高中数学新课程创新教学设计案例共50课时下 2650课时

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1、26 空间直角坐标系教材分析这节课是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广，是以后学习“空间向量”等内容的基础通过建立空间直角坐标系，可以将空间内任一点用有序数组来表示；反过来，任一有序数组就对应一个点，这样空间直角坐标系中的点就有了坐标表示在空间中引入坐标的目的和物理学中引入单位制一样，是提供一个度量几何对象的方法因此，研究空间图形就可以代数化，实现了形向数的转化，将数与形紧密地结合起来这节课学完后，如把几何体放入空间直角坐标系中来研究，几何体上的点就有了坐标表示，一些题目如两点间距离、异面直线成的角、二面角的平面角等就可借助于空间向量来解答，所以，这节课对于沟通高中各部分知识，

2、完善学生的认知结构，起到了很重要的作用教学目标1. 让学生经历用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法，进一步体会数学概念、方法产生和发展的过程，学会科学的思维方法2. 理解空间直角坐标系与点的坐标的意义，掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标或由坐标确定其在空间直角坐标系内的点，认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系3. 进一步培养学生的空间想象能力与确定性思维能力任务分析点在三维空间内位置的确定是一个比较抽象的过程，学生在这个方面还没有形成清晰的认识，教学时应充分类比以往点在直线、点在平面内位置的确定方式通过实例，激发学生的学习兴趣与探索欲望，充分发挥学生的主体作用，引导学生顺理成章地

3、得出通过建立空间直角坐标系利用点的坐标来确定点在空间内的位置要特别强调点与坐标的一一对应关系，来强化对点的坐标的理解围绕在空间直角坐标系中点的坐标的确定这一教学重点，通过巩固与练习反复强化如何在坐标系中利用点的坐标的概念来确定点的坐标这一过程，以巩固学生对新知识的理解，实现从感性认识到理性认识的飞跃教学设计一、问题情景1. 确定一个点在一条直线上的位置的方法2. 确定一个点在一个平面内的位置的方法例：如图26-1，要在一块长10cm、宽5cm的铁板上钻一个孔若孔中心到铁板左边为2cm，到下边为4cm（铁板摆放位置已定），问孔中心的位置是否确定3. 如何确定一个点在三维空间内的位置？例：如图26

4、-2，在房间（立体空间）内如何确定电灯位置？在学生思考讨论的基础上，教师明确：确定点在直线上，通过数轴需要一个数；确定点在平面内，通过平面直角坐标系需要两个数那么，要确定点在空间内，应该需要几个数呢？通过类比联想，容易知道需要三个数要确定电灯的位置，知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可（此时学生只是意识到需要三个数，还不能从坐标的角度去思考，因此，教师在这儿要重点引导）教师明晰：在地面上建立直角坐标系xOy，则地面上任一点的位置只须利用x，y就可确定为了确定不在地面内的电灯的位置，须要用第三个数表示物体离地面的高度，即需第三个坐标z因此，只要知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的

5、距离即可例如，若这个电灯在平面xOy上的射影的两个坐标分别为4和5，到地面的距离为3，则可以用有序数组（4，5，3）确定这个电灯的位置（如图26-3）这样，仿照初中平面直角坐标系，就建立了空间直角坐标系Oxyz，从而确定了空间点的位置二、建立模型1. 在前面研究的基础上，先由学生对空间直角坐标系予以抽象概括，然后由教师给出准确的定义从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz，点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xO平面，yO平面，zOx平面教师进一步明确：（1）在空间直角坐标系中，让右手拇指

6、指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向则称这个坐标系为右手坐标系，课本中建立的坐标系都是右手坐标系（2）将空间直角坐标系Oxyz画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴成135，而y轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长度相等，但x轴上的单位长度等于y轴和z轴上的单位长度的，这样，三条轴上的单位长度直观上大致相等2. 空间直角坐标系Oxyz中点的坐标思考：在空间直角坐标系中，空间任意一点与有序数组（x，y，z）有什么样的对应关系？在学生充分讨论思考之后，教师明确：（1）过点A作三个平面分别垂直于x轴，y轴，z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的

7、坐标依次为x，y，z，这样，对空间任意点A，就定义了一个有序数组（x，y，z）（2）反之，对任意一个有序数组（x，y，z），按照刚才作图的相反顺序，在坐标轴上分别作出点P，Q，R，使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x，y，z，再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面，这三个平面的交点就是所求的点A这样，在空间直角坐标系中，空间任意一点A与有序数组（x，y，z）之间就建立了一种一一对应关系：A（x，y，z）教师进一步指出：空间直角坐标系Oxyz中任意点A的坐标的概念对于空间任意点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于

8、点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序数组（x，y，z）叫作点A的坐标，记为A（x，y，z）（如图26-4）三、解释应用例题1. 在空间直角坐标系Oxyz中，作出点P（5，4，6）注意：在分析中紧扣坐标定义，强调三个步骤，第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位，第二步沿与轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位（如图26-5）2. （1）在空间直角坐标系中，坐标平面xOy，xOz，yOz上点的坐标有什么特点？（2）在空间直角坐标系中，x轴、y轴、z轴上点的坐标有什么特点？解：（1）xOy平面、xOz平面、yOz平面内的点的坐标分

