投资组合的选择决策分析

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1、F我们将风险溢价为零时的风险投资称为公我们将风险溢价为零时的风险投资称为公平游戏平游戏(fair game)fair game)，风险厌恶型的投资风险厌恶型的投资者不会选择公平游戏或更糟的资产组合，者不会选择公平游戏或更糟的资产组合，他们只愿意进行无风险投资或投机性投资。他们只愿意进行无风险投资或投机性投资。当他们准备进行风险投资时，他们会要求当他们准备进行风险投资时，他们会要求有相应的风险报酬，即要求获得相应的超有相应的风险报酬，即要求获得相应的超额收益或风险溢价。投资者为什么不接受额收益或风险溢价。投资者为什么不接受公平游戏呢？公平游戏看上去至少不坏，公平游戏呢？公平游戏看上去至少不坏，因

2、为它的期望收益为因为它的期望收益为0 0，而不是为负。，而不是为负。1F假定有一公平游戏，投资假定有一公平游戏，投资1010万，获利万，获利5 5万的概率为万的概率为50%50%，亏亏5 5万的概率为万的概率为50%50%，因此，这一投资的期望收益为，因此，这一投资的期望收益为0 0。F当当1010万增到万增到1515万时，利用对数效用函数，效用从万时，利用对数效用函数，效用从log(100000)=11.51log(100000)=11.51增加到增加到log(150000)=11.92log(150000)=11.92，效用增效用增加值为加值为0.410.41，期望效用增加值为，期望效用增

3、加值为0.50.50.41=0.210.41=0.21。F如 果 由如 果 由 1 01 0 万 降 到万 降 到 5 5 万，由 于万，由 于 l o g(1 0 0 0 0 0)-l o g(1 0 0 0 0 0)-log(50000)=11.51-10.82=0.69log(50000)=11.51-10.82=0.69，期望效用的减少值为期望效用的减少值为0.50.50.69=0.350.69=0.35，它大于期望效用的增加值，它大于期望效用的增加值2F这笔投资的期望效用为这笔投资的期望效用为EU(W)=pU(WEU(W)=pU(W1 1)+(1+p)U(W)+(1+p)U(W2 2

4、)=(1/2)log(50)=(1/2)log(50 000)+(1/2)log(150 000)=11.37000)+(1/2)log(150 000)=11.37由于由于1010万的效用值为万的效用值为11.5111.51，比公平游戏的，比公平游戏的11.3711.37要大，要大，风险厌恶型投资者不会进行这一投资。即不风险厌恶型投资者不会进行这一投资。即不投资于公平游戏。投资于公平游戏。3F这里有一个金融界广泛运用的一个投资效用计这里有一个金融界广泛运用的一个投资效用计算公式，资产组合的期望收益为算公式，资产组合的期望收益为E(r)E(r)，其收益其收益方差为方差为 2 2，其效用值为：，

5、其效用值为：FFU=E(r)-0.005AU=E(r)-0.005A 2 2 FF其中其中A A为投资者的风险厌恶指数，风险厌恶程度为投资者的风险厌恶指数，风险厌恶程度不同的投资者可以有不同的指数值，不同的投资者可以有不同的指数值，A A值越大，值越大，即投资者对风险的厌恶程度越强，效用就越小。即投资者对风险的厌恶程度越强，效用就越小。在指数值不变的情况下，期望收益越高，效用在指数值不变的情况下，期望收益越高，效用越大；收益的方差越大，效用越小。越大；收益的方差越大，效用越小。4F如果股票的期望收益率为如果股票的期望收益率为10%10%，标准差，标准差 为为21.21%21.21%，国库，国库

6、券的收益率为券的收益率为4%4%，尽管股票有，尽管股票有6%6%的风险溢价，一个厌恶的风险溢价，一个厌恶风险的投资者会选择全部购买国库券的投资策略。风险的投资者会选择全部购买国库券的投资策略。F投 资 者投 资 者 A=3A=3 时，股 票 效 用 值 为：时，股 票 效 用 值 为：1 0-1 0-(0.005(0.0053 321.2121.212 2)=3.25%)=3.25%，比无风险报酬率稍低，在，比无风险报酬率稍低，在这种情况下，投资者会放弃股票而选择国库券。这种情况下，投资者会放弃股票而选择国库券。F如果投资者的如果投资者的A A为为2 2，股票效用值为：，股票效用值为：F10-

7、(0.00510-(0.0052 221.2121.212 2)=5.5%)=5.5%，高于无风险报酬率，投，高于无风险报酬率，投资者就会接受这个期望收益，愿意投资于股票。资者就会接受这个期望收益，愿意投资于股票。F所以，投资者对风险的厌恶程度十分关键。所以，投资者对风险的厌恶程度十分关键。5风险厌恶型的投资者承担风险是要报酬的，风险厌恶型的投资者承担风险是要报酬的，这个风险报酬就是超额收益或风险溢价。这个风险报酬就是超额收益或风险溢价。因此对于风险厌恶型的投资者来说，存在着因此对于风险厌恶型的投资者来说，存在着选择资产的均值选择资产的均值-方差准则：当满足下列方差准则：当满足下列(a)a)、

8、(b)(b)条件中的任何一个时，投资者将选择资产条件中的任何一个时，投资者将选择资产A A作为投资对象：作为投资对象：(a)E(Ra)E(RA A)E(R)E(RB B)且且2 2A A E(R)E(RB B)且且2 2A A2 2B B67F因为它的期望收益大于或等于第四象限中的任因为它的期望收益大于或等于第四象限中的任何资产组合，而它的标准差则等于或小于第四何资产组合，而它的标准差则等于或小于第四象限中的任何资产组合，即资产组合象限中的任何资产组合，即资产组合P P优于在它优于在它东南方向的任何资产组合。相应地，对投资者东南方向的任何资产组合。相应地，对投资者来说，所有第一象限的资产组合都

