第五章 动态电磁场与电磁波(1)

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1、第五章动态电磁场与电磁波51动态电磁场时变电场和时变磁场是相互依存又相互制约的，这种相互作用和相互耦合的时变电磁场通常被称为动态电磁场。当动态电磁场以电磁波动的形式在空间传播时，即被称为电磁波。1动态电磁场的有关方程描述动态电磁场的麦克斯韦方程组为VxH=J+迺cdtdBdtVB二0VD=p媒质特性的构成方程组为D=sEb=mhJ=yE一般而言，反映媒质特性的三个参数s、M和Y与动态电磁场的工作频率有关。如在200MHz以下时，水的相对介电常数约为80，而在光频时则减小到1.75。本书假设它们在一定频率范围内均为常数。2动态电磁场的边界条件类似于静态和准静态电磁场中边界条件的推导，只要dD/d

2、t和dB/dt在媒质分界面上是有限的，其边界条件与静态电磁场的边界条件相同。事实上，在动态电磁场中，媒质分界面上的dD/dt和dB/dt均为有限量。不同媒质分界面上的动态电磁场的边界条件为：Ht-H1t=Ks，x（H-H1=KE1t=E2t，enx（E2-E1）=0Bn=Bn，en（B2-B1）=0Dn-Dn=c，en-（D2-D1）=在理想导体内，YT8且Jc是有限的，可知E=0O再由-dB/dt=VxE=0可见，在理想导体内也不存在随时间变化的磁场。在理想导体（设为媒质1）与介质（设为媒质2）交界面上的边界条件为Ht=Ksts，enxH=KnEt=0，enxE=0nBn=0n，e-B=0n

3、D=cn，e-D=cn式中，规定的交界面上的指向为理想导体表面的外法线方向，且e=enec上述边界条件表明，电力线垂直于理想导体表面，而磁力线沿着理想导体表面分布。例1：图示两无限大理想导体平板间的无源自由空间中，动态电磁场的磁场强度为H=eHcoszcost_Bx），卩为常数。试求：（1）板间y0d电场强度；（2）两导体表面的面电流密度和电荷面密度。解:（1）由麦克斯韦方程第一式，得6EdtdHy+edzzdHdH)ey+exdzzdx丿exSinZSin(WtPXLez0coszcosd由边界条件，在z=0的导体表面上K-exH=exH=eHcosCot-0x)nzx0c=eD=eD=Hc

4、osCot-0x)nzO在z=d的导体表面上K=exH=exH=eHcosCotx)nzx0c=eD=eD=Hcos(ot-0x)nzO03有损媒质的复数表示在实际中上，一方面导体的电导率是有限的；另一方面介质是有损耗的（如电极化损耗、或磁化损耗、或欧姆损耗等）。对于时谐电磁场中介电常数为“的导电媒质，由麦克斯韦方程和媒质的构成方程，得VxHE=joD（v、式中D=Aj-El丿由上式可见，这类有损媒质的欧姆损耗是以负虚数形式反映在媒质的构成方程中。类似地，为表征存在电极化损耗的有损电介质的极化性能可以定义如下复介电常数：=Ljs同样，为表征有损磁介质的磁化性能也可以定义如下复磁导率：P=MjH

5、可见，和的实部，即J和就是通常的介电常数和磁导率；而虚部和则分别表征电介质中的电极化损耗与磁介质中的磁化损耗。在高频时谐电磁场中，J、和p通常是频率的函数。当电介质同时存在电极化损耗和欧姆损耗时，其等效复介电常数可写为j”！l丿为了表征电介质中损耗的特性，通常采用损耗角的正切（工程上记作tan8），即tan8=88和tan8是在时谐电磁场中表征电介质特性的两个重要参数。工程上，称tan81的媒质被称为良导体。在微波炉中，微波频率为2.45GHz，面食的tan8约为0.073，菜和肉的tan8更高，而包装用的聚苯乙烯泡沫材料的tan8仅为3X10-5所以包装盒中的食品得以加热，而包装盒几乎不从微