9、别形如（x，y，0），（x，0，z），（0，y，z）（2）x轴、y轴、z轴上点的坐标分别形如（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z）3. 已知长方体ABCDABCD的边长AB12，AD8，AA5，以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标注意：此题可以由学生口答，教师点评解：A（0，0，0），B（12，0，0），D（0，8，0），A（0，0，5），C（12，8，0），B（12，0，5），D（0，8，5），C（12，8，5）讨论：若以C点为原点，以射线CB，CD，CC方向分别为x，y，z轴的正半轴，建立

10、空间直角坐标系，那么各顶点的坐标又是怎样的呢？得出结论：建立不同的坐标系，所得的同一点的坐标也不同练习1. 在空间直角坐标系中，画出下列各点：A（0，0，3），B（1，2，3），C（2，0，4），D（1，2，2）2. 已知：长方体ABCDABCD的边长AB12，AD8，AA7，以这个长方体的顶点B为坐标原点，射线AB，BC，BB分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标3. 写出坐标平面yOz上yOz平分线上的点的坐标满足的条件四、拓展延伸1. 分别写出点（1，1，1）关于各坐标轴和各个坐标平面对称的点的坐标2. 设为任意实数，相应的所有点P（1，2，z）的

11、集合是什么图形？3. 试将平面直角坐标系中的两点间距离公式类比到空间直角坐标系中去点评这篇案例主要采用启发式教学方法，通过激发学生学习的求知欲望，使学生主动参与教学实践活动首先，为了使学生比较顺利地实现从线到平面、再从平面到空间的变化，即从一维到二维、再从二维到三维向量的变化，采用了类比的数学教学手段，顺利地引导学生实现了这一变化，同时引起了学生的兴趣在整个教学过程中，内容由浅入深，环环相扣，不仅使学生在学习过程中了解了知识的发生、发展的过程，也使学生尝到了成功的喜悦这对增强学生的学习信心，起到了很好的作用在研究过程中，充分运用了类比、交换、数形结合等数学思想方法，有效地培养了学生的思想品质在

12、求空间直角坐标系中点的坐标时，学生不仅会很自然地运用类比的思想方法，也锻炼了他们的空间思维能力就整体而言，空间直角坐标系是空间向量的根基，这种课属于典型的起始课教学这篇案例在体现坐标思想、概念教学等方面做了成功的探究27 随机抽样教材分析这节课是学生在初中已学过一些统计知识、了解统计的基本思想方法的基础上，进一步研究怎样通过样本去统计总体的相应情况，即怎样从总体中抽取样本才能更充分地反映总体的情况教材首先通过学生熟悉的问题情境给出抽样方法，然后对三种抽样方法进行比较，归纳出三种抽样的特点、联系及适用范围，使学生对三种抽样有一个较完整的认识教学目标1. 了解统计的基本思想，会用简单随机抽样、系统

13、抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本2. 通过抽样方法的学习，培养学生运用统计方法解决问题的能力任务分析这节课的重点是三种抽样方法，难点是三种抽样方法的特点，以及用三种抽样方法解决实际问题教学设计一、问题情境1. 从含有120个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，应怎样抽取？每个个体被抽取的概率是多少？2. 为了了解参加某种知识竞赛的1000名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为50的样本，应怎样抽取？每个个体被抽取的概率是多少？3. 一个单位的职工有500人，其中不到35岁的有125人，3549岁的有280人，50岁以上的有95人为了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取

14、一个容量为100的样本，应怎样抽取？每个个体被抽取的概率是多少？二、分组讨论针对上述问题讨论：1. 在上述三个问题中，总体的个数及组成上有何区别？2. 如何抽样3. 每个个体在抽样过程中被抽取的概率是多少？学生分组讨论后，教师明晰：（1）上述三个问题在总体的个数上有明显不同，问题1中总体个数较少，问题2和3中总体个数较多；从组成上问题l，2与3有明显不同，问题3中总体由差异明显的三部分组成（2）问题1可用生活中常用的抽签法，而问题2和3个体的个数较多，并且问题3中的各个体间又存在明显差异，故用抽签法不方便（3）每个个体被抽取的概率均等三、建立模型由问题1，2和3及讨论结果，归纳概括出三种抽样的

15、概念1. 简单随机抽样（1）定义一般地，设一个总体的个体数为，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，并且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样（2）抽样方法抽签法对总体中的所有个体（共N个）编号，号码从1到N，并把号码写在形状、大小相同的签上抽签时，每次从中抽出1个签，连续抽n次，就可得到一个容量为n的样本随机数表法第一步：编号第二步：在随机数表中任选一个数作为起始数第三步：从选定的数开始向任一方向读下去，到个号码读完为止教师明晰：第一，当总体中的个体数不多时，适宜抽签法第二，从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本，每个个体被抽到的概率都等于3. 系统抽样（1）