9、比资产组合来说，所有第一象限的资产组合都比资产组合P P更受欢迎，因为其期望收益等于或大于资产组更受欢迎，因为其期望收益等于或大于资产组合合P P，标准差等于或小于资产组合标准差等于或小于资产组合P P，即资产组即资产组合合P P的西北方向的资产组合更受欢迎。那么，通的西北方向的资产组合更受欢迎。那么，通过过 P P 点 的 投 资 者 效 用 的 无 差 异 曲 线点 的 投 资 者 效 用 的 无 差 异 曲 线(indifference curve)indifference curve)一定位于第二和第三象一定位于第二和第三象限，即一定是条通过限，即一定是条通过P P点的、跨越第二和第三

10、象点的、跨越第二和第三象限的东南方向的曲线。限的东南方向的曲线。8F一方面，风险厌恶程度不同的投资者有不同的一方面，风险厌恶程度不同的投资者有不同的无差异曲线，但它们都通过无差异曲线，但它们都通过P P点，因为，这是市点，因为，这是市场提供的唯一的风险溢价水平决定的。一般风场提供的唯一的风险溢价水平决定的。一般风险厌恶程度较高的投资者的投资效用无差异曲险厌恶程度较高的投资者的投资效用无差异曲线较为陡峭，因为风险的增加他要求很高的期线较为陡峭，因为风险的增加他要求很高的期望收益的增长；而一般风险厌恶程度较低的投望收益的增长；而一般风险厌恶程度较低的投资者的投资效用无差异曲线较为平缓。资者的投资效

11、用无差异曲线较为平缓。F另一方面，每一个投资者一旦确定其风险厌恶另一方面，每一个投资者一旦确定其风险厌恶程度，其投资效用的无差异曲线的斜率就确定程度，其投资效用的无差异曲线的斜率就确定了，除了一条由市场提供的唯一风险溢价水平了，除了一条由市场提供的唯一风险溢价水平决定的无差异曲线外，还一定可以有无数条平决定的无差异曲线外，还一定可以有无数条平行它的无差异曲线。行它的无差异曲线。9F我们首先来看均值，投资的期望值或均值并不我们首先来看均值，投资的期望值或均值并不是投资收益概率分布的唯一代表值，其他的选是投资收益概率分布的唯一代表值，其他的选择还有中值与众数。择还有中值与众数。F中值中值(medi

12、an)median)是所有收益按照高低排序时处于是所有收益按照高低排序时处于正中位置的收益率，众数正中位置的收益率，众数(mode)mode)是最大概率时是最大概率时的分布值或结果值，它代表了最大的可能收益，的分布值或结果值，它代表了最大的可能收益，但不是平均加权收益，也不是按高低排序后处但不是平均加权收益，也不是按高低排序后处于正中的收益。于正中的收益。F但投资者和理论界均认为均值最好，代表性最但投资者和理论界均认为均值最好，代表性最强，实际使用也最广泛。强，实际使用也最广泛。10均值本身是期望值的一阶矩差，方差是围绕均值本身是期望值的一阶矩差，方差是围绕均值的二阶矩差。方差在描述风险时有一

13、定均值的二阶矩差。方差在描述风险时有一定的局限性，如果两个资产组合的均值和方差的局限性，如果两个资产组合的均值和方差都相同，但收益率的概率分布不同时。都相同，但收益率的概率分布不同时。一阶矩差代表收益水平；二阶矩差表示收益一阶矩差代表收益水平；二阶矩差表示收益的不确定性程度，并且所有偶数矩差的不确定性程度，并且所有偶数矩差(方差，方差，M M4 4，等等)都表明有极端值的可能性，这些矩差都表明有极端值的可能性，这些矩差的值越大，不确定性越强；三阶矩差的值越大，不确定性越强；三阶矩差(包括其包括其他奇数矩差：他奇数矩差：M M5 5，M M7 7等等)表示不确定性的方向，表示不确定性的方向，即收

14、益分布的不对称的情况。但是，矩差数即收益分布的不对称的情况。但是，矩差数越大，其重要性越低。越大，其重要性越低。11F萨缪尔森有两个重要结论：萨缪尔森有两个重要结论：F所有比方差更高的矩差的重要性远远小于期所有比方差更高的矩差的重要性远远小于期望值与方差，即忽略高于方差的矩差不会影响望值与方差，即忽略高于方差的矩差不会影响资产组合的选择。资产组合的选择。F方差与均值对投资者的效用同等重要。方差与均值对投资者的效用同等重要。F得出这个结论的主要假设是股票收益分布具有得出这个结论的主要假设是股票收益分布具有“紧凑性紧凑性”。所谓紧凑性是说，如果投资者能。所谓紧凑性是说，如果投资者能够及时调整，控制

15、风险，资产组合收益率的分够及时调整，控制风险，资产组合收益率的分布就是紧凑的。布就是紧凑的。1213F马柯维兹马柯维兹(Harry Markowitz)1952Harry Markowitz)1952年在年在 Journal of FinanceJournal of Finance发表了发表了论文资产组合的选择论文资产组合的选择，标志着现代投资理论发展的开端。标志着现代投资理论发展的开端。F马克维茨马克维茨19271927年年8 8月出生于芝加哥一个店主家庭，大学在芝大读经济月出生于芝加哥一个店主家庭，大学在芝大读经济系。在研究生期间，他作为库普曼的助研，参加了计量经济学会的证系。在研究生期间

