概率论与数理统计(理工类,第四版)吴赣昌主编课后习题答案第八章

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1、由于工作太忙，现在才把答案更新完整，多谢广大网友的支持与厚爱。第八章 方差分析与回归分析习题8.1 单因素试验的方差分析习题1粮食加工厂试验5种贮藏方法，检验它们对粮食含水率是否有显著影响. 贮藏前这些粮食的含水率几乎没有差别，贮藏后含水率如下表所示，问不同的贮藏方法对含水率的影响是否有明显差异(=0.05)?含水率(%) 试验批号12345 因素A(贮藏方法)A17.38.37.68.48.3A25.47.47.1A38.16.4A47.99.510.0A57.1解答：本问题是在=0.05下检验假设H0:1=2=3=4=5,H1:1,2,3,4,5不全相等.计算出结果见表：123 4 5Ti

2、Ti2j=1nixij2A1A2A3A4A57.38.37.68.48.35.47.47.18.16.47.99.510.07.139.919.914.527.47.11592.01396.01210.25750.7650.41319.39134.33106.57252.6650.41T=108.8i=15Ti2ni856.19i=15j=1nixij2=863.36则ST=i=15j=1njxij2-T2n=863.36-114108.8217.8286,SA=i=15Ti2ni-T2n=856.19-114108.8210.66,SE=ST-SA=17.8286-10.667.17.方差分

3、析表（见下表）：方差来源平方和自由度 均方差F值F临界值组间（因素A）组间（误差E） 总和SA=10.66SE=7.17ST=17.83r-1=4n-r=913SA=2.665SE0.797F=SASE3.344F0.05(4,9)=3.63FF,接受H0因为F=3.344F,拒绝H0因为F=8.9593.89=F0.05(2,12),所以F落在拒绝域中，拒绝H0,即认为机器与机器之间存在显著差异.习题3有某型号的电池三批，它们分别是A、B、C三个工厂所生产的，为评比其质量，各随机抽取5只电池为样品，经试验得其寿命形式如下：A4048384245B2634302832C3940435050试在

4、显著性水平0.05下，检验电池的平均寿命有无显著的差异，若差异是显著的，试求均值差A-B,A-C及B-C的置信度为95%的置信区间，设各工厂所生产的电池的寿命服从同方差的正态分布.解答：本问题是在=0.05下检验假设 H0:A=B=C,H1:A,B,C不全相等为简化计算，将原表各数据减去40，然后计算，结果如下：A08-255B-14-6-10-8-8C-1031010T=i=13j=1niXij=-15,ST=i=13j=1niXij2-T2n=847-15215=832,SA=i=13Ti2ni-T2n=615.6,SE=ST-SA=832-615.6=216.4,从而得方差分析表(r=3

5、,n=15)方差来源平方和自由度均方和F(=0.05)因素A615.6s-1=2SA=307.8SA/SE17.0684因素E216.4n-s=12SE18.0333F0.05(2,12)=3.89总和T832n-1=14F=17.06843.89由上表可知，拒绝H0,即认为电池一平均寿命有显著差异.由于置信度为0.95的置信区间为(Xj-Xkta2(n-r)SE(1nj+1nk)，且t0.025(12)=2.1788,SE(1nj+1nk)=18.033(25)2.6858,X1=2.6,X2=-10,X3=4.4,则A-B的置信值为0.95的置信区间为(2.6+102.17882.6858

6、)=(2.6+105.852),即(6.75,18.45);A-C的置信度为0.95的置信区间为(2.6-4.45.852),即(-7.652,4.052);B-C的置信度为0.95的置信区间为(-10-4.45.852),即(-20.252,-8.548).习题4一个年级有三个小班，他们进行了一次数学考试，现从各个班级随机地抽取了一些学生，记录成绩如下：班级73,66,89,60,82,45,43,93,80,36,73,7788,77,78,31,48,78,91,62,51,76,85,96,74,80,5668,41,79,59,56,68,91,53,71,79,71,15,87试在

7、显著性水平0.05下检验各班级的平均分数有无显著差异，设各个总体服从正态分布，且方差相等.解答：分别以1,2,3表示，班的平均分数，我们需检验(=0.05)H0:1=2=3,H1:1,2,3不全相同，由于r=3,n1=12,n2=15,n3=13,n=40.ST=i=13j=1niXij2-T2n=13685.1,SA=i=13Ti2ni-T2n335.35,SE=13349.75,SA=SA/2=167.675,SE=SE/37660.80,F=SA/SE0.4647,F0.05(2,37)=3.230.4647=F,故接受H0，即认为各班级的平均分数无显著差异。习题8.2 双因素试验的方差