16、定义当总体中的个体数较多时，采用简单随机抽样，就显得烦锁这时，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分中抽取一个个体，得到需要的样本，这种抽样叫作系统抽样（2）系统抽样的步骤第一步：采用随机的方式将总体中的个体编号为简便起见，有时可直接利用个体带有的号码编号，如考生的准考证号、街道上各户的门牌号等第二步：为将整个的编号进行分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔k当（N为总体中的个体数，n为样本容量）是整数时，k；当n不是整数时，通过从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体个数N能被n整除，这时第三步：在第1段用简单随机抽样确定起始的个体编号l第四步：按照事先确定的规则抽

17、取样本（通常是将l加上间隔k，得到第2个编号lk，再将（lk）加上k，得到第3个编号l2k，这样继续下去，直到获取整个样本）教师明晰：第一，编号的方式可酌情决定，如100个个体可以编号为1100，也可以编号为（1，1），（1，2），（10，10）等第二，系统抽样与简单随机抽样的联系在于：将总体均分后的每一部分进行抽样时，采用简单随机抽样4. 分层抽样（1）定义当总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫作分层抽样，其中所分成的各部分叫作层教师明晰：第一，由于各部分抽取的个体数与这一部分个体数的比等于样本容量与

18、总体的个体数的比，故分层抽样时，每一个个体被抽到的概率都是相等的第二，由于分层抽样充分利用了我们掌握的信息，使样本具有较好的代表性，而且在各层抽样时，可以根据具体情况采取不同的抽样方法，所以分层抽样在实践中有着非常广泛的应用5. 三种抽样方法的比较教师引导学生分组讨论，归纳，并填写下表：表26-1类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的概率相等从总体中逐个抽取总体中的个体数较少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异

19、明显的几部分组成练习1. 将全班女学生（或男学生）按座位编号，制作相应的卡片签，放入同一个箱子里均匀搅拌，从中抽出8个签，就相应的8名学生对看足球比赛的喜爱程度（很喜爱、喜爱、一般、不喜爱、很不喜爱）进行调查，还可对其他感兴趣的问题进行调查2. （1）在上面用随机数表抽取样本的例子中，再按照下面的规则来抽取容量为10的样本：从表中的某一个两位数字号码开始依次向下读数，到头后再转向它左面的两位数字号码，并向上读数，以此下去，直到取足样本（2）自己设计一个抽样规则，抽取上面要求的样本3. 一个礼堂有30排座位，每排有40个座位一次报告会，礼堂内坐满了听众会后，为听取意见，留下了座位号为14的所有3

20、0名听众进行座谈这里运用了哪种抽取样本的方法？4. 10000个有机会中奖的号码（编号为00009999）中，有关部门按照随机抽取的方式确定，后两位数字是37的号码为中奖号码这是运用哪种抽样方法来确定中奖号码的？试依次写出这100个中奖号码5. 一个田径队中有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从全队的运动员中抽出一个容量为28的样本6. 某市的3个区共有高中学生20000人，且3个区的高中学生人数之比为235现要用分层抽样的方法从所有学生中抽取一个容量为200的样本，那么分别应从这3个区中抽取多少人？四、拓展延伸1. 运用本节知识在本校范围内就学生的某一指标进行抽样调查，并写出实

21、习报告2. 利用系统抽样从总体数为3782的总体中抽取样本容量为15的样本时，每个个体被抽取的概率是多少？分析：找间隔，此时k不为整数，须从总体中剔除2个个体，每个个体被剔除的概率为，被保留的概率为，所以每个个体被抽取的概率为点评这篇案例主要研究了抽样的思想方法，属于概念课案例首先从学生日常熟悉的问题情境入手，然后展开讨论，并让学生大胆设想抽样方法虽然他们的方法并不完善，但可以充分使学生参与知识的形成，并形成合作学习的意识，最后的“拓展延伸”是本节内容的应用和深化该案例充分体现了从具体到抽象又从抽象到具体的模式，符合学生的认知规律28 频率与概率教材分析频率与概率是两个不同的概念，但是二者又有

22、密切的联系如何从二者的异同点中抽象出概率的定义是本案例的主要内容本节课蕴涵了具体与抽象之间的辩证关系讲授过程中对教材处理稍有不当，可能直接影响学生对本节重点（即概念的理解）的掌握程度因此，如何设计合适的实例，怎样引导学生理解和总结是处理好本节的关键，也是处理好本节教材的难点教学目标通过本节课教学，使学生能理清频率和概率的关系，并能正确理解概率的意义，增强学生的对立与统一的辩证思想意识任务分析由于频率在大量重复试验的前提下可以近似地叫作这个事件的概率，因此本节课应从具有大量重复试验的实例入手为加深学生的理解程度，可采用学生亲自参与到试验中去，从操作中去体会，去总结概率可看作频率理论上的期望值，从

23、数量上反映了随机事件发生的可能性大小因此，为巩固学生总结出的知识，最后还要回归到实例中去，让学生去运用，以符合认知过程教学设计一、问题情境在日常生活中，我们经常遇到某某事件发生的概率是多少，如2004年2月5日文汇报登载的两则消息本报讯记者梁红英报道：2月3日晚6点19分，一彩民购买的“江浙沪大乐透”彩票，同时投中10注一等奖，独揽48571620元巨额奖金，创下中国彩票史上个人一次性奖额之最据有关人士介绍，该彩民当时花了200元买下100注“江浙沪大乐透”彩票，分成10组，每组10注，每组的自选号码相同结果，其中1组所选号码与前晚“江浙沪大乐透”2004015期开奖号码完全一致本报讯记者江世

