高不等式单元知识总结

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1、高二不等式单元知识总结(3)ab0abaab一、不等式的性质1两个实数a与b之间的大小关系(1)ab0ab；(2)ab=0a=b；a(4)b1ab；若a、bR+，则(5)=1a=b；b(6)1ab2不等式的性质(1)abba(对称性)(2)abac(传递性)bc(3)abacbc(加法单调性)abacbcc0(4)(乘法单调性)abacbcc0(5)abcacb(移项法则)ab(6)acbd(同向不等式可加)cdab(7)acbd(异向不等式可减)cdab0(8)acbd(同向正数不等式可乘)cd01/17(9)ab00cdab(异向正数不等式可除)cdnNab0(10)anbn(正数不等式可

2、乘方)nNab0(11)nanb(正数不等式可开方)(12)ab011(正数不等式两边取倒数)ab3绝对值不等式的性质a(a0)，(1)|a|a；|a|=a(a0)(2)如果a0，那么|x|ax2a2axa；|x|ax2a2xa或xa(3)|ab|a|b|a|a|(4)|(b0)b|b|(5)|a|b|ab|a|b|(6)|a1a2an|a1|a2|an|二、不等式的证明1不等式证明的依据(1)实数的性质：a、b同号ab0；a、b异号ab0ab0ab；ab0ab；ab=0a=b(2)不等式的性质(略)(3)重要不等式：|a|0；a20；(ab)20(a、bR)a2b22ab(a、bR，当且仅当

3、a=b时取“=”号)a+bab(a、bR+，当且仅当a=b时取“=”号)22不等式的证明方法(1)比较法：要证明ab(ab)，只要证明ab0(ab0)，这种证明不等式2/17g(x)0g(x)0的方法叫做比较法用比较法证明不等式的步骤是：作差变形判断符号(2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等三、解不等式1解不

4、等式问题的分类(1)解一元一次不等式(2)解一元二次不等式(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式解一元高次不等式；解分式不等式；解无理不等式；解指数不等式；解对数不等式；解带绝对值的不等式；解不等式组2解不等式时应特别注意下列几点：(1)正确应用不等式的基本性质(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性(3)注意代数式中未知数的取值范围3不等式的同解性f(x)0f(x)0(1)f(x)g(x)0与或同解f(x)0f(x)0(2)f(x)g(x)0与或同解g(x)0g(x)03/17(3)f(x)g(x)f(x)0f(x)00与或同解(g(x)0)g(x)0g(x)0(4)0与或

5、同解(g(x)0)g(x)0g(x)0g(x)0g(x)0f(x)0f(x)f(x)0f(x)0g(x)(5)|f(x)|g(x)与g(x)f(x)g(x)同解(g(x)0)(6)|f(x)|g(x)与f(x)g(x)或f(x)g(x)(其中g(x)0)同解；与g(x)0同解f(x)g(x)2f(x)0(7)f(x)g(x)与f(x)0或同解f(x)g(x)2(8)f(x)g(x)与同解f(x)0(9)当a1时，af(x)ag(x)与f(x)g(x)同解，当0a1时，af(x)ag(x)与f(x)g(x)同解f(x)g(x)(10)当a1时，logf(x)logg(x)与同解aaf(x)g(x

6、)当0a1时，logf(x)logg(x)与f(x)0同解aag(x)0单元知识总结一、坐标法1点和坐标建立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点和一对有序实数(x，y)建立了一一对应的关系2两点间的距离公式设两点的坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两点间的距离|PP|=(x-x)2+(y-y)21221214/17特殊位置的两点间的距离，可用坐标差的绝对值表示：(1)当x1=x2时(两点在y轴上或两点连线平行于y轴)，则|P1P2|=|y2y1|(2)当y1=y2时(两点在x轴上或两点连线平行于x轴)，则|P1P2|=|x2x1|3线段的定比分点(1)定义：设P点把有向线段PP分成

7、PP和PP两部分，那么有向1212线段PP和PP的数量的比，就是P点分PP所成的比，通常用表示，1212即=P1P，点P叫做分线段PP为定比的定比分点PP122当P点内分PP时，0；当P点外分PP时，01212(2)公式：分P1(x1，y2)和P2(x2，y2)连线所成的比为的分点坐标是x=11+y=1x+xy+y1+22(-1)y=y1+y2特殊情况，当P是PP的中点时，=1，得线段PP的中点坐标1212公式x+xx=1222二、直线1直线的倾斜角和斜率(1)当直线和x轴相交时，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做这条直线的倾斜角当直线和x轴平行线重合时，规定直线