6、波中获取能量。52坡印廷定理1坡印廷定理动态电磁场的能量守恒关系可以由麦克斯韦方程组导出。在单位体积内，动态电磁场在导电媒质中消耗的电功率为EJ=EVxH-cl戲丿利用矢量恒等式J(ExH)=(VxE)H-E(VxH)，上式为RDRDRBEJ=-E竺+H(VxE)-V(ExH)=-E竺-H丝-V(ExH)RtRtRt上式等号右边的前两项可写为ERD=1ERD+1ERD=1ERD+1DRERwRtRtRtRtRtRtI2RteRwRtRt12mRt将以上两式代入前式，得VExH)=-(w+w)-EJRtemc将上式两边对任意闭合曲面S包围的体积V积分，并由散度定理，得J(ExH)dS=dJ(w+

7、w)dVJeJdV=d(W+W)PdtemcdtemSVV上式改写为-(ExH)dS=(W+W)+PdtemS令S=EXH，对上式分析可知，S(W/m2)表征了单位时间内穿过单位面积的电磁能量，即单位时间内穿过闭合面S流入体积V的电磁能量等于该体积内电磁场能量W(=We+Wm)的增加率和电磁能量的消耗率。显然，上式反映了动态电磁场的能量守恒和功率平衡关系。上式又被称为坡印廷定理的积分形式，其微分形式为V(ExH)=-(w+w)-EJRtemc被称为坡印廷定理的微分形式。2坡印廷矢量可以看出，矢量S不仅表征了穿过单位面积上的电磁功率，还确定地描述了该电磁功率流的空间流动方向。这一电磁功率流面密度

8、矢量，被称为坡印廷矢量，即S=ExH对于时谐电磁场，导电媒质吸收的复功率体密度为EJ*=E(VxH*+jD*)c式中，“*”号表示对复矢量取共轭运算，可得V（ExH*）=EJ*j*w（BH*ED*）这就是时谐电磁场坡印廷定理的微分形式，其积分形式为SH*)dS=V*+j(BH*ED*)dVJ(ExB*)dS=J(yE2对于有损媒质，上式可以写为+gE2+H2)+j(pH&E2)dVSV上式右端实部表示体积V内有损媒质吸收的有功功率P（平均功率），它不仅包含传导电流产生的欧姆损耗，还包含了媒质的极化和磁化损耗；右端虚部表示体积V内吸收的无功功率Q,既包含磁场（感性）无功功率，也包含电场（容性）无

9、功功率。在时谐电磁场中，定义复坡印廷矢量为S=ExH*其实部为有功功率密度矢量，虚部为无功功率密度矢量。例1：直流电压源U0经图示的同轴电缆向负载电阻R供电。设该电缆内导体半径为a,外导体的内、外半径分别为b和c。试用坡印廷矢量分析其能量的传输过程。%A图同轴电缆横截面中的E、H和S的分布解：设同轴电缆为理想导体，内导体电位为U0,电流I=U0/R沿z轴方向流动;外导体电位为零，电流与内导体电流反向。可得同轴电缆内外电、磁场分别为E=U壮e1bpplnaH=2U0pe2兀a2RU2冗Rp2冗RpP2b2、1e、C2b2丿00paapbbpc不难看出，除同轴电缆内外导体间的坡印廷矢量(apb)U

10、21S=ExH=o-e2兀RIn-p$a不为零外，其余各处均为零。对同轴电缆截面积分得同轴电缆传输的功率为P=-JSdS=tse2兀pdp-却dp=伫oZa2兀RIn匕pRa显然，与电路理论获得的结果相同。讨论：从以上例题，坡印廷矢量仅存在于同轴电缆的内外导体之间的空间，且垂直于E和H组成的平面。这说明电磁能量是以电磁场方式通过空间传输给负载的，而不是象人们直观臆断的那样是以电流为载体通过导体传送给电阻的。应指出，导体的作用仅在于建立空间电磁场、并从电源定向导引电磁能量输入负载。53电磁位1电磁位的引入类似于恒定磁场，由麦克斯韦方程的VB=O，定义动态矢量位A代入麦克斯韦方程的VxE=-dB/

