热力学与统计物理第九章答案

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1、热力学与统计物理第九章答案【篇一：热力学统计物理课后答案12】=txt2.2设一物质的物态方程具有以下形式：p?f（v）t,试证明其内能与体积无关.解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式：故有?p?f（v）（2）?t?v?u?p?t?p, （3）?v?t?t?vp?f（v）t,（1）但根据式（2.2.7），有所以?u?tf（v）?p?0（4）?v?t这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度t的函数2.3求证：（a）?0; （b?p?h解：焓的全微分为令dh?0，得内能的全微分为令du?0，得p?s?0. （4） ?v?utdu?tds?pdv.（3）?s

2、?v ?0. （2）?pt?h?s? ?s?）?v?u0 dh?tds?vdp. （1）2.6试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落.解：气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数？?t?t?和？?描述.熵函数s（t,p）的全微分为?p?p?s?h ?s?s?ds?dt?dp. ?t?p?p?t在可逆绝热过程中ds?0,故有?s?v?t?p?t?t?p?t?. （1） ?s ?pc?sp ?t?p最后一步用了麦氏关系式（2.2.4）和式（2.2.8）.焓h（t,p）的全微分为 ?h?h?dh?dt?dp. ?t?p?p?t在节流过程

3、中dh?0，故有?h?v?t?p?v?t?t?t?p.（2） ?h ?pc?hp?t?p最后一步用了式（2.2.10）和式（166）.将式（1）和式（2）相减，得?t?t?v?0.（3）?p?s?p?hcp所以在相同的压强降落下，气体在绝热膨胀中的温度降落大于节流 过程中的温度降落.这两个过程都被用来冷却和液化气体由于绝热膨胀过程中使用的膨胀机有移动的部分，低温下移动 部分的润滑技术是十分困难的问题，实际上节流过程更为常用.但是 用节流过程降温，气体的初温必须低于反转温度.卡皮查（1934年） 将绝热膨胀和节流过程结合起来，先用绝热膨胀过程使氦降温到反 转温度以下，再用节流过程将氦液化2.9证

4、明范氏气体的定容热容量只是温度t的函数，与比体积无关.解：根据习题2.8式（2）?2p?cv?t?2?, （ 1）?v?t?t?v范氏方程（式（1.3.12）可以表为nrtn2ap?. （2）v?nbv2由于在v不变时范氏方程的p是t的线性函数，所以范氏气体的定 容热容量只是t的函数，与比体积无关.不仅如此，根据2.8题式（3）?2p?cv（t,v）?cv（t,v0）?t?2?dv,（3）v0?t?vv我们知道，v?时范氏气体趋于理想气体令上式的v0?，式中的 cv（t,v0）就是理想气体的热容量由此可知，范氏气体和理想气体的 定容热容量是相同的.顺便提及，在压强不变时范氏方程的体积v与温度t

5、不呈线性关系.根据2.8题式（5）2?cv?p?2?,（2）?v?t?t?v这意味着范氏气体的定压热容量是t,p的函数2.16试讨论以平衡辐射为工作物质的卡诺循环，计算其效率.解：根据式（261）和（263），平衡辐射的压强可表为1p?at4, （1）3因此对于平衡辐射等温过程也是等压过程.式（265）给出了平衡 辐射在可逆绝热过程（等熵过程）中温度t与体积v的关系t3v?c（常量）.（2）将式（1）与式（2）联立，消去温度t，可得平衡辐射在可逆绝热过程中压强p与体积v的关系pv?c?（常量）（3）43下图是平衡辐射可逆卡诺循环的p?v图，其中等温线和绝热线的方 程分别为式（1）和式（3）下图

6、是相应的t?s图.计算效率时应用t?s图更为方便.在由状态a等温（温度为t1）膨胀至状态b的过程中，平衡辐射吸 收的热量为出的热量为循环过程的效率为q2?t2?s2?s1?.（5）q1?t1?s2?s1?.（4）在由状态c等温（温度为t2）压缩为状态d的过程中，平衡辐射放t2?s2?s1?q2t?1?1?1?2.（6）q1t1s2?s1t12.19已知顺磁物质遵从居里定律: m?h（居里定律）.t若维物质的温度不变，使磁场由0增至h,求磁化热.解：式（114.3）给出，系统在可逆等温过程中吸收的热量q与其在过程中的熵增加值?s满足1=1q?t?s. （1）在可逆等温过程中磁介质的熵随磁场的变化