8、的倾斜角为0所以直线的倾斜角0，)(2)倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，直线的斜率常用k表示，即k=tan(5/172)当k0时，=arctank(锐角)当k0时，=arctank(钝角)(3)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的斜率为k=y2-y1(xx)x-x12212直线的方程(1)点斜式已知直线过点(x0，y0)，斜率为k，则其方程为：yy0=k(xx0)(2)斜截式已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则其方程为：y=kxb(3)两点式已知直线过两点(x1，y1)和(x2，y2)，则其方程为：y-y1y-y21=x-x1(xx)x

9、-x1221则其参数式方程为(t为参数)，特别地，当方向向量为y=y+bt(4)截距式已知直线在x，y轴上截距分别为a、b，则其方程为：xy+=1ab(5)参数式已知直线过点P(x0，y0)，它的一个方向向量是(a，b)，x=x+at00v(cos，sin)(为倾斜角)时，则其参数式方程为y=y+tsinx=x+tcos00(t为参数)这时，t的几何意义是tv=pp，|t|=|pp|=|pp|000(6)一般式AxByC=0(A、B不同时为0)(7)特殊的直线方程垂直于x轴且截距为a的直线方程是x=a，y轴的方程是x=0垂直于y轴且截距为b的直线方程是y=b，x轴的方程是y=03两条直线的位置

10、关系(1)平行：当直线l1和l2有斜截式方程时，k1=k2且b1b2当l和l是一般式方程时，A12A1=2B1B2CC12(2)重合：当l1和l2有斜截式方程时，k1=k2且b1=b2，当l1和l2是6/17一般方程时，AA1=2B1=B2CC12(3)相交：当l1，l2是斜截式方程时，k1k2当l，l是一般式方程时，A12A22B1B2交点：1的解2斜到角：l到l的角tan=1(1+kk0)1+kk交垂直A2+B2Ax+By+C=011Ax+By+C=022k-k2121212k-k夹角公式：l和l夹角tan=|21|(1+kk0)121+kk1212当l和l有叙截式方程时，kk=11212

11、当l1和l2是一般式方程时，A1A2B1B2=04点P(x0，y0)与直线l：AxByC=0的位置关系：AxByC=0P在直线l上(点的坐标满足直线方程)00AxByC0P在直线l外00点P(x，y)到直线l的距离为：d=|Ax0+By0+C|005两条平行直线l1AxByC1=0，l2AxByC2=0间A2+B2的距离为：d=|C-C|126直线系方程具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程的特点是除含坐标变量x，y以外，还含有特定的系数(也称参变量)确定一条直线需要两个独立的条件，在求直线方程的过程中往往先根据一个条件写出所求直线所在的直线系方程，然后再根据另一个条件来确定其中

12、的参变量(1)共点直线系方程：经过两直线l1A1xB1yC1=0，l2A2xB2yC2=0的交点的直线系方程为：A1xB1yC1(A2xB2yC2)=0，其中是待定的系数7/17在这个方程中，无论取什么实数，都得不到A2xB2yC2=0，因此它不表示l2当=0时，即得A1xB1yC1=0，此时表示l1(2)平行直线系方程：直线y=kxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程与直线AxByC=0平行的直线系方程是AxBy=0(C)，是参变量(3)垂直直线系方程：与直线AxByC=0(A0，B0)垂直的直线系方程是：BxAy=0如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，可选

13、用直线系方程来求解7简单的线性规划(1)二元一次不等式AxByC0(或0)表示直线AxByC=0某一侧所有点组成的平面区域二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分(2)线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题，例如，z=axby，其中x，y满足下列条件：1A2xB2yC20(或0)AxByC0(或0)11(*)AxBxC0(或0)nnn求z的最大值和最小值，这就是线性规划问题，不等式组(*)是一组对变量x、y的线性约束条件，z=axby叫做线性目标函数满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行