16、，他作为库普曼的助研，参加了计量经济学会的证券市场研究工作。他的导师是芝大商学院院长财务学杂志主编凯券市场研究工作。他的导师是芝大商学院院长财务学杂志主编凯彻姆教授。凯要马克维茨去读威廉姆斯的投资价值理论一书。彻姆教授。凯要马克维茨去读威廉姆斯的投资价值理论一书。F马想为什么投资者并不简单地选内在价值最大的股票，他终于明白，马想为什么投资者并不简单地选内在价值最大的股票，他终于明白，投资者不仅要考虑收益，还担心风险，分散投资是为了分散风险。同投资者不仅要考虑收益，还担心风险，分散投资是为了分散风险。同时考虑投资的收益和风险，马是第一人。当时主流意见是集中投资。时考虑投资的收益和风险，马是第一人

17、。当时主流意见是集中投资。F马克维茨运用线性规划来处理收益与风险的权衡问题，给出了选择马克维茨运用线性规划来处理收益与风险的权衡问题，给出了选择最佳资产组合的方法，完成了论文，最佳资产组合的方法，完成了论文，19591959年出版了专著，不仅分析了年出版了专著，不仅分析了分散投资的重要性，还给出了如何进行正确的分散方法。分散投资的重要性，还给出了如何进行正确的分散方法。F马的贡献是开创了在不确定性条件下理性投资者进行资产组合投资马的贡献是开创了在不确定性条件下理性投资者进行资产组合投资的理论和方法，第一次采用定量的方法证明了分散投资的优点。他用的理论和方法，第一次采用定量的方法证明了分散投资的

18、优点。他用数学中的均值方差，使人们按照自己的偏好，精确地选择一个确定风数学中的均值方差，使人们按照自己的偏好，精确地选择一个确定风险下能提供最大收益的资产组合。获险下能提供最大收益的资产组合。获19901990年诺贝尔经济学奖。年诺贝尔经济学奖。14F托宾托宾(James Tobin)James Tobin)是著名的经济学家、他在是著名的经济学家、他在19581958年年2 2月月The Review of The Review of Economic StudiesEconomic Studies发表文章，阐述了他对风险收益关系的理解。发表文章，阐述了他对风险收益关系的理解。F凯的流动偏好有

19、两个以后被证明不真实的假设，一个假设是利率水凯的流动偏好有两个以后被证明不真实的假设，一个假设是利率水平稳定不变，二是假设投资者或全部持有现金，或全部持有风险资产。平稳定不变，二是假设投资者或全部持有现金，或全部持有风险资产。F1955-561955-56年，托宾发现马克维茨假定投资者在构筑资产组合时是在风年，托宾发现马克维茨假定投资者在构筑资产组合时是在风险资产的范围内选择，没有考虑无风险资产和现金，实际上投资者会险资产的范围内选择，没有考虑无风险资产和现金，实际上投资者会在持有风险资产的同时持有国库券等低风险资产和现金的。由于利率在持有风险资产的同时持有国库券等低风险资产和现金的。由于利率

20、是波动的，投资者通常会同时持有流动性资产和风险资产。是波动的，投资者通常会同时持有流动性资产和风险资产。F他还指出，投资者并不是简单地在风险资产和无风险资产这两种资他还指出，投资者并不是简单地在风险资产和无风险资产这两种资产之间进行选择，实际上风险资产有许多种，因此，他得出：各种风产之间进行选择，实际上风险资产有许多种，因此，他得出：各种风险资产在风险资产组合中的比例与风险资产组合占全部投资的比例无险资产在风险资产组合中的比例与风险资产组合占全部投资的比例无关。这就是说，投资者的投资决策包括两个决策，资产配置和股票选关。这就是说，投资者的投资决策包括两个决策，资产配置和股票选择。而后者应依据马

21、克维茨的模型。即无论风险偏好何样的投资者的择。而后者应依据马克维茨的模型。即无论风险偏好何样的投资者的风险资产组合都应是一样的。托宾的理论不仅使凯恩斯理论有了更坚风险资产组合都应是一样的。托宾的理论不仅使凯恩斯理论有了更坚实的基础，也使证券投资的决策分析方法更深入，也更有效率。实的基础，也使证券投资的决策分析方法更深入，也更有效率。15F雨较多的年份雨较多的年份少雨年份少雨年份F股市的牛市股市的牛市股市的熊市股市的熊市伞需求大减伞需求大减F概率概率0.40.30.3F收益率收益率30%12%-20%FE(r伞公司伞公司)=(0.430)+(0.312)+0.3(-20)=9.6%F2(伞公司伞

22、公司)=0.4(30-9.6)2+0.3(12-9.6)2+0.3(-20-9.6)2=431.04F=431.041/2=20.76或或20.76%16F投资者将其资金的投资者将其资金的50%50%投资于伞公司的股票，其余的投资于伞公司的股票，其余的50%50%投资于收益率为投资于收益率为3%3%的国库券，因此投资者的整个资的国库券，因此投资者的整个资产组合的期望收益率为产组合的期望收益率为FFE(rE(r投资者投资者)=0.5)=0.5E(rE(r伞公司伞公司)+0.5)+0.5r r国库券国库券=(0.5=(0.59.6%)+(0.59.6%)+(0.53%)=6.3%3%)=6.3%F