24、亮报道：对这种似乎不可能发生事件的发生，从数学概率论上将作何解释？为此，记者于昨日午夜电话连线采访了本市一位数学建模专家，他说，以他现在不完全掌握的情况来分析，像这名幸运者同时获得10个大奖的概率，可称得上一次万亿分之一的事件，通俗地讲就是接近于零对文中的“万亿分之一”我们怎样理解呢？再如：天气预报说“明天降雨的概率是80%，我们明天出门要不要带伞？收音机里广播报道2004年冬某地“流行性感冒的发病率为10%”，我们这里要不要采取预防措施？对这些在传播媒体上出现的数字80%，10%等，我们该作何理解呢？二、建立模型为了解决诸如以上的实际问题，我们不妨先从熟悉的频率的概念入手首先，将全班同学平均

25、分成三组，第一组做掷硬币试验，次数越多越好，观察掷出正面向上的次数，然后把试验结果和计算结果分别填入下表表28-1小组编号抛掷次数（n）正面向上的次数（m）正面向上的频率（ ）第二组做抓阄试验写五个阄，即分别标号为1，2，3，4，5，有放回地抓，每次记录下号数，次数越多越好不妨统计一下各号数所占频率第三组做摸围棋子试验预先准备黑、白围棋子若干，然后给该组学生黑子30粒，白子10粒，让该组学生有放回地摸，次数为100次，每次摸出1粒，并记录下每次摸到的棋子的颜色，求出白子出现的频率试验结束，让各组学生回答试验结果第一组正面向上的频率必然接近，第二组结果肯定是每个号出现的频率接近，而第三组结果肯定

26、位于附近各组学生所得结果可能大于预定数，也可能小于预定数，但都比较接近让学生讨论：出现与上述结果比较接近的数字受何因素影响？（学生思考，讨论，教师投影以下表格）历史上有些学者还做了成千上万次掷硬币的试验，结果如下表所示：表28-2试验者抛掷次数（n）正面向上的次数（m）正面向上的频率（ ）棣莫佛204810610.5181蒲丰404020480.5069费勒1000049790.4979皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005观察上表后，引导学生总结：在多次重复试验中，同一事件发生的频率在某一个数值附近摆动，而且随着试验次数的增加，一般摆动幅度的越小，而且观察

27、到的大偏差也越少，频率呈现一定的稳定性通过三组试验，我们可以发现：虽然，三个数值不等，但是三个试验存在共性，即随机事件的频率随试验次数的增加稳定在某一数值附近同时还可看出，不同的随机事件对应的数值可能不同我们就用这一数值表示事件发生的可能性大小，即概率（引出概率定义）定义可采用学生口述、教师补充的方式，然后可以投影此定义：一般地，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆度幅度越来越小，这时就把这个常数叫作事件A的概率，记为P（A）学生可考虑如下问题：（1）概率P（A）的取值范围是什么？（2）必然事件、不可能性事件的概率各是多少？（3）频率和

28、概率有何关系？其中重点是问题（3），应启发、引导学生总结出：在大量重复试验的前提下，频率可以近似地称为这个事件的概率，而概率可看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小为加深对二者关系的理解，可以进行如下类比：给定一根木棒，谁都不怀疑它有“客观”的长度，长度是多少？我们可以用尺或仪器去测量，不论尺或仪器多么精确，测得的数值总是稳定在木棒真实的“长度”值的附近事实上，人们也是把测量所得的值当作真实的“长度”值这里测量值就像本节中的频率，“客观”长度就像概率概率的这种定义叫作概率的统计定义在实践中，经常采用这种方法求事件的概率三、解释应用例题1. 把第三组试验中的黑棋子减少

29、10粒，即20粒黑子，10粒白子，那么摸到黑子的概率约为多少？学生通过多次试验，可以发现此概率约为.2. 为确定某类种子的发芽率，从一批种子中抽出若干批做发芽试验，其结果如下：表28-3种子粒数（n）257013070020003000发芽粒数（m）246011663918062713发芽率（ ）0.960.8570.8920.9130.9030.904从以上的数据可以看出，这类种子的发芽率约为0.9练习某射击手在同一条件下进行射击，结果如下：表28-4射击次数（n）102050100200500击中靶心次数（m）8194492178455击中靶心频率（ ）（1）计算表中击中靶心的各个频率（表

30、中各频率分别为0.8，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91）（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？（由此（1）可知，这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9）四、拓展延伸“某彩票的中奖概率为”是否意味着买1000张彩票就一定能中奖？从概率的统计定义出发，我们先来考虑此题的简化情形：在投掷一枚均匀硬币的随机试验中，正面出现的概率是，这是否意味着投掷2次硬币就会出现1次正面呢？根据经验，我们投掷2次硬币有可能1次正面也不出现，即出现2次反面的情形，但是在大量重复掷硬币的试验中，如掷10000次硬币，则出现正面的次数约为5000次买1000张彩票相当于做1000次试验，结果可

