因此,目 录,52,2.3.6 模糊数运算性质 利用定理2.3.6,可证如下模糊数的截集运算性质. 定理2.3.7 设p,

30、q R, k 0 , ( 0,1 , 则 (1) (p+q) = p +q ; (2) (pq) = p q ; (3) (pq) = pq ; (4) (pq) = p q ; (5) (pq) = pq ; (6) (pq) = pq ; (7) (kp) = kp;,目 录,53,证明: (1)根据定理2.2.4(2),欲证结论(1)成立,只需证zR, x0R, s.t. (p+q)(z) = p(x0)q(zx0)即可. 事实上,由模糊数的加法运算知 (p+q)(z) =x+y=zp(x)q(y)= xR p(x)q(z-x) 令r(x)=q(z-x),则( 0,1 ,由定理1.4.2

31、知 (pr)= pr.由于p和r都是有限闭区间,故(pr)为有限闭区间或空集,从而由定理2.3.6知 x0R使 p(x0)q(zx0)= = xR p(x)q(z-x) 于是得证zR, x0R, s.t. (p+q)(z) = p(x0)q(zx0). 同理可证(2)(7).,54,(ii) 模糊数的代数运算性质 定理 2.3.7 设p, q,rR, k , k1, k2 0 ,则 (1) 交换律: p+q = q+p , pq = qp ; (2) 结合律: (p+q)+r = p+(q+r) , (pq)r = p(qr) ; (3) 数乘与加法分配律: k(p+q) = kp+ kq , (k1+k2) p = k1p+ k2p ; (4) p(q+r) pq+ pr, 但反之一般不成立, 这说明模糊数的运算一般不满足分配律.,目 录,55,例如:设p=0, 1, q=-1, 1, r=1, 2R, 则 p(q+r) =0, 3, pq + pr = -1, 3, 故 p(q+r) pq+ pr .,