7、率为（式（2.7.7） ?s?m?0?.（2）?h?t?t?hcvh?c是常量?，（3）t如果磁介质遵从居里定律 易知所以cv?0h?s?.（5）?2?ht?t h m?cv?m?h,（4）?2 t?t?h在可逆等温过程中磁场由0增至h时，磁介质的熵变为 吸收的热量为补充题1温度维持为25?c，压强在0至1000pn之间，测得水的 实验数据如下：?v?3?63?1?1?4.5?10?1.4?10p?cm?mol?k. ?t?p?s?cv?0h2?s?（6） ?dh?2?h2t?t cv?0h2q?t?s?. （7）2t【篇二：热力学统计物理 课后习题 答案】t8.4求弱简并理想费米（玻色）气体

8、的压强公式.解：理想费米（玻色） 气体的巨配分函数满足ln?lln1?e?ll?在弱简并情况下：2?v2?v3/23/22ln?g3?2m?1/2ln1?e?ld?g3?2m?d?3/2ln1?e?l30hh0? 2?v3/22?3/2?g3?2m?ln1?e?l3?h?0?3/2dln1?e?l?2?vd?3/22 ?g3?2m?3/2?l30he?1与（82.4）式比较，可知ln?再由（828）式，得3/23/2?1n?h2?1?h2?nkt?1?ln?nkt?1?v2?mkt?2?mkt?42?42?2?u 3?e? n?h2?v?2?mkt?3/2?3/2h2?n? ?e?v?t?2?

9、mkt?n?n v3/23/2?1?n?h2?n?n?h2?p?ln?kt?1?nkt?1?v2?mkt?t2?mkt?t?42?42?8.10试根据热力学公式s?熵。解：（8-4-10）式给出光子气体的内能为u?cv?u?dt及光子气体的热容量c?,求光子气体的v?t?t?v?2k415c3?4vt（1）3?u4?2k4）v?vt3（2）则可以得到光子气体的定容热容量为cv?（33?t15c?根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2-4-5），有s?cv?pdt?（）vdv?s0（3）t?t取积分路线为（0，v）至（t，v）的直线，即有t4?2k44?2k423s?vtdt?vt（4）333

10、3?015c?45c?其中已经取积分常量s0为零。8.试证明一维和二维理想玻色气体不存在玻色凝聚现象.1d?d?n（1）v?e?/ktc?11/2对于一维和二维理想玻色气体，由第六章习题可知分别有：2l?m?一维：d?d?h?2?d?2?l2md?二维：d?d?2h但由于此时不存在t tc的状态，所以一维和二维理想波色气体不存 在玻色凝聚现象，证毕。解：0k时电子的最大能量?2?2n?0?3?2m?v?2/3 ?1.055?10?3?342?3122?9.1?10?5.9?1028 2/3 ?89?10?19j?56ev 202?8.9?10?19j6?1大速率 v? ?1.4?10m?s?3

11、1 m91?10 2n?0?2?59?1028?2/38.9?10?19?21?1010pa 5v58.15试求绝对零度下电子气体中电子的平均速率。 0k时的简并压p?证明：根据式子（8-5-4），绝对零度下自由电子气体中电子动量大 小的分布为f=1p?pff=0ppf（1） 其中pf是费米动量，即0k时电子的最大动量。因此电子的平均动 量为8?v3h?8vh3 ?pf 0pf 14pf3?pf (2) 134p2dppf 3p3dp 3p3 ?f?vf (3) m4m4因此电子的平均速率为?8.20假设自由电子在二维平面上运动，面密度为试求0 k时二 维电子气体的费米能量、内能和简并压.4?