31、能是一次奖也没中，或者中一次奖，或者多次中奖所以“彩票中奖概率为”并不意味着买1000张彩票就一定能中奖只有当所买彩票的数量n非常大时，才可以将大量重复买彩票这个试验看成中奖的次数约为（比如说买1000000张彩票，则中奖的次数约为1000），并且n越大，中奖次数越接近于.由此我们可以说，对于小概率事件，从理论上来讲，发生的可能性很小，甚至在一定条件下可能不会发生但是，实际上小概率事件仍有发生的可能，如本节开头提到的万亿分之一的概率事件就发生了点评针对这节课以概念为主，而又抽象的特点，案例设计了以学生动手试验为主，引导学生体会概念的教学方法，同时对这节中较抽象的内容：频率和概率的关系做了形象的

32、类比，以便学生理解这篇案例增加了试验内容，其目的是更有力地帮助学生理解定义另外，例题与练习的配备有利于学生加深对这节内容的理解因此，这节课的整体设计符合学生对新知识认识的规律，符合新课程标准的精神29 古典概型教材分析古典概型是概率中最基本、最常见而又最重要的类型之一这节内容是在一般随机事件的概率的基础上，进一步研究等可能性事件的概率教材首先通过一些熟悉的例子，归纳出古典概型的特征，进而给出古典概型的定义，这里渗透了从特殊到一般的思想这节课的重点内容是古典概型的概念，难点是利用古典概型的概念求古典概率教学目标1. 通过实例对古典概型概念的归纳和总结，使学生体验知识产生和形成的过程，培养学生的抽

33、象概括能力2. 理解古典概型的概念，能运用所学概念求一些简单的古典概率，并通过实例归纳和总结出概率的一般加法公式3. 通过对古典概型的学习，使学生进一步体会随机事件概率的实际意义任务分析这节内容在学生已理解随机事件概率的基础上，由具体的例子抽象出古典概型的概念在这里，一个试验是否为古典概型是难点，故要通过具体例子总结古典概型的两个共同特征，特别要注意反例的列举教学设计一、问题情境1. 掷一颗骰子，观察出现的点数这个试验的基本事件空间1，2，3，4，5，6它有6个基本事件由于骰子的构造是均匀的，因而出现这种结果的机会是均等的，均为2. 一先一后掷两枚硬币，观察正反面出现的情况这个试验的基本事件空

34、间（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）它有4个基本事件因为每一枚硬币“出现正面”与“出现反面”的机会是均等的，所以可以近似地认为出现这4种结果的机会是均等的，均为3. 在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”这个试验的基本事件空间为发芽，不发芽，而这两种结果出现的机会一般是不均等的二、建立模型1. 讨论以上三个问题的特征在这里，教师可引导学生从试验可能出现的结果上以及每个结果出现的可能性上讨论结论：（1）问题1，2与问题3不相同（2）问题1，2有两个共同特征：有限性在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件等可能性每个基本事件发生的可能性是均等的2. 古典

35、概型的定义通过学生的讨论，归纳出古典概型的定义如果一个随机试验有上述（2）中的两个共同特征，我们就称这样的试验为古典概型，上述前2个例子均为古典概型一个试验是否为古典概型在于这个试验是否具有古典概型的两个特征有限性和等可能性，并不是所有的试验都是古典概型例如，第3个例子就不属于古典概型3. 讨论古典概型的求法充分利用问题1，2抽象概括出古典概型的求法一般地，对于古典概型，如果试验的n个事件为A1，A2，An，由于基本事件是两两互斥的，则由互斥事件的概率加法公式，得P（A1）P（A2）P（An）P（A1A2An）P（）1又P（A1）P（A2）P（An），代入上式，得nP（A1）1，即P（A1）在

36、基本事件总数为n的古典概型中，每个基本事件发生的概率为如果随机事件包含的基本事件数为m，同样地，由互斥事件的概率加法公式可得P（A）mn，即.三、解释应用例题一1. 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率注：规范格式，熟悉求法2. 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率练习一在例2中，把“每次取出后不放回”换成“每次取出后放回”，其余条件不变，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率注意：放回抽样与不放回抽样的区别例题二甲、乙两人做出拳游戏（锤子、剪刀、布）求：（1）平局的概率（2）甲赢的概率（3）

37、乙赢的概率解：把甲、乙出的“锤子”、“剪刀”、“布”分别标在坐标轴上其中为平局，为甲赢，为乙赢，一次出拳共有339种，结果如图29-1设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C由古典概率的计算公式，得思考：例3这类概率问题的解法有何特点？练习二抛掷两颗骰子，求：（1）点数之和出现7点的概率（2）出现两个4点的概率例题三掷红、蓝两颗骰子，事件A红骰子的点数大于3，事件B蓝骰子的点数大于3，求事件AB至少有一颗骰子点数大于3发生的概率教师明晰：古典概型的情况下概率的一般加法公式设A，B是中的两个事件P（AB）P（A）P（B）P（AB），特别地，当AB时，P（AB）P（A）P（B）练习三一个电路板上