23、资产组合的标准差为资产组合的标准差为FF投资者投资者=0.5=0.5伞公司伞公司=0.5=0.520.76%=10.38%20.76%=10.38%17F雨较多的年份雨较多的年份少雨年份少雨年份F股市的牛市股市的牛市股市的熊市股市的熊市冷饮需求大增冷饮需求大增FF概率概率0.40.30.3F收益率收益率4%-10%30%F冷饮公司的期望收益率为冷饮公司的期望收益率为7.6%，方差为，方差为248.64%，标，标准差为准差为15.77%。18F雨较多的年份雨较多的年份少雨年份少雨年份F股市的牛市股市的牛市股市的熊市股市的熊市冷饮需求大增冷饮需求大增F概率概率0.40.30.3F收益率收益率17%

24、1%5%F新组合的期望收益为新组合的期望收益为8.6%，标准差为，标准差为7.03%。互补的选择效果比。互补的选择效果比与无风险资产构成的组合还好。与无风险资产构成的组合还好。F资产组合资产组合期望收益期望收益标准差标准差F全部投资于伞公司股票全部投资于伞公司股票9.6%20.76%F一半伞股票一半国库券一半伞股票一半国库券6.3%10.38%F一半伞股票一半冷饮股票一半伞股票一半冷饮股票8.6%7.03%19F测度两种资产互补程度的指标是协方差测度两种资产互补程度的指标是协方差(covariance)covariance)，它测度的是两个风险资产收益相互影响的方向与程度。它测度的是两个风险资

25、产收益相互影响的方向与程度。正的意味着资产收益同向变动，负的则是反方向变动。正的意味着资产收益同向变动，负的则是反方向变动。斜方差的计算公式为斜方差的计算公式为FFCov(rCov(r伞伞,r r冷饮冷饮)=)=Pr(s)rPr(s)r伞伞(s)-E(rs)-E(r伞伞)r r冷饮冷饮(s)-E(rs)-E(r冷饮冷饮)FCov(rCov(r伞公司伞公司,r r冷饮公司冷饮公司)=0.4(30-9.6)(4-7.6)+0.3(12-)=0.4(30-9.6)(4-7.6)+0.3(12-9.6)(-10-7.6)+0.3(-20-9.6)(30-7.6)=-240.969.6)(-10-7.6

26、)+0.3(-20-9.6)(30-7.6)=-240.96 20F相关系数范围在相关系数范围在1 1和和+1+1之间，与斜方差的关系为：两之间，与斜方差的关系为：两变量协方差除以两标准差之积等于它们的相关系数。变量协方差除以两标准差之积等于它们的相关系数。F(伞，冷饮伞，冷饮)=)=Cov(rCov(r伞伞,r r冷饮冷饮)/()/(伞伞 冷饮冷饮)F =-240.96/(20.76 =-240.96/(20.76 15.77)=-0.73615.77)=-0.736 F另一种计算资产组合方差的公式为另一种计算资产组合方差的公式为FF P P2 2=w=w1 12 2 1 12 2+w+w2

27、 22 2 2 22 2+2w+2w1 1w w2 2Cov(rCov(r1 1,r,r2 2)FF 2 2=(0.5=(0.52 2 20.7620.762 2)+(0.5)+(0.52 2 15.7715.772 2)+)+F 2 2 0.50.5 0.50.5(-240.96)=49.43(-240.96)=49.43 7.03%7.03%FF这与前面得出的资产组合收益的标准差一样。这与前面得出的资产组合收益的标准差一样。21F投资金额投资金额5050万，其中万，其中1515万投资国库券，万投资国库券，3535万投资股票，万投资股票，15.7515.75万买清华同方，万买清华同方，19.

28、2519.25万买清华紫光。万买清华紫光。FF同方：同方：w w1 1=15.75/35=0.45 =15.75/35=0.45 F紫光：紫光：w w2 2=19.25/35=0.55=19.25/35=0.55FF风险组合风险组合P P的权重为的权重为y y，无风险组合的权重为无风险组合的权重为1-1-y y，有有FFy=35/50=0.7(y=35/50=0.7(风险资产风险资产)F1-1-y=0.3(y=0.3(无风险资产无风险资产)22F投资者希望将所持有的风险资产组合比重从投资者希望将所持有的风险资产组合比重从0.70.7降为降为0.550.55。投资者的投资资金的配置则为。投资者的

29、投资资金的配置则为FF投资于股票：投资于股票：y=500 000y=500 0000.55=275 000(0.55=275 000(元元)F投资于国库券：投资于国库券：1-1-y=500 000y=500 0000.45=225 000(0.45=225 000(元元)FF投资者在股票投资减投资者在股票投资减7.57.5万万(35-27.5=7.5)(35-27.5=7.5)，增买，增买7.57.5万万的国库券。由于两种股票的比例不变，因此，有的国库券。由于两种股票的比例不变，因此，有FF 清华同方：清华同方：w w1 1=275 000=275 0000.55=151 250(0.55=1

30、51 250(元元)F清华紫光：清华紫光：w w2 2=275 000=275 0000.45=123 750(0.45=123 750(元元)23F假定风险资产的期望收益为假定风险资产的期望收益为E(rE(rP P)=9%)=9%，标准差为标准差为 P P；=21%=21%，无风险资产组合无风险资产组合F F的收益率为的收益率为r rf f=3%=3%。F风险资产的风险溢价为风险资产的风险溢价为E(rE(rP P)r)rF F=9%-3%=6%=9%-3%=6%F令整个资产组合令整个资产组合C C的收益率为的收益率为r rC C，有：有：r rc c=yr=yrp p+(1-y)r+(1-y