8、分析习题1酿造厂有化验员3名，担任发酵粉的颗粒检验. 今有3位化验员每天从该厂所产的发酵粉中抽样一次，连续10天，每天检验其中所含颗粒的百分率，结果如下表所示. 设=5%,试分析3名化验员的化验技术之间与每日所抽取样本之间有无显著差异？百分率(%) 因素B(化验时间)B1B2B3B4B5因素A(化验员)A1A2A310.110.010.24.74.94.83.13.13.03.03.23.07.87.87.8百分率(%) 因素B(化验时间)B6B7B8B9B10因素A(化验员)A1A2A38.28.28.47.87.77.86.06.26.14.95.15.03.43.43.3解答：本问题是在

9、=0.05下检验假设H0A:A1=A2=A3,H1A:A1,A2,A3不全相等H0B:B1=B2=B10,H1B:B1,B2,B10不全相等计算结果如下表：因素A(化验员)因素B(化验时间)B1B2B3B4B5B6B710.110.010.24.74.94.83.13.13.03.03.23.07.87.87.88.28.28.47.87.77.8Ti30.314.49.29.223.424.823.3Tj2918.09207.3684.6484.64547.56615.04542.89Ti2306.0569.1428.2228.24182.52205.04180.97i=13xij2(接上表

10、)因素A(化验员)因素B(化验时间)Ti Ti2B8B9B106.06.26.14.95.15.03.43.43.359348159.63552.1659.43528.36Ti18.31510.1T=i=13Ti=178Tj2334.89225102.01j=110Tj2=3662.12Ti2111.6575.0234.01i=13Ti2=10561.52i=13xij2i=13j=110xij2=1220.86ST=i=13j=110xij2-130T2=1220.86-1301782164.727,SA=110I=13Ti2-130T2=11010561.52-13017820.01867

11、,SB=13i=13Tj2-130T2=133662.12-1301782164.57,SE=ST-SA-SB=0.13833.从而得方差分析表（见下表）方差来源平方和自由度均方和因素ASA=0.01867r-1=2SA=0.009335因素BSB=164.57s-1=9SB18.286误差ESE=0.13833(r-1)(s-1)=18SE0.00769总和TST=164.72729方差来源F值F临界值因素AFA=SASE1.214F0.05(2,18)=3.55因素BF0.05(9,18)=2.46误差EFB=SBSE2377.89FAF，拒绝H02由于FAF0.05(9,18)，说明FB

12、落在拒绝域中，故拒绝H0B,即认为每日所抽样本之间有显著差异.习题2下表给出某种化工过程在三种浓度、四种温度水平下得率的数据，假设在诸水平搭配下得率的总体服从正态分布，且方差相等，试在=0.05水平下检验在不同浓度下的率有无显著差异；在不同温度下得率是否有显著差异；交互作用的效应是否显著？浓度%温度(C)10243852214,1011,1113,910,1249,710,87,116,1065,1113,1412,1314,10解答：以A表示因素“浓度”，以1,2,3表示相应水平的效应；以B表示因素“温度”，各水平的效应记为1,2,3,4;以ij(i=1,2,3;j=1,2,3,4)表示交互

13、作用AB的效应.本题是在=0.05下检验假设H01:i=0(i=1,2,3),H02:j=0(j=1,2,3,4),H03:ij=0(i=1,2,3;j=1,2,3,4),将计算结果列表如下：浓度%因素A温度(C)因素B10243852TiTi221410(24)1111(22)139(22)1012(22)908100497(16)108(18)711(18)610(16)6846246511(16)1314(27)1213(25)1410(24)928464Tj56676562Ti=j=14Tj=250，j=14Tj2=15694j=14Ti2=21188，i=13j=14k=12xijk

14、2=2752Tj23136448942253844i=13Tij21088153714331316r=3,s=4,t=2,=0.05,ST=i=13j=14k=12xijk2-T2rst=2752-250224147.83,SA=1sti=13Ti2-T2rst=1821188-25022444.33,SB=1rtj=14Tj2-T2rst=1615694-250224=11.5,SAB=1ti=13j=14Tij2-T2rst-SA-SB=12(1088+1537+1433+1316)-250224-44.33-11.5=27.033,SE=ST-SA-SB-SAB=64.967方差分析表方