38、装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63问：至少有一根熔断的概率是多少？四、拓展延伸每个人的基因都有两份，一份来自父亲，另一份来自母亲同样地，他的父亲和母样的基因也有两份在生殖的过程中，父亲和母亲各自随机地提供一份基因给他们的后代以褐色的眼睛为例，每个人都有一份基因显示他眼睛的颜色：（1）眼睛为褐色（2）眼睛不为褐色如果孩子得到父母的基因都为“眼睛为褐色”，则孩子的眼睛也为褐色如果孩子得到父母的基因都为“眼睛不为褐色”，则孩子眼睛不为褐色（是什么颜色取决于其他的基因）如果孩子得到的基因中一份为“眼睛为褐色”，另一份为“眼睛不为褐色”，则孩

39、子的眼睛不会出现两种可能，而只会出现眼睛颜色为褐色的情况生物学家把“眼睛为褐色”的基因叫作显性基因为方便起见，我们用字母B代表“眼睛为褐色”这个显性基因，用b代表“眼睛不为褐色”这个基因每个人都有两份基因，控制一个人眼睛颜色的基因有BB，Bb（表示父亲提供基因B，母亲提供基因b），bB，bb注意在BB，Bb，bB和bb这4种基因中只有bb基因显示为眼睛颜色不为褐色，其他的基因都显示眼睛颜色为褐色假设父亲和母亲控制眼睛颜色的基因都为Bb，则孩子眼睛不为褐色的概率有多大？点评这篇案例设计思路清晰，重点突出，目标明确，为分散难点案例采用了从具体到抽象的方法，充分展示了知识的形成过程，使学生感到自然，

40、没有突兀感，符合学生的认知规律例题的设计有梯度，跟踪练习有针对性，教学过程充分发挥了学生自主学习和合作学习的学习方式，对学生后继学习能力的培养有积极的作用30 几何概型教材分析和古典概型一样，在特定情形下，我们可以用几何概型来计算事件发生的概率它也是一种等可能概型教材首先通过实例对比概念给予描述，然后通过均匀随机数随机模拟的方法的介绍，给出了几何概型的一种常用计算方法与本课开始介绍的P（A）的公式计算方法前后对应，使几何概型这一知识板块更加系统和完整这节内容中的例题既通俗易懂，又具有代表性，有利于我们的教与学生的学教学重点是几何概型的计算方法，尤其是设计模型运用随机模拟方法估计未知量；教学难点

41、是突出用样本估计总体的统计思想，把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题教学目标1. 通过这节内容学习，让学生了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用2. 通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力3. 通过学习，让学生体会试验结果的随机性与规律性，培养学生的科学思维方法，提高学生对自然界的认知水平任务分析在这节内容中，介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，因此，教学重点是随机模拟部分这节内容的教学需要一些实物模型作为教具，如教科书中的转盘模型、例2中的随机撒豆子的模型等教学中应当注意让学生实际动手操作，以

42、使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果随机模拟的教学中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数，进行模拟活动有条件的学校可以让学生用一种统计软件统计模拟的结果教学设计一、问题情境如图，有两个转盘甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向区域时，甲获胜，否则乙获胜问题：在下列两种情况下分别求甲获胜的概率二、建立模型1. 提出问题首先引导学生分析几何图形和甲获胜是否有关系，若有关系，和几何体图形的什么表面特征有关系？学生凭直觉，可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积有关即：字母B所在扇形弧长（或面积）与整个圆弧长（或面积）的比接着提出这样的问题

43、：变换图中B与N的顺序，结果是否发生变化？（教师还可做出其他变换后的图形，以示决定几何概率的因素的确定性）题中甲获胜的概率只与图中几何因素有关，我们就说它是几何概型注意：（1）这里“只”非常重要，如果没有“只”字，那么就意味着几何概型的概率可能还与其他因素有关，这是错误的（2）正确理解“几何因素”，一般说来指区域长度（或面积或体积）2. 引导学生讨论归纳几何概型定义，教师明晰抽象概括如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：3. 再次提出问题，并组织学生讨论（1）情境中两种情况下

44、甲获胜的概率分别是多少？（2）在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率（3）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10min的概率通过以上问题的研讨，进一步明确几何概型的意义及基本计算方法三、解释应用例题1. 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：307：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：008：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少分析：我们有两种方法计算事件的概率（1）利用几何概型的公式（2）利用随机模拟的方法解法1：如图，方形区域内任何一点的横坐

45、标表示送报人送到报纸的时间，纵坐标表示父亲离开家去工作的时间假设随机试验落在方形内任一点是等可能的，所以符合几何概型的条件根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以解法2：设X，Y是01之间的均匀随机数X6.5表示送报人送到报纸的时间，Y7表示父亲离开家去工作的时间如果Y7X6.5，即YX0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸用计算机做多次试验，即可得到P（A）教师引导学生独立解答，充分调动学生自主设计随机模拟方法，并组织学生展示自己的解答过程，要求学生说明解答的依据教师总结，并明晰用计算机（或计算器）产生随机数的模拟试验强调：这里采用随机数模拟方法，是用频