12、12 d?d?2md? h所以0k时电子的最大能量由下式确定： ?0?4?12 ?n 2h h2nh2 ?0?n2 4?m14?m 内能 4?12 u?0?2m h2 ?0?4?12?2?0?1?4?m12?212?0? ?d?2m?n?0?n?2?22?hn?2h 对于二维电子气体，v=12 1?2?2?12222?1?n?n?2?n?n?xyxy?2m2m?1? ?v?1?l?l?1?2?2nx2?ny2?v?2?vv?2m? 所以0k时的简并压p?all?u1?l?all?n?0? ?vvv2l8.22试根据热力学公式s?cv?tdt及低温下的热容量，求金属中自由电子气体的熵。解：根据式

13、(8-5-19)给出低温下金属中自由电子气体的定容热容量为?2kt(1) cv?nk2?(0)根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式(2-4-5)，有s?cv?pdt?()vdv?s0(2) t?t取积分路线为(0，v)至(t，v)的直线，即有?2nk2t?2kt(3) s?dt?nk?02?(0)2?(0)其中已取积分常量s0为零。8.23试求低温下金属中自由电子气体的巨配分函数的对数，从而求电子气体的压强、内能和熵。解：根据式(8-1-13)，自由电子气体巨配分函数的对数可表达为ln?lln1?el?l?4?v3/2?3?2m?1/2ln1?e?ld?h0? 4?v?3h?2m? 3/2?

14、?x1/2ln1?e?xldx-(1)?其中第二步用了( 6-2-17 )式，第三步做了变数变化?=x将上式的积分分为两段：4?vln?3 h?2m?3/2?x 1/2ln1?e ? ?xl ?dx?x?1/2ln1?e?xldx(2)?在第一个积分中将对数函数改写为ln1?e?xl?lne?xl?ln1?e?xl?(?x)?ln1?e?xl?(?x)?ln1 ?e?其中？?(?x)。在第二个积分中作变数变换？?x，(2)式可 改写为?4?v ln?3 h ? ?2m? 3/254(?)?i1?i2(3) 15其中i1?ln?1?e?(?) ?ld?i2?lln1?e(?)d?(4) ?0?在

15、低温?kt?1的情形下，i1和i2可近似为?li1?i2?ln1?e?(?) d?(?) ?0n?1(?1)n?1?n?ed? n?(?) ?n?1?(?1)n?2(5)?(?)212n16?v于是ln?15h3?2m?3/25?2(?)(1?) (6)8?23/2根据费米统计中热力学量的统计表达式可得 ?8?v?2m?ln?3?3h? 2 ? (?)(1?) (7) 28? u? ?3ln?ln? (8) ?2?p? 1?1 ln?ln? (9) ?v?v?5 ln?ln?)?k(ln?) (10) ?2u?k(ln? 由于在低温下? ? kt?1，作为第一级近似可以略去式(7)中的第二项而

16、有 3/2 ?8?v?2m? ?ln?3?3h?(?)?2?(0)2n 即？?(11) (3?)?2mvkt计及(7)式的第二项，可将(7)式改写为222?2?n?2n2?(3?)?(1?2)?(3?)?(1?) 2 2mv2mv8?12?再将上式中第二项的？用第一级近似代入，得 ?(0)kt1?kt2(12)12?(0) 或?(0)1?2kt2 (13)12?(0)(13)式与(8-5-17) 一致。用式(7)除式(6)，并将(12)式代入可将ln?表示为，t, ?(0) 的函数2?(0)?2kt2?2kt22?(0)5?2kt2 ln?(1?1?(1?-(14) 5kt12?(0)2?(0

17、)5kt12?(0)代回式(8),(9),(10)即得 35?2kt2u?(0)1?(15)512?(0)【篇三：热力学统计物理_第四版_汪志诚_答案】xt1.1试求理想气体的体胀系数？，压强系数?和等温压缩系数？。 解：已知理想气体的物态方程为 pv?nrt,(1) 由此易得 ?1?v?nr1 ?,(2) ? v?t?ppvt 1?p?nr1 ?,(3) ? p?t?vpvt ?t?2?(4) v?p?t?v?p?p 1?v?1?nrt?11.2证明任何一种具有两个独立参量t,p的物质，其物态方程可由实 验测得的体胀系数?及等温压缩系数?？，根据下述积分求得： 如果?,?t?1t1，试求物态