14、解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解三、曲线和方程1定义在选定的直角坐标系下，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下关系：(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)=0的解(一点不杂)；8/17y=0(2)以方程f(x，y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点(一点不漏)这时称方程f(x，y)=0为曲线C的方程；曲线C为方程f(x，y)=0的曲线(图形)设P=具有某种性质(或适合某种条件)的点，Q=(x，y)|f(x，y)=0，若设点M的坐标为(x0，y0)，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为：(1)MP(

15、x，y)Q，即PQ；00(2)(x，y)QMP，即QP00以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：(1)(x，y)QMP；00(2)MP(x，y)Q00显然，当且仅当PQ且QP，即P=Q时，才能称方程f(x，y)=0为曲线C的方程；曲线C为方程f(x，y)=0的曲线(图形)2曲线方程的两个基本问题(1)由曲线(图形)求方程的步骤：建系，设点：建立适当的坐标系，用变数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；立式：写出适合条件p的点M的集合p=M|p(M)；代换：用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)=0；化简：化方程f(x，y)=0为最简形式；证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的

16、点上述方法简称“五步法”，在步骤中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程(2)由方程画曲线(图形)的步骤：讨论曲线的对称性(关于x轴、y轴和原点)；求截距：f(x，y)=0方程组的解是曲线与x轴交点的坐标；f(x，y)=0方程组的解是曲线与y轴交点的坐标；x=09/17讨论曲线的范围；列表、描点、画线3交点求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组4曲线系方程过两曲线f1(x，y)=0和f2(x，y)=0的交点的曲线系方程是f1(x，y)f2(x，y)=0(R)四、圆1圆的定义平面内与定点距离等于定长的

17、点的集合(轨迹)叫圆2圆的方程(1)标准方程(xa)2(yb)2=r2(a，b)为圆心，r为半径特别地：当圆心为(0，0)时，方程为x2y2=r2(2)一般方程x2y2DxEyF=0配方(x+D2)2+(y+E2)2=D2+E2-4F4当D2E24F0时，方程表示以(DE2，2)为圆心，以12D2+E2-4F为半径的圆；2，当D2E24F=0时，方程表示点(DE2)y=b+rsin(为参数)y=rsin(为参数)当D2E24F0时，方程无实数解，无轨迹(3)参数方程以(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为x=a+rcos特别地，以(0，0)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为x=rcos3

18、点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d，圆的半径为r10/17A2+B2xx=yy+F=0(1)点在圆外dr；(2)点在圆上d=r；(3)点在圆内dr4直线与圆的位置关系设直线l：AxByC=0和圆C：(xa)2(yb)2=r2，则d=|Aa+Bb+C|(1)相交直线与圆的方程组成的方程组有两解，或dr；(2)相切直线与圆的方程组成的方程组有一组解，=0或d=r；(3)相离直线与圆的方程组成的方程组无解，或dr5求圆的切线方法(1)已知圆x2y2DxEyF=0若已知切点(x0，y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是D(x+x)E(y+y)000022)E(0)F=0表示当(x，y)在圆外时，xx

19、yyD(0000x+xy+y022过两个切点的切点弦方程若已知切线过圆外一点(x0，y0)，则设切线方程为yy0=k(xx0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线若已知切线斜率为k，则设切线方程为y=kxb，再利用相切条件求b，这时必有两条切线(2)已知圆x2y2=r2若已知切点P0(x0，y0)在圆上，则该圆过P0点的切线方程为x0xy0y=r2k已知圆的切线的斜率为，圆的切线方程为y=kxrk2+16圆与圆的位置关系已知两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1、r2，则(1)两圆外切|OO|=rr；1212(2)两圆内切|OO|=|rr|；1212(3)两圆

20、相交|rr|OO|rr12121211/17单元知识总结一、圆锥曲线1椭圆(1)定义定义1：平面内一个动点到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)定义2：点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常c数e(0e1)时，这个点的轨迹是椭圆a(2)图形和标准方程图81的标准方程为：图82的标准方程为：(3)几何性质x2y22ab2x2y2b2a21(ab0)1(ab0)12/17条件M|MF1|+|MF2|=2a，2a|F1F2|点M到l的距离=点M到l的距离=e，0e1M|MF|11|MF|22标准方程x2y2+a2b2=1(ab