31、)rf f FF资产组合资产组合C C的期望收益为：的期望收益为：3%+3%+y(9%-3%)3+6yy(9%-3%)3+6yF由于由于 P P=21%=21%，有：有：C C=y=yp p=21y=21y24F F E(rp)=9%pF F F F (rf)=3%FF 0 21%25F如果选择将全部投资投向风险资产，期望如果选择将全部投资投向风险资产，期望收益与标准差就是收益与标准差就是E(rE(rp p)=9%)=9%，P P=21%=21%。如如果选择将全部投资投向无风险资产，期望果选择将全部投资投向无风险资产，期望收益与标准差就是收益与标准差就是E(rE(rp p)=3%)=3%，P

32、P=0=0。F从线上可直观地看到，风险增加，收益也从线上可直观地看到，风险增加，收益也增加。由于直线的斜率为增加。由于直线的斜率为6/21=0.296/21=0.29，每，每增增1 1单位风险，可获单位风险，可获0.290.29单位收益。即每单位收益。即每增增1 1单位收益，将增单位收益，将增3.5(21/6=3.5)3.5(21/6=3.5)单位风单位风险。险。26F根据根据C C=y=yp p=21y=21y，有有y=y=c c/p p，将将y y代入有代入有FE(rE(rc c)=r)=rf f+yE(r+yE(rp p)-r)-rf f F =r =rf f+(+(c c/p p)E(

33、r)E(rp p)-r)-rf f=3+(6/21)=3+(6/21)c cFF从式中可以看到，资产组合的期望收益作为其标准差的从式中可以看到，资产组合的期望收益作为其标准差的函数是一条直线，其截距为函数是一条直线，其截距为r rf f，斜率为斜率为6/216/21。FF该斜率也称为该斜率也称为酬报与波动性比率酬报与波动性比率。一般认为这个值较大一般认为这个值较大为好，因为它越大，资本配置线就越陡，即增加一单位为好，因为它越大，资本配置线就越陡，即增加一单位风险可以增加更多的期望收益。风险可以增加更多的期望收益。27F根据前面的公式，我们可以得到以下两式：根据前面的公式，我们可以得到以下两式：

34、FE(rE(rc c)=r)=rf f+yE(r+yE(rp p)-r)-rf f 2 2C C=y=y2 22 2p pF将两式代入效用函数，有将两式代入效用函数，有FFMaxU=E(rMaxU=E(rc c)-0.005A)-0.005A 2 2C C=r=rf f+yE(r+yE(rp p)-r)-rf f-0.005Ay-0.005Ay2 22 2p pF(MaxU)=E(rMaxU)=E(rp p)-r)-rf f0.01Ay0.01Ay2 2p pFF令导数为令导数为0 0，有：，有：y y*=E(r=E(rp p)-r)-rf f/0.01A/0.01A2 2p pF F最优配置

35、与风险厌恶水平成反比，与风险溢价成正比。最优配置与风险厌恶水平成反比，与风险溢价成正比。28F还用上述例子中的数据。还假定风险厌恶系数还用上述例子中的数据。还假定风险厌恶系数A A为为3 3，求投资者的最优风险资产组合比例求投资者的最优风险资产组合比例y y*的值。有的值。有FFy y*=9%-3%/(0.01=9%-3%/(0.013 321212 2)=45.35%)=45.35%FF根据结果，应将资金的根据结果，应将资金的45.35%45.35%投资于风险资产，投资于风险资产，54.65%54.65%投资于无风险资产。整个资产组合的投资于无风险资产。整个资产组合的FFE(rE(rc c)

36、=3%+(45.35%)=3%+(45.35%6%)=5.72%6%)=5.72%F C C=45.35%=45.35%21%=9.52%21%=9.52%F2.72/9.52=0.29 2.72/9.52=0.29 等于前例中的等于前例中的酬报与波动性比率酬报与波动性比率。29F如果假定投资者的风险厌恶程度如果假定投资者的风险厌恶程度A A为为1.51.5，其结果为，其结果为Fy y*=9%-3%/(0.01=9%-3%/(0.011.51.521212 2)=90.7%)=90.7%FE(rE(rc c)=3%+(90.7%)=3%+(90.7%6%)=8.44%6%)=8.44%F C

37、C=90.7%=90.7%21%=19.05%21%=19.05%F5.44/19.05=0.295.44/19.05=0.29FF风险厌恶程度降低一半，投资于风险资产组合的比例上风险厌恶程度降低一半，投资于风险资产组合的比例上升了一倍，整个资产组合的期望收益也提高到升了一倍，整个资产组合的期望收益也提高到8.44%8.44%，风险溢价提高到风险溢价提高到5.44%5.44%，标准差也提高了一倍，达到，标准差也提高了一倍，达到19.05%19.05%。30F F E(rp)=9%pF F F F (rf)=3%FF 0 21%31F消极投资策略的资本配置方案为：短期国库券与股票指消极投资策略的

38、资本配置方案为：短期国库券与股票指数的资产组合。它的资本配置线称资本市场线数的资产组合。它的资本配置线称资本市场线(CML)CML)。F假定一资产组合有与指数相同的收益风险，其风险溢价假定一资产组合有与指数相同的收益风险，其风险溢价为为10%10%，标准差为，标准差为30%30%，投资者将投资资金的，投资者将投资资金的50%50%投向风投向风险资产组合。有险资产组合。有FFy y*=E(r=E(rp p)-r)-rf f/0.01A/0.01A2 2p p=10%/(0.01=10%/(0.01A A30302 2)=0.50)=0.50FA=10%/(0.01A=10%/(0.010.500

39、.5030302 2)=2.22)=2.22FF当然，这是根据假定的数据计算出来的风险厌恶程度。当然，这是根据假定的数据计算出来的风险厌恶程度。实际的值可以通过对市场的实际历史数据回归估计出来，实际的值可以通过对市场的实际历史数据回归估计出来，美国的学者估计美国市场的风险厌恶值在美国的学者估计美国市场的风险厌恶值在2-42-4之间。之间。32F美国股票美国股票1960-19701960-1970年随机选样的分散化效应表年随机选样的分散化效应表F股数股数 月均收益率月均收益率 月均标准差月均标准差 与市场的相关系数与市场的相关系数R R 1 0.88%7.0%0.54 1 0.88%7.0%0.