46、率去估计概率，因此，试验次数越多，频率越接近概率2. 如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率的值解：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即假设正方形的边长为2，则由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以这样就得到了的近似值另外，我们也可以用计算器或计算机模拟，步骤如下：（1）产生两组01区间的均匀随机数，a1RAND，b1RAND；（2）经平移和伸缩变换，a（a10.5）*2，b（b10.5）*2；（3）数出落在圆内a2b21的豆子数N1，计算（N代表落在正方形中

47、的豆子数）可以发现，随着试验次数的增加，得到的近似值的精度会越来越高本例启发我们，利用几何概型，并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积练习1. 如图30-4，如果你向靶子上射200镖，你期望多少镖落在黑色区域2. 利用随机模拟方法计算图30-5中阴影部分（y1和yx2围成的部分）的面积3. 画一椭圆，让学生设计方案，求此椭圆的面积四、拓展延伸1. “概率为数0的事件是不可能事件，概率为1的事件是必然事件”，这句话从几何概型的角度还能成立吗？2. 你能说一说古典概型和几何概型的区别与联系吗？3. 你能说说频率和概率的关系吗？点 评这篇案例设计完整，整体上按知识难易逐渐深入，同时充分调动了学

48、生的积极性，以学生之间互动为主，教师引导为辅例题既有深化所学知识的，又有应用所学知识的“拓展延伸”既培养了学生的思维能力，又有利于学生从总体上把握这节课所学的知识31 角的概念的推广 教材分析这节课主要是把学生学习的角从不大于周角的非负角扩充到任意角，使角有正角、负角和零角首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了几个与之相关的概念：象限角、终边相同的角等在这节课中，重点是理解任意角、象限角、终边相同的角等概念，难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来理解任意角的概念，会在平面内建立适当的坐标系，通过数形结合来

49、认识角的几何表示和终边相同的角的表示，是学好这节的关键教学目标1. 通过实例，体会推广角的必要性和实际意义，理解正角、负角和零角的定义2. 理解象限角的概念、意义及表示方法，掌握终边相同的角的表示方法3. 通过对“由一点出发的两条射线形成的图形”到“射线绕着其端点旋转而形成角”的认识过程，使学生感受“动”与“静”的对立与统一培养学生用运动变化的观点审视事物，用对立统一规律揭示生活中的空间形式和数量关系任务分析这节课概念很多，应尽可能让学生通过生活中的例子（如钟表上指针的转动、体操运动员的转体、自行车轮子上的某点的运动等）了解引入任意角的必要性及实际意义，变抽象为具体另外，可借助于多媒体进行动态

50、演示，加深学生对知识的理解和掌握教学设计一、问题情境演示1. 观览车的运动2. 体操运动员、跳台跳板运动员的前、后转体动作3. 钟表秒针的转动4. 自行车轮子的滚动问题1. 如果观览车两边各站一人，当观览车转了两周时，他们观察到的观览车上的某个座位上的游客进行了怎样的旋转，旋转了多大的角？2. 在运动员“转体一周半动作”中，运动员是按什么方向旋转的，转了多大角？3. 钟表上的秒针（当时间过了1.5min时）是按什么方向转动的，转动了多大角？4. 当自行车的轮子转了两周时，自行车轮子上的某一点，转了多大角？显然，这些角超出了我们已有的认识范围本节课将在已掌握的0360角的范围的基础上，把角的概念

51、加以推广，为进一步研究三角函数作好准备二、建立模型1. 正角、负角、零角的概念在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个方向：顺时针方向和逆时针方向习惯上规定，按逆时针旋转而成的角叫作正角；按顺时针方向旋转而成的角叫作负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫作零角2. 象限角当角的顶点与坐标原点重合、角的始边与轴正半轴重合时，角的终边在第几象限，就把这个角叫作第几象限的角如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限3. 终边相同的角在坐标系中作出390，330角的终边，不难发现，它们都与30角的终边相同，并且这两个角都可以表示成0360角与k个（kZ）周角的和，即39030360，（

52、k1）；33030360，（k1）设S30k360，kZ，则390，330角都是S中的元素，30角也是S中的元素（此时k0）容易看出，所有与30角终边相同的角，连同30角在内，都是S中的元素；反过来，集合S中的任一元素均与30角终边相同一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合：Sk360，kZ，即任一与终边相同的角，都可以表求成角与整数个周角的和三、解释应用例题1. 在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角（1）150（2）650（3）95052. 分别写出与下列角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式360720的元素写出来（1）60（2）21

53、（3）363143. 写出终边在y轴上的角的集合解：在0360范围内，终边在轴上的角有两个，即90，270因此，与这两个角终边相同的角构成的集合为S190k360，kZ902k180，kZ，而所有与270角终边相同的角构成的集合为S2270k360，kZ90（2k1）180，kZ于是，终边在y轴上的角的集合为SS1S2902k180，kZ90（2k1）180，kZ90n180，nZ注：会正确使用集合的表示方法和符号语言练习1. 写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式720360的元素写出来（1）45（2）30（3）420（4）2252. 辨析概念（分别用集合表示出来）（1）第一

