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1、常州市20102011学年度第一学期期末质量调研 高三数学试题 2011年1月命题单位：常州市教育教研室 注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）本卷满分160分，考试时间为120分钟考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚4. 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须
2、加黑、加粗5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1若(其中，为虚数单位)，则的值是 2从集合中任取两个不同的元素、，则事件“乘积”的概率为 元20304050600.010.0360.024频率组距（第4题图）3函数的单调递增区间是 4某学校为了了解学生每周在校用餐的开销情况，抽出了一个容量为500的学生样本，已知他们的开销都不低于20元且不超过60元，样本的频率分布直方图如图所示，则其中支出在元的同学有 人 5已知函数则= （第6题图）6如图所示的算法流程框图中，若
3、输入，则最后输出的的值是 7已知数列的前项和为，若，则的值为 8已知定义在上的奇函数满足，且时，则的值为 9设、是夹角为的两个单位向量已知，（，为实数）若是以为直角顶点的直角三角形，则取值的集合为 10在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为4，若它的一条渐近线恰好是曲线在原点处的切线，则双曲线的标准方程为 11给出下列四个命题:（1）“直线直线”的必要不充分条件是“平行于所在的平面”；（2）“直线平面”的充要条件是“垂直于平面内的无数条直线”；（3）“平面平面”是“内有无数条直线平行平面” 的充分不必要条件；（4）“平面平面”的充分条件是“有一条与平行的直线垂直于”.上面命题
4、中，所有真命题的序号为 12已知实数满足则的最大值为 13在平面直角坐标系中，若与点的距离为1且与点的距离为3的直线恰有两条，则实数的取值范围为 14若对任意的，均有成立，则称为到在区间上的“折中函数”已知，且是到在区间上的“折中函数”，则实数的取值范围为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分） 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 （1）求的值； （2）若，求及的值（第16题图）16（本小题满分14分）如图，直四棱柱的底面ABCD是菱形，ADC=，点分别是上下底菱形对角线的交点 （1）求证
5、：平面；（2）求点O到平面的距离 17（本小题满分14分）18（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，椭圆C：（）的右焦点为，离心率等于，过焦点F、倾斜角为的直线交椭圆于M、N两点 （1）若为常数，求椭圆C的标准方程；（2）若时，求实数；（3）试问的值是否与的大小无关，并证明你的结论 19（本小题满分16分）已知数列满足，当，时， （1）求数列的通项公式； （2）是否存在，使得时，不等式对任意实数恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由 （3）在轴上是否存在定点，使得三点、（其中是互不相等的正整数且）到定点的距离相等?若存在，求出定点及正整数；若不存在，说明理由20（本小题满分16分
6、） 已知为实数，函数，函数，令函数 （1）若，求函数的极小值； （2）当时，解不等式； （3）当时，求函数的单调区间 又平面，平面， 平面 6分（2）法一：等积变换设点O到平面的距离为h 平面ABCD， AC、BD为菱形ABCD的对角线， COBD ， 平面 8分 在菱形ABCD中，BC=1，BCD=， ， 的面积 三棱锥的体积 11分 在中，的面积 由=，得因此，点O到平面的距离为 14分法二、作垂线 平面， 、为菱形的对角线， ， 平面 平面平面 8分 在平面内，作，为垂足，则平面，线段的长为点O到平面的距离 10分在矩形中，=， 12分， 因此，点O到平面的距离为 14分17（本小题满分
7、14分）18（本小题满分16分）解：（1），椭圆离心率， 椭圆的标准方程为 2分（2）在椭圆方程中，令，解得当时，直线MNx轴，此时 4分， 解得 6分（3）的值与的大小无关 7分 证明如下：法一：设点M、N到右准线的距离分别为 ， 9分 又由图可知， 即 11分 同理， = 显然该值与与的大小无关 14分 法二：当直线的斜率不存在时，由（2）知，的值与的大小无关当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程，得 设点、，恒成立，9分，11分=显然该值与与的大小无关 14分19（本小题满分16分） 解：（1）法一： 当时，；当时，；当时， 归纳得，时，是首项、公差为2的等差数列，通项公式为