40、54F 2 0.69%5.0%0.63 2 0.69%5.0%0.63F 3 0.74%4.8%0.75 3 0.74%4.8%0.75F 4 0.65%4.6%0.77 4 0.65%4.6%0.77 5 0.71%4.6%0.79 5 0.71%4.6%0.79F10 0.68%4.2%0.8510 0.68%4.2%0.85F15 0.69%4.0%0.8815 0.69%4.0%0.88F20 0.67%3.9%0.8920 0.67%3.9%0.89 3334353637假定投资两种风险资产，一是股票，一是债券。投资者假定投资两种风险资产，一是股票，一是债券。投资者会根据期望收益与方

41、差的情况，考虑自己的风险厌恶会根据期望收益与方差的情况，考虑自己的风险厌恶程度决定两种资产组合的比例。程度决定两种资产组合的比例。假定投资债券的资金为假定投资债券的资金为w wD D，投资股票的部分为投资股票的部分为1-1-w wD D记作记作w wE E，r rD D为债券收益，为债券收益，r rE E为股票收益，组合收益为股票收益，组合收益r rp p为为r rp p=w=wD Dr rD D+w+wE Er rE E E(rE(rp p)=w)=wD DE(rE(rp p)+w)+wE EE(rE(rE E)p p2 2=w=w2 2D D D D2 2+w+w2 2E E E E2 2

42、+2w+2wD Dw wE EC COVOV(r(rD Dr rE E)Cov(r)Cov(rD D,r,rD D)=)=D D2 2组合的方差还可以有以下计算公式：组合的方差还可以有以下计算公式：P P2 2=w=wD Dw wD DCov(rCov(rD D,r,rD D)+w)+wE Ew wE ECov(rCov(rE E,r,rE E)+2w)+2wD Dw wE ECov(rCov(rD D,r,rE E)38如两资产斜方差为负，方差将变小。有如两资产斜方差为负，方差将变小。有 Cov(rCov(rD D，r rZ Z)=)=DEDE/D D E E 将此式代入方差计算公式有：将此

43、式代入方差计算公式有：P P2 2=w=wD D2 2 D D2 2+w+wE E2 2 E E2 2+2w+2wD Dw wE E D D E EDEDE =1 1时，式右可简化为：时，式右可简化为：P P2 2=(W=(WD D D D+W+WE E E E)2 2 或或 P P=W=WD D D D+W+WE E E E组合的标准差恰好等于组合中每一部分证券标准差的加权平均值。组合的标准差恰好等于组合中每一部分证券标准差的加权平均值。当当1 1时，组合标准差会小于各部分证券标准差的加权平均值。时，组合标准差会小于各部分证券标准差的加权平均值。当当=-=-1 1时，该式可简化为：时，该式可

44、简化为：P P2 2=(w=(wD D E EwwE E D D)2 2 组合的标准差为：组合的标准差为：P P=|w=|wD D E EwwE E D D|。此时如果两种资产的比例恰当，标准差可以降低到此时如果两种资产的比例恰当，标准差可以降低到0 0，39标准差可以降低到标准差可以降低到0 0的资产恰当比例为：的资产恰当比例为：由于：由于：w wD D D D-w-wE E E E=0=0，所以有所以有w wD D=E E/(/(D D+E E)w wE E=D D/(/(D D+E E)=1-w)=1-wD D 以上的公式表明，当以上的公式表明，当=时，标准差最大，为每一种风险时，标准差

45、最大，为每一种风险资产标准差的加权平均值；如果资产标准差的加权平均值；如果1 1，组合的标准差，组合的标准差会减小，风险会降低；如果会减小，风险会降低；如果=-=-1 1，在股票的比重为，在股票的比重为w wD D =E E/(/(D D+E E)，债券的比重为债券的比重为1-1-w wD D时，组合的标准差时，组合的标准差为为0 0，即完全无风险。，即完全无风险。40F股票股票E(rE(rp p)为为20%20%，方差为，方差为15%15%，债券，债券E(rE(rB B)为为10%10%，方差为，方差为10%10%。F 给定相关性下的资产组合的标准差给定相关性下的资产组合的标准差F投资比重投

46、资比重 =-1 =-0.5 =0.5 =1=-1 =-0.5 =0.5 =1 w wD D w wE E 收益收益 方差方差 收益收益 方差方差 收益收益 方差方差 收益收益 方差方差 1.00 0.00 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 1.00 0.00 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 0.80 0.20 12.0 3.08 12.0 5.04 12.0 8.96 12.0 10.92 0.80 0.20 12.0 3.08 12.0 5.04 12.0 8.96 12.0 10.92 0.60

47、0.40 14.0 0.12 14.0 3.06 14.0 8.94 14.0 11.88 0.60 0.40 14.0 0.12 14.0 3.06 14.0 8.94 14.0 11.88 0.40 0.60 16.0 1.12 16.0 4.06 16.0 9.94 16.0 12.88 0.40 0.60 16.0 1.12 16.0 4.06 16.0 9.94 16.0 12.88 0.20 0.80 18.0 6.08 18.0 8.04 18.0 11.96 18.0 13.92 0.20 0.80 18.0 6.08 18.0 8.04 18.0 11.96 18.0 13.