15、差来源平均和自由度均方和F比浓度(A)44.33r-1=2SA=22.165SA/SE4.09F0.05(2,12)=3.89温度(B)11.5s-1=3SB3.833SB/SE0.708F0.05(3,12)=3.49交互作用AB27.033(r-1)(s-1)=6SAB4.5SAB/SE0.558误差E64.967rs(t-1)=12SE=5.414F0.05(6,12)=3.00总和T147.83rst-1=23拒绝H01，接受H02及H03由方程分析表可见，只有浓度因素的效应是显著的习题3为了研究金属管的防腐蚀功能，考虑了4种不同的涂料层，将金属管埋设在3种不同性质的土壤中，经历了一定

16、的时间，测得金属管腐蚀的最大深度如下所示以计：土壤类型(因素B)涂层(因素A)1231.63,1.34,1.19,1.301.35,1.30,1.14,1.091.27,1.22,1.27,1.32试在=0.05水平下检验下腐蚀的最大深度的平均值有无显著差异；在不同土壤下腐蚀的最大深度的平均值有无显著差异？设两因素间没有交互作用效应.解答：分别以a1,a2,a3,a4表示4种不同的涂料涂层下腐蚀的最大深度的效应，以b1,b2,b3表示三种不同土壤下腐蚀的最大深度的效应，检验假设H01:a1=a2=a3=a4H11:a1,a2,a3,a4不全相等，H02:b1=b2=b3H12:b2,b2,b3

17、不全相等，这里r=4,s=3. T1=i=1rXi1=5.46,T2=i=1rXi2=4.88,T3=i=1rXi3=5.08,T1=i=1sX1i=4.88,T2=i=1sX2i=3.86,T3=i=1sX3i=3.6,T4=i=1sX4i=3.71,T=i=1rj=1sXij=15.42, ST=i=1rj=1sXij2-T2rs=1.632+1.322-15.42212=0.2007, SA=1si=1rTi2-T2rs=13(4.252+3.862+3.62+3.712)-15.42212 =0.0807,SB=1rj=1sTj2-T2rs=14(5.462+4.882+5.082)-

18、15.42212 =0.0434, SE=ST-SA-SB=0.0766,得方差分析表如下方差来源平方和自由度均方和F比因素ASA=0.080730.0269FA=SA/SE2.1065因素BSB=0.043420.0217FB=SB/SE1.6993误差SE=0.076660.01277总和ST=0.207711由于F(r-1,(r-1)(s-1)=F0.05(3,6)=4.762.1065,F(s-1),(r-1)(s-1)=F0.05(2,6)=5.141.6993,故在=0.05水平下，接受H01,H02,即认为两种因素的影响均不显著.习题8.3 一元线性回归习题1在某种产品表面进行腐

19、蚀刻线试验，得到腐蚀浓度y与腐蚀时间t对应的一组数据如下表所示.时间t(s)5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120浓度y(m)6 10 10 13 16 17 19 23 25 2946试求腐蚀浓度y对时间t的回归直线方程.解答：n=11,所需计算如下表所示：ti yi ti2yi2 tiyi5,10,15,20,30,40,50,60,70,90,1206,10,10,13,16,17,19,23,25,29,4625,100,225,400,900,1600,2500,3600,4900,8100,1440036,100,100,169,256,289,361,5

20、29,625,841,211630,100,150,260,480,680,950,1380,1750,2610,552051021436750542213910Ltt=i=111ti2-111(i=111ti)2=36750-1115102=13104.54545, Lty=i=111tiyi-111(i=111ti)(i=111yi)=13910-111510214=3988.181818,b=Lty/Ltt0.304,a=111i=111yi-(111i=111ti)b=111214-1115100.304=5.36,故所求的回归直线为y=a+bt=5.36+0.304t.习题2随机抽取

21、12个城市居民家庭关于收入与食品支出的样本，数据如下表所示，试判断食品支出与家庭收入是否存在线性相关关系，求出食品支出与收入间的回归直线方程(=0.05).家庭收入mi8293105130144150160180200270300400每月食品支出yi(单位：元)758592105120120130145156200200240解答：设食品支出与收入间有线性关系y=0+1m，首先在=0.05下检验假设H0:1=0,H1:10.选取统计量F=S回DivS剩(n-2),在H0成立的条件下，FF(1,n-2),且此检验问题的拒绝域为FF(1,n-2).n=12,所需计算如下表所示：mi8293105