8、2分 下面代入检验或用数学归纳法证明： 时， ， 时，满足条件 4分 法二：当，时， 当时，是常数列 2分 时， 4分法三：当，时， ， 把上面个等式左右两边分别相加，得，2分 整理，得 当时，满足 4分 （2） 当时，不等式可化为，不满足条件 当时， 可化为 7分令，由已知得，对于恒成立，当且仅当 化简得， 解得，或 满足条件的存在，的最小值为5 9分（3）不存在 10分假设存在定点，使得三点、（其中是互不相等的正整数且）到定点的距离相等不妨设定点时，、， 且化简，得两式相减，得 12分 14分令函数， 在上是增函数正整数，即式左边大于0，从而式不成立不存在定点，使得三点、（其中是互不相等的
9、正整数且）到定点的距离相等 16分20（本小题满分16分） 解：（1）当时，则令，得 1分列表如下：0+极小值当时，函数取得极小值，极小值为 3分（2）当时，定义域为，在及上均为减函数 5分当时， 时，当时， 由得，综上所述，不等式的解为 7分（3）函数，定义域为当时，令，得 9分当，即时，当时，函数的单调减区间为，11分 当时，解得 ， 令，得，；令，得 13分 当时，函数的单调减区间为，；函数单调增区间为 15分 当，即时，由（2）知，函数的单调减区间为及 16分常州市20102011学年度第一学期期末质量调研 高三数学（附加题） 2011年1月命题单位：常州市教育教研室 注意事项考生在答
10、题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷只有解答题，供理工方向考生使用本试卷前4题为选做题，每位考生在4个选做题中选答2题，3题或4题均答的按选做题中的前2题计分后2题为必答题每小题10分，共40分考试用时30分钟2答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸的密封线内答题时，答案写在答题纸上对应题目的空格内，答案写在试卷上无效本卷考试结束后，上交答题纸3一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔4文字书写题统一使用05毫米及05毫米以上签字笔5作图题可使用2B铅笔，不需要用签字笔描摹（第21-A题）21【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分如
11、果多做，则以前两题计分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲如图，已知圆的半径为，和为圆的两条割线，且在上.若，试求长和的大小 B选修42：矩阵与变换已知，矩阵M如果M所对应的变换将直线变换为自身求M的逆矩阵C选修44：坐标系与参数方程设极坐标系的极点和直角坐标系的原点重合，极轴与轴正半轴重合，两个坐标系的长度单位相同.已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数)，、分别是曲线和直线上的动点，求、之间距离的最小值.D选修45：不等式选讲已知均为实数，求证：，并说明等号何时成立【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指
12、定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22高校自主招生设置了先后三道程序：部分高校联合考试、本校专业考试、本校面试在每道程序中，设置三个成绩等级：优、良、中若考生在某道程序中获得“中”，则该考生在本道程序中不通过，且不能进入下面的程序考生只有全部通过三道程序，自主招生考试才算通过某中学学生甲参加高校自主招生考试，已知该生在每道程序中通过的概率均为，每道程序中得优、良、中的概率分别为、(1)求学生甲不能通过高校自主招生考试的概率；(2)设为学生甲在三道程序中获优的次数，求的分布列及数学期望 （第23题图）23如图，在四棱锥中，已知底面，异面直线和所成角等于 (1)求直线和平面所成
13、角的正弦值的大小；(2)在棱是否存在一点，使二面角的余弦值为?若存在，指出在棱上的位置；若不存在，说明理由常州市20102011学年度第一学期期末质量调研高三数学（附加题） 参考答案21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分若答题超过2题，则以所做题的前两题计分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲 解： ， 4分为正三角形 8分 10分B选修42：矩阵与变换解：设在M的变换下得到，则， 2分由题意，得 ，即 5分M 7分M= 10分C选修44：坐标系与参数方程解：曲线的直角坐标方程为，所以曲线是以为圆心，半
14、径为的圆. 3分直线的普通方程为. 6分所以 10分D选修45：不等式选讲证明：= 4分， 6分 8分当且仅当时，等号成立 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22解：由题意，得. 解得2分（1）设事件为学生甲不能通过高校自主招生考试，则答：学生甲不能通过高校自主招生考试的概率为 4分（2）由题意知， 7分所以的分布列为：0123的数学期望 10分23解：以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，设,则， 又，异面直线和所成角等于，即，解得 2分(1)设平面的一个法向量为，则由 得 4分取，直线和平面所成角的正弦值为 6分(2)假设存在设，且，则，设平面的一个法向量为，则由 得 8分取，又平面的法向量，由，得，解得或(不合题意)所以存在这样的点，为的靠近的三等分点 10分
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