48、92 0.00 1.00 20.0 15.0 20.0 15.0 20.0 15.0 20.0 15.0 0.00 1.00 20.0 15.0 20.0 15.0 20.0 15.0 20.0 15.0F 最小方差的资产组合最小方差的资产组合(根据表中的数据，不再细分根据表中的数据，不再细分)F w wD D 0.55 0.55 0.70 1.000.55 0.55 0.70 1.00F w wE E 0.45 0.45 0.30 0.000.45 0.45 0.30 0.00F E(r E(rP P)14.5 14.5 13.0 10.0)14.5 14.5 13.0 10.0F 2 2P

49、 P 0.00 3.03 8.82 10.00.00 3.03 8.82 10.0 41F假定投资可细分，股票与债券的假定投资可细分，股票与债券的=-=-0.50.5。F计算组合方差的公式为：计算组合方差的公式为：F-p p2 2=w=w2 2D D D D2 2+w+w2 2E E E E2 2+2w+2wD Dw wE EC COVOV(r(rD D，r rE E)，F用用(1-(1-w wD D)来替代来替代w wE E，有：有：F-p p2 2=w=w2 2D D D D2 2+(1-w+(1-wD D)2 2 E E2 2+2w+2wD D(1-w(1-wD D)C)COVOV(r(

50、rD D，r rE E)F求出求出w wD D系数，令其等于系数，令其等于0 0，有，有Fw wminmin(D)=(D)=E E2 2-Cov(r-Cov(rD D，r rE E)/)/D D2 2+E E2 2-2 Cov(r-2 Cov(rD D，r rE E)F将前面的数据代入，将前面的数据代入，F由于有：由于有：Cov(rCov(rD D，r rZ Z)=)=DEDE D D E E，42F将将 2 2D D=10=10，2 2E E=15=15代入此式，代入此式，F有有Cov(rCov(rD D，r rZ Z)=-0.5(3.162)(3.873)=-6.123)=-0.5(3.1

51、62)(3.873)=-6.123F将此值代入，有将此值代入，有w wminmin(D)=15-(-6.123)/10+15-2(-6.123)(D)=15-(-6.123)/10+15-2(-6.123)=(21.123)/(37.246)=0.567 =(21.123)/(37.246)=0.567w wminmin(E)=1-0.679=0.433(E)=1-0.679=0.433F这个最小化方差的资产组合的方差为这个最小化方差的资产组合的方差为F 2 2minmin=(0.567=(0.5672 2 10)+(0.43310)+(0.4332 2 15)15)F +(2 +(2 0.5

52、670.567 0.4330.433-6.123)=3.02-6.123)=3.02F该组合为相关系数确定下的最小方差的资产组合该组合为相关系数确定下的最小方差的资产组合。F这一组合的期望收益为：这一组合的期望收益为：FE(rE(rp p)=0.567)=0.567 10%+0.43310%+0.433 20%=14.33%20%=14.33%43F资产组合机会集合线资产组合机会集合线 F E(rE(rp p)20 B)20 BF =-1 =-1 F =0.5 =0.5F =-0.5 =-0.5 F =1 =1F 10 10 F A AFF 0 3.16 3.87 0 3.16 3.87 44

53、F 资产配置线资产配置线B BF E(r E(rp p)F 15%B 15%B 资产配置线资产配置线A AF 14.33%A 14.33%AFF 机会集合线机会集合线FF6.5%1.74%1.79%6.5%1.74%1.79%45F两条两条CALCAL以以r rf f=6.5%=6.5%为起点，通过为起点，通过A,BA,B两点。两点。FA A点代表了在股票与债券的点代表了在股票与债券的=-0.5-0.5时具有最小方差组时具有最小方差组合合A A，该组合债券比例为该组合债券比例为56.7%56.7%，股票比例为，股票比例为43.3%43.3%。它。它的的E(r)E(r)为为14.33%(14.3

54、3%(风险溢价为风险溢价为7.88%)7.88%)，为为1.74%1.74%。F由于由于TBTB利率为利率为6.5%6.5%，酬报与波动性比率，酬报与波动性比率，即资本配置即资本配置线的斜率为线的斜率为:S SA A=E(r=E(rA A)-r)-rf f/A A=(14.33-6.5)/1.74=4.5=(14.33-6.5)/1.74=4.5FB B点，点，=-0.5,-0.5,债券股票各债券股票各50%50%，E(r)=E(r)=15%(15%(风险溢价为风险溢价为8.5%)8.5%)，=1.79%1.79%。斜率为：。斜率为：FS SB B=E(r=E(rB B)-r)-rf f/B

55、B=(15-6.5)/1.79=4.75=(15-6.5)/1.79=4.75F由于由于B B的斜率大于的斜率大于A A，B B更优。相同方差更高收益。更优。相同方差更高收益。F我们知道，两条线切点所对应的组合我们知道，两条线切点所对应的组合P P最优。最优。46F 资产配置线资产配置线F E(r E(rp p)F F FF6.5%6.5%F 机会集合线机会集合线FF 0 0 47F目的是找出目的是找出w wD D，w wE E值，以获得斜率最大的资本配置线。因此，目标值，以获得斜率最大的资本配置线。因此，目标函数就是斜率，即函数就是斜率，即S SP P，F有：有：S Sp p=E(r=E(r