11、dt，得dAVx(E+)=0dt由上式括号中矢量的无旋性，进一步定义动态标量位申E=W-翌dtA和申的单位分别为韦/米(Wb/m)和伏(V),上述定义的位函数组A申被称为动态电磁场的电磁位。2洛仑兹规范为唯一地确定A,还必须规定A的散度。将上述定义式代入麦克斯韦方程组的另外两个方程，并整理得V2A眩出V(VA+ys空)=-mJdt2dtc从以上两个二阶偏微分方程不难看出，对A的散度规范不同，方程组的形式也将不同。如取库仑规范，尽管上述标量方程可以转化为简单的泊松方程，但上述矢量方程中依然存在着A与申的耦合。为去掉A与申的耦合，但上述矢量方程中梯度项为零，即dt上式被称为洛仑兹规范。此时，上述两

12、个偏微分方程转化为V2A憾空=_Jdt2cd2申dt2上式被称为电磁位的非齐次波动方程，又称为达朗贝尔方程。3非齐次波动方程的复数形式对于时谐电磁场，采用复矢量表示法，电磁位的非齐次波动方程的复数形式为V2A+k2A=卩JcV2(p+k2(P=p8k=OJ卩8式中k称为波数，单位为弧度/米(rad/m)，其物理含义将在后面阐述。电磁位的非齐次波动方程的复数形式又被称为非齐次亥姆霍兹方程。对于非齐次波动方程，无论是它的时域形式，还是它的频域形式，在动态电磁场问题中占有重要的地位。可以说，动态电磁场的产生、辐射、传播和接收的分析都是围绕非齐次(或齐次)波动方程的求解进行的。4电磁位的积分解令1F动

13、态标量位非齐次波动方程重写为1d2申2dt2对位于坐标原点的时变点电荷q,其场分布具有球对称特征，即动态标量位仅为球坐标系变量r的函数。在除去坐标原点以外的整个无源空间，位函数满足齐次波动方程1d(dqr2一d2(r)dr2u2dt2d2(rq)1d2(rq)dr2u2dt2(0r/u时，才不为零。也就是说，在动态电磁场中，q(t)在空间F点处产生的电位，需要一个时间t二r/u的传播过程，其传播速度为u。这表明时变点电荷产生的电位是以点电荷为中心、幅值与传播距离成反比的球面波，其波速由介质的介电常数和磁导率确定。在自由空间中1u=.u3x108m/s正是光波在真空中的传播速度，即光速c。右图画

14、出了前图所示时变点电荷在空间产生的电位传播过程。图标量电位的传播同理，动态矢量位非齐次波动方程的积分解为|r-r|/）uJ（r，t-）dVA（r,t）=J4兀V，由以上分析可知，空间各点动态标量位申和动态矢量位A随时间的变化总是落后于场源的变化。因此，通常也称申及A为滞后位。对于时谐电磁场，时间t写为时间延迟t-，进一步可写为u(t)=3tr=3tkruu上式表明，时域上的延迟等同于频域上相位的滞后。的电磁位积分解的复数形式为e-jkr-dV，cp(r)=J(r)e-jkr-rdv4ner-rfv而以上两式正是非齐次亥姆霍兹方程的解答。5波长与波数可等相位点的传播过程分析电磁波传播的滞后效应，

15、即对9t-kr求导，得等相位点的传播速度为dt1波的传播方向为r方向，波长为X=-由上式可见，包含在2兀米长度（对应2兀相位）中的波长数为了2兀k=_九因此，k被称为波数，也称为相位系数。54电磁辐射随时间变化的场源P或J产生的电磁场以波的形式在空间传播，这种现象被称为场源的电磁辐射。今后主要讨论时谐电磁场。这主要基于两方面的考虑：一是在实际工程中，电磁发射往往是以某一频率的正弦波为载频；二是时谐电磁场分析相对比较简单，其结果易于延拓到整个频域，并可借助傅里叶分析计算其它类型的动态电磁场。1电偶极子的电磁场图电偶极子（元天线）图示电偶极子IM是最简单的电磁辐射元件，通常称产生电磁辐射的元件为天

16、线。设电偶极子长度M远小于其上电流频率对应的电磁波波长，其横截面忽略不计。/为电流有效值相量。Alr，得卩IAloe-jkre4兀rz将上式在球坐标系下展开，可写成A=HLe沪(COS0er-Sin0e0)根据H=VxA/卩，可得0H=7Ale-jkr(1+jkr)sin0e4nr20电=丄VxH=j-lA|-782兀曲0(1+jkr-k2r2)sin0e0e-jkrIAle-jkr(1+jkr)cos0e-j_r3r4兀sr302近场与远场近场：首先，定义靠近电偶极子的区域即kr1（相当于rX）为近区。此时+1Alcos0.7Alsm0E-je-je2兀sr3r4兀sr3000*1Alsin