22、130144150160180yi758592105120120130145mi267248649110251690020736225002560032400yi25625722584641102514400144001690021025miyi6150790596601365017280180002080026100(接上表)mi200270300400i=112mi=2214yi156200200240i=112yi=1668mi2400007290090000160000i=112mi2=507434yi224336400004000057600i=112yi2=261000miyi31

23、200540006000096000i=112miyi=360745Lmm=i=112mi2-112(i=112mi)2=507434-11222142=98951,Lmy=i=112miyi-112(i=112mi)(i=112yi) =360745-11222141668=52999,Lyy=i=112yi2-112(i=112yi)2=261000-11216682=29148,S回=Lmy2/Lmm=5299929895128386.717,S剩=Lyy(1-Lmy2LmmLyy)=29148(1-5299929895129148)761.283,F=S回DivS剩(n-2)372.8

24、80,查表得F0.05(1,10)=4.96.显然F=372.8804.96=F0.05(1,10),说明F落在拒绝域中，从而拒绝H0,即认为10,亦即食品支出与收入间的线性关系显著，设线性关系为y=0+1m，则1=Lmy/Lmm0.54,0=112i=112yi-(112i=112mi)1=1121668-11222140.54=39.37,故所求的回归直线为y=39.37+0.54m.习题3根据下表中的数据判断某商品的供给量s与价格p间的回归函数类型，并求出s对p的回归方程(=0.05).价格pi(元)7126 910 8126 1191210供给量si(吨)577251576055705

25、570537656解答：首先作出散点图(如图所示).由散点图可见，p与s之间存在近似的线性关系，为证实这一点，先在=0.05下检验假设H0:1=0,H1:10.选取统计量F=UQ/(n-2),在H0成立的条件下，FF(1,n-2),且此检验问题的拒绝域为FF(1,n-2).n=12,所需计算如下表所示：pi71269108126si5772515760557055pi24914436811006414436si232495184260132493600302549003025pisi399864306513600440840330(接上表)pi1191210i=112pi=112si70537

26、656i=112si=732pi212181144100i=112pi2=1100si24900280957763136i=112si2=45454pisi770477912560i=112pisi=7011Lpp=i=112pi2-112(i=112pi)2=1100-112112254.6667, Lps=i=112pisi-112(i=112pi)(i=112si)=7011-112112732 =179, Lss=i=112si2-112(i=112si)2=45454-1127322=802,S回=Lps2/Lpp586.1155,，S剩=Lss(1-Lps2LppLss)215.8

27、45.F=S回DivS剩(n-2)27.15,查表知F0.05(1,10)=4.96.显然F=27.154.96=F0.05(1,10),说明F落在拒绝域中，从而拒绝H0,即认为10,认为某商品的供给量s与价格p间存在近似的线性关系，设线性关系为s=0+1p,则1=Lps/Lpp3.27,0=112i=112si-(112i=112pi)1=112732-1121123.2730.48，即近似的线性关系为s=30.48+3.27p.习题4有人认为，企业的利润水平和它的研究费用间存在近似的线性关系，下表所列资料能否证实这利论断(=0.05)?时间1955195619571958195919601

28、961196219631964研究费用10 108 8812121211 11利润(万元)100150200180250300280310320300解答：n=10,所需计算如果下表所示：xi101088812yi100150200180250300xi2100100646464144yi2100002250040000324006250090000xiyi100015001600144020003600(接上表)xi12121111i=110xi=102yi280310320300i=110yi=2390xi2144144121121i=110xi2=1066yi27840096100102

29、40090000i=110yi2=624300xiyi3360372035203300i=110xiyi=25040Lxx=i=110xi2-110(i=110xi)2=1066-1101022=25.6,Lxy=i=110xiyi-110(i=110xi)(i=110yi)=25040-1101022390=662Lyy=i=110yi2-110(i=110yi)2=624300-11023902=53090. 设研究费用x与利润y之间有线性关系y=a+bx，检验假设H0:b=0,H1:b0,H0的拒绝域为FF(1,n-2),其中 F=UQ/(n-2),U=Lxy2/Lxx=17118.90

30、625,Q=Lyy(1-Lxy2LxxLyy)=35971.094, 则F=UQ/(n-2)3.807,查表知F0.05(1,8)=5.32. 显然F=3.807ta2(n-2),又2=Lyy-bLxyn-20.03777,t47.1144,t0.052(5)=2.5706=2.5705tt0.052(5),故拒绝H0,即回归效果显著.(3)由于b的置信度为1-的置信区间为(bta2(n-2)Lxx),故b的置信度为0.95的置信区间为(11.8688,13,2386).(4)由于x=x0处的置信度为1-的预测区间为(y0ta2(n-2)1+1n+(x-x0)2Lxx),代入可得(19.67,