54、象限角（2）锐角（3）小于90的角（4）090的角3. 一角为30，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为4. 终边在x轴上的角的集合为；终边在第一、三象限的角的平分线上的角集合为四、拓展延伸1. 若角与终边重合，则与的关系是；若角与的终边互为反向延长线，则角与的关系是2. 如果在第二象限时，那么2，是第几象限角？注：（1）不能忽略2的终边可能在坐标轴上的情况（2）研究在哪个象限的方法：讨论k的奇偶性（如果是呢？）点评这篇案例运用多媒体展示了生活中常见的实例，极易激发学生学习的兴趣和热情在对知识的探讨过程中，特别注意了知识的形成过程，重点突出例题的设置比较典型，难易度适中练习题注重基础，但也有

55、一定的梯度，利于培养学生灵活处理问题的能力，并为学生学习以后章节做了较好的铺垫32 任意角的三角函数教材分析这节课是在初中学习的锐角三角函数的基础上，进一步学习任意角的三角函数任意角的三角函数通常是借助直角坐标系来定义的三角函数的定义是本章教学内容的基本概念和重要概念，也是学习后续内容的基础，更是学好本章内容的关键因此，要重点地体会、理解和掌握三角函数的定义在此基础上，这节课又进一步研讨了三角函数的定义域，函数值在各象限的符号，以及诱导公式（一），这既是对三角函数的简单应用，也是为学习后续内容做了必要准备教学目标1. 让学生认识三角函数推广的必要性，经历三角函数的推广的过程，增强对数的理解能力

56、2. 理解和掌握三角函数的定义，在此基础上探索与研究三角函数定义域、三角函数值的符号和诱导公式（一），并能初步应用它们解决一些问题3. 通过对任意角的三角函数的学习，初步体会数学知识的发生、发展和运用的过程，提高学生的科学思维水平任务分析在初中，我们只是学习了锐角三角函数，现在学习的是任意角的三角函数定义的对象从锐角三角函数推广到任意角的三角函数，从四种三角函数增加到六种三角函数定义的媒介则从直角三角形改为平面直角坐标系为了便于学生体会和理解，突出定义适用于任意角，通常要把终边出现在四个象限的情况都画出来（注意表示角时不用箭头），学习时，必须弄清并强调：这六个比值的大小都与点P在角的终边上的位

57、置无关，只与角的大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，符合函数的定义，从而归纳和总结出任意角的三角函数的定义对于三角函数的定义域、函数值在各象限内的符号和诱导公式（一），可放手让学生探索、研究、讨论和归纳，用以培养学生的数学思维能力教学设计一、情景设置初中我们学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，由其所在的直角三角形的对应边的比值为函数值，并且定义了角的正弦、余弦、正切、余切的三角函数这节课，我们研究当是一个任意角时的三角函数的定义在初中，三角函数的定义是借助直角三角形来定义的如图32-1，在RtABC中，现在，把三角形放到坐标系中如图32-2，设点B的坐标为（x，

58、y），则OCbx，CBay，OB，从而即角的三角函数可以理解为坐标的比值，在此意义下对任意角都可以定义其三角函数二、建立模型一般地，设是任意角，以的顶点O为坐标原点，以角的始边的方向作为轴的正方向，建立直角坐标系xOyP（x，y）为终边上不同于原点的任一点如图：那么，OP，记作r，（r0）对于三个量x，y，r，一般地，可以产生六个比值：.当确定时，根据初中三角形相似的知识，可知这六个比值也随之相应的唯一确定根据函数的定义可以看出，这六个比值都是以角为自变量的函数，分别把称之为角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函数，记为对于定义，思考如下问题：1. 当角确定后，比值与P点的位置有关吗？为什么

59、？2. 利用坐标法定义三角函数与利用直角三角形定义三角函数有什么关系？3. 任意角的正弦、余弦、正切都有意义吗？为什么？三、解释应用例题1. 已知角的终边经过P（2，3），求角的六个三角函数值思考：若P（2，3）变为（2m，3m）呢？（m0）2. 求下列角的六个三角函数值注：强化定义练习1. 已知角的终边经过下列各点，求角的六个三角函数值（1）P（3，4）（2）P（m，3）2. 计算（1）5sin902sin03sin27010cos180四、拓展延伸1. 由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，三角函数可以看成以实数为自变量的函数，如sina，不论取任何实数，恒有意义，所以sina的定义域为R类似地，研究cosa，tana，cota的定义域2. 根据三角函数的定义以及x，y，r在不同象限内的符号，研究sina，cosa，tana，cota的值在各个象限的符号3. 计算下列各组角的函数值，并归纳和总结出一般性的规律（1）sin30，sin390（2）cos45，cos（315）规律：终边相同的角有相同的三角函数值，即sin（k360）sina，cos（k360）cosa，tan（k360）tana，（kZ）五、应用与深化例题1. 确定下列三角函数值的符号2. 求证：角为第三象限角的充要条件是sin0，并且tan0证明：充分性：如果sin0，tan0都成立，那么为第三象限角