17、0hqe4兀r20利用电流与电荷的关系即7=q，电场强度又可写为qAlsin04兀sr30qAlcos0e2兀sr3r0将上述电场强度和磁场强度分别与电偶极子产生的静电场的电场强度和电流元产生的恒定磁场的磁场强度相对比，可以看出，其场分布是相同的。此外，场与源的相位完全相同，两者之间没有时差。因此，虽然源随时间变化，但它产生的近场与静态电磁场的特性完全相同，无滞后效应，所以近场也称为似稳场。同时，从上式还可看出，电场强度和磁场强度的相位差为90。，故坡印廷矢量的平均值Sav为零。这说明存储在电偶dV极子附近空间的能量表现为电场与磁场之间相互交换的方式，而并不产生向无限远空间传送的电磁辐射。应指

18、出，事实上近场也有平均功率在传输，而且正是这部分功率提供了向外空间传送的辐射功率，只是相对于存储在近场的功率而言，其值可以忽略不计。远场：其次，定义远离电偶极子的区域即kr1（相当于rX）为远区。此时1Alk2sin0e-jkre0E=j-4兀sr0H=sin0e-jkre4兀r可以看出，远场中电场强度和磁场强度在空间上相互垂直并与半径为r的球面相切,且同相位。它们的振幅均反比于r,其振幅之比定义为介质的特性阻抗，即En=0H0在自由空间中0q377Q由于特性阻抗反映了电磁波的电场强度和磁场强度之比，它又被称为介质的波阻抗。求空间任意一点复坡印廷矢量的平均值Sav=nsin20er这表明电磁能

19、量向无限远辐射。由此可见，时谐振荡的电流以波的形式向空间辐射电磁能量。此种辐射电磁能量的电磁场称之为辐射场，亦即电磁波。可以看出，对于远场中的电磁波，无论是电场强度还是磁场强度，它们的相位在以电偶极子为中心形成的球面上是等相位的，称等相位面为球面的电磁波为球面波。它具有如下特点：（1）E、H和Sav相互垂直，且满足右手螺旋关系；（2）E和H同相位且它av们的振幅之比为介质的特性阻抗；（3）传播方向由相位因子e土jkr确定，当jkr前取“-”时,沿er方向传播；反之，沿-er方向传播。可见，在无限大空间中，只需知道E和H中的一个，另一个就可以利用上述的特点求出。所以今后将只分析电磁波的电场强度。

20、3方向图电偶极子是最简单的天线，它产生的辐射场不仅与场点到源点的距离有关，还与同一球面上的0和角度有关。当0=0，即在z轴方向上辐射为零；当0=90。，也就是在垂直z轴的方向上辐射最强。辐射场的电场强度随0和角度变化的函数f（0,）被称为天线的方向图因子，根据f（0,Q）画出的图形被称为该天线的方向图。方向图描述了天线辐射场强在空间的分布情图电偶极子天线的方向图况。由上式，得电偶极子的方向图因子为f（0,0）=sin0右图为电偶极子天线在子午面上的方向图。在远场选一个包围电偶极子的半径为r的球面，由复坡印廷矢量的平均值，得电偶极子向外发出的总辐射功率为P=LSavSdS=2兀（IMl一3I九可

21、见总辐射功率与半径无关，即总辐射功率辐射到无限远。将其写为P=12R形式，则r称为天线的辐射电阻，它表示天线的辐射能力。Rr愈大则天线的辐射功率也就愈强。由于辐射电阻与A%有关，当电源频率较高即九较小时，可使用长度较短的天线发送一定量的辐射功率；而当电源频率较低即九较大时，就必须使用相当长的天线才能发送一定量的辐射功率。有时还常用P或Rr表示坡印廷矢量的平均值，即Sav3P8兀厂2sin20erSav3RI2=rsin20e8兀r2r例1:个人通信系统频率范围为800MHz3GHz。GSM系统双频移动电话天线的发射功率，当f=900MHz时为0.12W；当f=1.8GHz时为0.11W。若将该