31、20.80).习题6假设儿子的身高(y)与父亲的身高(x)适合一元正态线性回归模型，观察了10对英国父子的身高(英寸)如下：x60626465666768707274y63.665.26665.566.967.167.463.370.170(1)建立y关于x的回归方程；(2)对线性回归方程作假设检验(检验水平取为0.05);(3)给出x0=69时，y0的置信度为95%的预测区间.解答：(1)按所给数据计算 i=110xi=668,x=66.8,i=110xi2=44794, i=110yi=665.1,y=66.51,i=110yi2=44283.93,i=110xiyi=44492.4,Lx

32、x=i=110xi2-10(x)2=171.6,Lxy=i=110xiyi-10xy=63.72,1=LxyLxx0.3713,0=y-x141.7072,故所求回归方程为y=41.7072+0.3713x.(2)待解决的原假设为H0:1=0的显著性假设检验问题，检验统计量是F=U/Qn-2，检验水平为的拒绝域为FF(1,n-2),由所给数据可得Lyy=i=110yi2-10(y)2=48.129,U=1Lxy=0.371363.7223.6592,Q=Lyy(1-Lxy2LxxLyy)24.4679,代入可得F=23.6592/24.467910-27.736,而查表得F0.05(1,8)=

33、5.327.736,因此拒绝原假设H0，即认为回归效果显著.(3)Y0的置信度为1-的预测区间为(y0-t2(n-2)2(1+1n+(x0-x)2Lxx),y0+t2(n-2)2(1+1n+(x0-x)2Lxx)现在x0=69,Y0的置信度为0.95的预测区间可计算如下y0=41.7072+0.371369=67.3269,2=Qn-2=24.46798=3.0585,t0.025(8)2(1+110+(x0-x)2Lxx)=2.3063.0585(1+0.1+(69-66.8)2171.6)=4.2836,所以x0=69时，Y0的置信度为0.95的预测区间为(63.0433,71.6105)

34、.8.4 多元线性回归习题1一种合金在某种添加剂的不同浓度之下，各做三次试验，得数据如下：浓度x10.015.020.025.030.0抗压强度y25.2,27.3,28.729.8,31.1,27.831.2,32.6,29.731.7,30.1,32.329.4,30.0,32.8以模型y=b0+b1x+b2x2+,N(0,2)拟合数据，其中b0,b1,b2,2与x无关，求回归方程y=b0+b1x+b2x2.解答：由于不同的浓度下分别对应三种不同的抗压强度，为便于计算，计算不同浓度下的平均抗压强度。令x1=x，x2=x2，则y=b0+b1x1+b2x2，于是X=(1101001152251

35、20400125625130900)，Y(27.06729.56731.16731.36730.733)，=(b0b1b2)，=(XTX)-1XTY，其中XTX=(5100225010022505500225055001421250)，解得(18.66,1.059,-0.219)T，故y=18.66+1.059x-0.219x2.习题2某种化工厂产品的得率Y与反应温度x1、反应时间x2及某反应物浓度x3有关，设对于给定的x1，x2，x3，得率Y服从正态分布，且方差与x1，x2，x3无关，今得试验结果如下表所示，其中x1，x2，x3均为二水平且均以编码形式表达.x1-1-1-1-11111x2-

36、1-111-1-111x3-11-11-11-11得率7.610.39.210.28.411.19.812.6(1)设y(x1,x2,x3)=b0+b1x1+b2x2+b3x3，求Y的多元线性回归方程.(2)若认为反应时间不影响得率，即认为Y(x1,x2,x3)=0+1x1+2x3，求Y的多元线性回归方程.解答：(1)这是一个三元线性回归方程模型 X=(1-1-1-11-1-111-11-11-11111-1-111-11111-11111)，Y=(7.610.39.210.28.411.19.812.6)，B=(b0b1b2b3)，XTX=(8000080000800088)，XTY=(79.24.64.49.2)，(XTX)-1XTY=9.9,0.575,0.55,1.15,，所以Y的三元线性回归方程为y(x1,x2,x3)=9.9+0.575x1+0.55x2+1.15x3.(2)若反应时间不影响得率，既认为b2=0，重复上述计算步骤则回归方程为y(x1,x2,x3)=9.9+0.575x1+1.15x3