离散数学课后习题答案(第三章)
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1、证明 :设A上定义的二元关系R为:x,y, u,vR= 对任意x,yA,因为=,所以x,y, x,yR即R是自反的。 设x,yA,u,vA,假设x,y, u,vR=u,v,x,yR即R是对称的。 设任意x,yA,u,vA,w,sA,对x,y, u,vRu,v, w,sR=x,y, w,sR故R是传递的,于是R是A上的等价关系。3-10.6 设R是集合A 上的对称和传递关系,证明如果对于A中的每一个元素a,在A中同时也存在b,使在R之中,那么R是一个等价关系。证明 :对任意aA,必存在一个bA,使得a,bR.因为R是传递的和对称的,故有:a,bRb, cRa, cRc,aR由a,cRc, aRa
2、,aR所以R在A上是自反的,即R是A上的等价关系。3-10.7 设R1和R2是非空集合A上的等价关系,试确定下述各式,哪些是A上的等价关系,对不是的式子,提供反例证明。aAA-R1;bR1-R2;cR12;d) rR1-R2即R1-R2的自反闭包。解 aAA-R1不是A上等价关系。例如:A=a,b,R1=a,a,b,bAA=a,a,a,b,b,a,b,bAA-R1=a,b,b,a所以AA-R1不是A上等价关系。 b设 A=a,b,c R1=a,b,b,a,b,c,c,b,a,c,c,a,a,a,b,b,c,c R2=a,a,b,b,c,c,b,c,c,b R1-R2=a,b,b,a,a,c,c
3、,a 所以R1和R2是A上等价关系,但R1-R2不是A上等价关系。 c假设R1是A上等价关系,那么 a,aR1a,aR1R1所以R12是A上自反的。假设a,bR12那么存在c,使得a, cR1c,bR1。因R1对称,故有b, cR1c,aR1b, aR12即R12是对称的。假设a,bR12b, cR12,那么有a,bR1R1b, cR1R1$e1a, e1R1e1, bR1) $e2b, e2R1e2, cR1a,bR1b, cR1R1传递a,cR12即R12是传递的。故R12是A上的等价关系。 d如b所设,R1和R2是A上的等价关系,但 rR1-R2=R1-R2IA =a,b, b,a, a
4、,c,c,a,a,a,b,b, c,c不是A上的等价关系。3-10.8 设C*是实数局部非零的全体复数组成的集合,C*上的关系R定义为:(a+bi)R(c+di)ac0,证明R是等价关系,并给出关系R的等价类的几何说明。证明:(1)对任意非零实数a,有a20(a+bi)R(a+bi)故R在C*上是自反的。(2) 对任意(a+bi)R(c+di)ac0,因ca=ac0(c+di)R(a+bi),所以R在C*上是对称的。(3)设(a+bi)R(c+di) ,(c+di)R(u+vi),那么有ac0cu0假设c0,那么a0u0 au0假设c0,那么a0u0所以(a+bi)R(u+vi),即R在C*上
5、是传递的。关系R的等价类,就是复数平面上第一、四象限上的点,或第二、三象限上的点,因为在这两种情况下,任意两个点(a,b),(c,d),其横坐标乘积ac0。3-10.9 设和是非空集合A上的划分,并设R和R分别为由和诱导的等价关系,那么细分的充要条件是R R。证明:假设细分。由假设aRb,那么在中有某个块S,使得a,bS,因细分,故在中,必有某个块S,使S S,即a,bS,于是有aRb,即R R。反之,假设R R,令S为H的一个分块,且aS,那么S=aR=x|xRa但对每一个x,假设xRa,因R R,故xRa,因此x|xRa x|xRa即aR aR设S=aR,那么S S这就证明了细分。3-10
6、.10 设Rj是表示I上的模j等价关系,Rk是表示I上的模k等价关系,证明I/Rk细分I/Rj当且仅当k是j的整数倍。证明:由题设Rj=|xy(modj)Rk=|xy(modk)故Rjx-y=cj (对某个cI)Rkx-y=dk (对某个dI)a)假设I/Rk细分I/Rj,那么Rk Rj因此RkRj故k-0=1k=cj (对某个cI)于是k是j的整数倍。b)假设对于某个rI,有k=rj那么:Rkx-y=ck (对某个cI) x-y=crj (对某个c,rI)Rj因此,Rk Rj,于是I/Rk细分I/Rjfjasasdhgaowirghaoghaa;owghfjasasdhgaowirghaog
7、haa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasd
8、hgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaogha
9、a;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhg
10、aowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;
11、owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgao
12、wirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;ow
13、gfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowi
14、rghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgf
15、jasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirg
16、haoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfja
17、sasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirgha
18、oghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasa
19、sdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owghfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghao
20、ghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasas
21、dhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaogh
22、aa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdh
23、gaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa
24、;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhga
25、owirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;o
26、wgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaow
27、irghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owg
28、fjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowir
29、ghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfj
30、asasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirgh
31、aoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjas
32、asdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owghfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirgha
33、oghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasa
34、sdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaog
35、haa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasd
36、hgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaogha
37、a;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhg
38、aowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;
39、owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgao
40、wirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;ow
41、gfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowi
42、rghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgf
43、jasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirg
44、haoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfja
45、sasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owghfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirgh
46、aoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjas
47、asdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghao
48、ghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasas
49、dhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaogh
50、aa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdh
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