22、移动电话天线近似看作为偶极子天线，试分别计算距移动电话3cm处的最大功率面密度。解：在距离一定的情况下，最大功率面密度出现在0=90。情况，当尸900MHz时，Savm265.2W/m2=26.52mW/cm2当尸LSGHz时，Savm132.6W/m2F3.26mW/cm2需要说明的是，以上仅是估算值。这是因为，在自由空间中，900MHz电磁波对应的波长为33.3cm，1.8GHz电磁波对应的波长为16.7cm。而移动电话的天线长度既不满足远小于波长，也不满足远场条件，并且还未考虑使用移动电话时人体头部媒质对电磁场的扰动。但是13GHz频率范围内的电磁波能够全部被皮肤、脂肪和肌肉所吸收，使人

23、体深处的细胞加热，导致内部器官损伤。因此，世界各国均对功率面密度限值作了规定，如美国IEEE/ANSI标准规定功率面密度限值为1mW/cm2。显然，本例在两个工作频率下的最大功率面密度均超过了1mW/cm2。所以，从健康的角度考虑，不应长时间使用移动电话。4线天线与天线阵线天线：线天线是指具有一定长度，且线半径远小于长度的直线导体构成的天线。图示为半波线天线的形成示意图，图(a)为终端开路的传输线，图中画出了电压和电流沿(a)终端开路的传输线(b)半波线天线的形成图半波线天线图由终端开路传输线形成半波线天线图半波线天线方向图E=j2sin9ejkrfcoskzejkcs9dze4兀sr0X42

24、coscos9=j2sin9sin29兀Acos912丿cossin9ejkre9方向图因子为cos心Acos912丿sin9右图为半波线天线的方向图，可以看出，它比电偶极子有更好的方向性。线分布曲线。在距终端四分之一波长处，将传输线分别向上和向下折90。，就形成了图图示的半波线天线。这表明半波线天线易于与传输线匹配，天线上的电流分布可以用终端开路传输线上的电流分布予以近似表示，如图（b）所示，其电场强度为XE=j-|kf-1coskzsin9ejkrdz9。4r0X4由于rl，有9*9,丫*rzcos9，电场强度可改写为天线阵:将多个线天线组合在一起即构成天线阵。以右图所示由N个相互平行的线

25、天线构成的天线阵（N元天线阵）为例。设相邻两天线距离为d电流振幅分布相同，相位依次滞后为a。从图中可以看出，相邻两天线在场点由于波程差和电流相位差产生的总相位差为屮=kdsin9cosa设图中原点线天线的辐射电场强度为E0，则N元天线阵在场点总的辐射电场为1ejNwE=Eo(1+ej屮+ej2屮hfej(n1)屮)=EQ=Esin世2oej.(N1)yj2g仲)式中.NVsing（屮）=Vsin2被称为N元天线阵的阵因子。如果上述N元天线阵均由半波线天线组成，则总辐射电场强度为E=je严卢f（9,）g帥e2兀sr90上式表明，N元天线阵的方向图因子为线天线方向图因子与天线阵阵因子的乘积。为理解

26、天线阵的方向性，取e=90。,屮=kdcos-a为了确定天线阵的最大辐射方向，右上图画出了阵因子g（屮）随屮的变化曲线。可见,当屮=0时，辐射最强，最强的主瓣宽度为MN,由上式得最强辐射的角度为丄aa九=cos-1=cos-1-kd2兀d上式表明，当d一定时，调整各个线天线的相位差a，可以改变天线阵的最大辐射方向,这就是相控天线阵的工作原理。下图画出d=m的六元天线阵对应不同a时的方向图。a=180。a=-180。a=90。图不同相位差a时对应的方向图5天线的互易性当线天线用作接收天线时，其方向图和发射天线的方向图是等同的。这一结论被称为天线的互易定理。设在空间中有体积为匕的电流源人和体积为匕的电流源厶，它们在空间任意点产生的辐射电场分别为E、H和E、U。利用矢量恒等式有1122V*(EXH)=H(VxE)-E(VxH)=-jgEE+卩HH)-EJ将上式下标1和2互换，得