18、方程。p解：以t,p为自变量，物质的物态方程为v?v?t,p?, 其全微分为 ?v?v?dv?dt?dp. （1） ?t?p?p?t全式除以v,有dv1?v?1?v?dt?dp. ?vv?t?pv?p?t根据体胀系数?和等温压缩系数?t的定义，可将上式改写为dv?dt?tdp. （2）v上式是以t,p为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有lnv?dt?tdp?（3）若？,?t?，式（3）可表为?11?lnv?dt?dp?.（4） p?t1t1p选择图示的积分路线，从（t0,p0）积分到?t,p0?，再积分到（t,p） 相应地体积由v0最终变到v，有lnvtp=ln?ln, v0t0p0

19、即pvp0v0，?c （常量）tt0或pv?1t1pc. t（5）式（5）就是由所给？?,?t?求得的物态方程。确定常量c需要进- 步的实验数据。1.8满足pvn?c的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量cn为cn?n?cv n?1解：根据式（161），多方过程中的热容量?q?u?v?cn?lim?p?.（1） ?t?0?t?n?t?n?t?n对于理想气体，内能u只是温度t的函数，?u?cv, ?t?n所以?v?cn?cv?p?（2） ?t?n将多方过程的过程方程式pvn?c与理想气体的物态方程联立，消去压强p可得。（3）tvn?1?c1 （常量）将上

20、式微分，有vn?1dt?（n?1）vn?2tdv?0,所以v?v?.（4）?t（n?1）t?n代入式（2），即得cn?cv?pvn?cv,（5）t（n?1）n?1其中用了式（178）和（179）。1.9试证明：理想气体在某一过程中的热容量cn如果是常数，该过 程一定是多方过程，多方指数n?cn?cpcn?cv。假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。解：根据热力学第一定律，有du?q?w.（1）对于准静态过程有?w?pdv,对理想气体有du?cvdt,气体在过程中吸收的热量为?q?cndt,因此式（1）可表为（cn?cv）dt?pdv （2）用理想气体的物态方程pv?vrt除上式，并注意cp?

21、cv?vr,可得（cn?cv）dtdv?（cp?cv）. （3） tv将理想气体的物态方程全式求微分，有dpdvdt?. （4） pvt式（3）与式（4）联立，消去dt，有 t（cn?cv）dpdv?（cn?cp）?0. （5）pv令n?cn?cpcn?cv，可将式（5）表为dpdv?n?0. （6）pv如果cp,cv和cn都是常量，将上式积分即得。（7）pvn?c （常量）式（7）表明，过程是多方过程。1.12假设理想气体的cp和cv之比?是温度的函数，试求在准静态 绝热过程中t和v的关系，该关系式中要用到一个函数f?t?，其表 达式为lnf（t）?dt?1t解：根据式（1.8.1），理想气

22、体在准静态绝热过程中满足cvdt?pdv?0. （1）用物态方程pv?nrt除上式，第一项用nrt除，第二项用pv除，可 得cvdtdv?0. （2）nrtv利用式（1.7.8）和（1.7.9），cp?cv?nr,cpcv?,可将式（2）改定为1dtdv?0.（3）?1tv将上式积分，如果？是温度的函数，定义lnf（t）?1dt,（4） ?1t可得,（5） lnf（t）?lnv?c1 （常量）或f（t）v?c （常量）。（6）式（6）给出当？是温度的函数时，理想气体在准静态绝热过程中t 和v的关系。1.13利用上题的结果证明：当？为温度的函数时，理想气体卡诺循环的效率仍为?1?t2.t1解：在?是温度的函数的情形下，19就理想气体卡诺循环得到的式（1.9.4）（1.9.6）仍然成立，即仍有q1?rt1lnv2,（1） v1v3,（2）v4vv2?rt2ln3.（3）v1v4q2?rt2lnw?q1?q2?rt1ln根据1.13题式（6），对于1.9中的准静态绝热过程（二）和（四），有