56、p p)-r)-rf f/p pF只要满足权重和只要满足权重和=1=1，就可以求斜率的最大值，有就可以求斜率的最大值，有F Max SMax Sp p=E(r=E(rp p)-r)-rf f/p pF因为因为w wI I=1=1，将将 E(rE(rp p)=w)=wD DE(rE(rp p)+w)+wE EE(rE(rE E)代入，有代入，有FMax SMax Sp p=w=wD DE(rE(rp p)+w)+wE EE(rE(rE E)-r)-rf f/p pF将将 P P2 2=w=wD D2 2 D D2 2+w+wE E2 2 E E2 2+2 w+2 wD Dw wE E D D E

57、 EE E代入上式，有代入上式，有FMaxSMaxSp p=w=wD DE(rE(rp p)+w)+wE EE(rE(rE E)-r)-rf f/w/wD D2 2 D D2 2+w+wE E2 2 E E2 2+2w+2wD Dw wE E D D E EE E F用用1-1-w wD D代替代替w wE E ，有：有：MaxSMaxSp p=FwwD DE(rE(rp p)+(1-w)+(1-wD D)E(r)E(rE E)-r)-rf f/w/wD D2 2 D D2 2+(1-w+(1-wD D)2 2 E E2 2+2w+2wD D(1-w(1-wD D)D D E EE EF用用w

58、 wD D 对对S Sp p 求导，令导数为零，有求导，令导数为零，有Fw wD D=E(r=E(rD D)-r)-rf f E E2 2-E(r-E(rE E)-r)-rf fCov(rCov(rD D,r,rE E)/E(r)/E(rD D)-r)-rf f E E2 2+E(r+E(rE E)-)-r rf f D D2 2-E(r-E(rD D)-r)-rf f+E(r+E(rE E)-r)-rf fCov(rCov(rD D,r,rE E)Fw wE E=1-w=1-wD D48F把上例中的数据代入，得到的解为把上例中的数据代入，得到的解为Fw wD D=10-6.515-20-6.

59、5(-6.123)/10-6.515+20-6.510-=10-6.515-20-6.5(-6.123)/10-6.515+20-6.510-10-6.5+20-6.5(-6.123)=46.7%10-6.5+20-6.5(-6.123)=46.7%Fw wE E=1-0.46.7=53.3%=1-0.46.7=53.3%F这一最优风险资产组合的期望收益与标准差分别为这一最优风险资产组合的期望收益与标准差分别为FE(rE(rP P)=(0.467)=(0.46710)+(0.53310)+(0.53320)=15.33%20)=15.33%F 2 2minmin=(0.467=(0.4672

60、210)+(0.53310)+(0.5332 215)+(215)+(2 0.4670.467 0.5330.533-6.123)-6.123)=3.39%=3.39%F这个最优资产组合的资本配置线的斜率为这个最优资产组合的资本配置线的斜率为FS SP P=E(r=E(rB B)-r)-rf f/B B=(15.33-6.5)/1.84=4.80=(15.33-6.5)/1.84=4.80FF这也是资产组合这也是资产组合P P的的酬报与波动性比率酬报与波动性比率，这是资产组合，这是资产组合P P可以得到可以得到的最大的斜率，因此也是投资者可以得到的最优资本配置线的斜的最大的斜率，因此也是投资者

61、可以得到的最优资本配置线的斜率。率。49F风险资产与无风险资产的比率为：风险资产与无风险资产的比率为：y y*=E(r=E(rp p)-r)-rf f/0.01A/0.01A2 2p p，F假定假定A=4A=4，投资者投资于风险资产组合的投资比例为投资者投资于风险资产组合的投资比例为Fy=E(ry=E(rp p)-r)-rf f/0.01A/0.01A2 2p p=(15.33-6.5)/(0.01=(15.33-6.5)/(0.014 43.39)=65.123.39)=65.12FF由于风险太小，应将其资产的由于风险太小，应将其资产的100%100%全投向风险资产。只有全投向风险资产。只有

62、A A大于大于261261的时候，投资者才愿意同时投资于风险资产和无风险资产。假的时候，投资者才愿意同时投资于风险资产和无风险资产。假定定A=300A=300，有有Fy=(15.33-6.5)/(0.01y=(15.33-6.5)/(0.013003003.39)=86.82%1-y=13.12%3.39)=86.82%1-y=13.12%FF即投资者只有在如此厌恶风险的情况下，才会将其投资资金的即投资者只有在如此厌恶风险的情况下，才会将其投资资金的86.82%86.82%投向股票与债券，投向股票与债券，13.12%13.12%投向国库券。由于债券在风险资投向国库券。由于债券在风险资产中的比例

63、为产中的比例为46.7%46.7%，股票在风险资产中的比例为，股票在风险资产中的比例为53.3%53.3%，因此，因此，在全部投资资金中应有在全部投资资金中应有(46.7%(46.7%86.82%=)40.55%86.82%=)40.55%投资于债券，投资于债券，(53.3%(53.3%86.82%=)46.28%86.82%=)46.28%投资于股票，剩下的投资于股票，剩下的13.12%13.12%投向国库券。投向国库券。50FE(rE(rp p)资产配置线资产配置线F F 全部资产最优组合全部资产最优组合F P P F 最优风险资产组合最优风险资产组合F C C F F 6.5%6.5%F 机会集合线机会集合线F F 0 0 51演讲完毕，谢谢观看！