21、0)x2y2+b2a2=1(ab0)顶点A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b，0)，B2(b，0)轴对称轴：x轴，y轴长轴长|A1A2|=2a，短轴长|B1B2|=2b焦点焦距F1(c，0)，F2(c，0)|F1F2|=2c(c0)，c2=a2b2F1(0，c)，F2(0，c)e离心率c(0e1)a；l：xccl：y-；l：ycc准线方程l1：x-a2a2212a2a2焦点半径|MF1|aex0，|MF2|aex0|MF1|aey0，|MF2|aey0外a2+b2=1(x,y)在椭圆上点和椭圆的关系x20y2000内(k为切线斜率)

22、，ykxa2k2+b2(k为切线斜率)，ykxb2k2+a2a2切线方程xxb21b2a210yy0xx0yy0切点弦方程(x0，y0)为切点(x0，y0)在椭圆外xxyy001a2b2(x0，y0)为切点(x0，y0)在椭圆外xxyy001b2a2|xx|1+k2或|yy|1+k2弦长公式12112其中(x1，y1)，(x2，y2)为割弦端点坐标，k为割弦所在直线的斜率2双曲线(1)定义定义1：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点)定义2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数e(e1)时，13/1

23、7这个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点)(2)图形和标准方程图83的标准方程为：x2y2a2b21(a0，b0)图84的标准方程为：y2x2a2b21(a0，b0)(3)几何性质14/17条件|MF|MF|PM|e，e1PM|MF1|MF2|2a，a0，2a|F1F2|12点M到l的距离点M到l的距离12x2x2a2ba2b标准方程1(a0，b0)221(a0，b0)e(e1)顶点轴焦点焦距离心率A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)对称轴：x轴，y轴，实轴长|A1A2|2a，虚轴长|B1B2|2bF1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)|F

24、1F2|2c(c0)，c2a2b2ca；l：xccl：y；l：ycc准线方程l1：xa2a2212a2a2yx(或yx(或ax2渐近线方程bx2aa2y2b20)ba2b20)y2x2共渐近线的双曲线x2a2y2b2k(k0)a2b2k(k0)(k为b切线斜率)b(k为a切线斜率)a系方程焦点半径y2|0k22|MF1|ex0a，|MFkxexaa-b2k或kaay2|0k22|MF1|ey0a，|MFkxeyba-a2k或kbba2b21a2b21切线方程x0xyy0yy0xx0(x0，y0)为切点xy+y(x0，y0)为切点200xya2的切线方程：a2(x，y)为切点000101切点弦方

25、程(x0，y0)在双曲线外xxyy0a2b2(x0，y0)在双曲线外yyxx0a2b2|xx|1+k2或|yy|1+k2弦长公式12112其中(x1，y1)，(x2，y2)为割弦端点坐标，k为割弦所在直线的斜率3抛物线(1)定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点15/17F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线(2)抛物线的标准方程，类型及几何性质，见下表：k2椭圆：1或1抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点，以一条坐标轴为对称轴；方程不同，开口方向不同；焦点在对称轴上，顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离p的几何意义：焦点F到准线l的距离弦长公式：设

26、直线为ykxb抛物线为y22px，|AB|1+k2|xx|1+1|yy|2121焦点弦长公式：|AB|px1x24圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e表示，当0e1时，是椭圆，当e1时，是双曲线，当e1时，是抛物线二、利用平移化简二元二次方程1定义缺xy项的二元二次方程Ax2Cy2DxEyF0(A、C不同时为0)，通过配方和平移，化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程，称为利用平移化简二元二次方程AC是方程为圆的方程的必要条件A与C同号是方程

27、为椭圆的方程的必要条件A与C异号是方程为双曲线的方程的必要条件A与C中仅有一个为0是方程为抛物线方程的必要条件2对于缺xy项的二元二次方程：Ax2Cy2DxEyF0(A，C不同时为0)利用平移变换，可把圆锥曲线的一般方程化为标准方程，其方法有：待定系数法；配方法(x-h)2(y-k)2(x-h)2(y-k)2a2b2b2a216/17中心O(h，k)(x-h)2(y-k)2(y-k)2(x-h)2双曲线：1或1a2b2a2b2中心O(h，k)抛物线：对称轴平行于x轴的抛物线方程为(yk)22p(xh)或(yk)22p(xh)，顶点O(h，k)对称轴平行于y轴的抛物线方程为：(xh)22p(yk)或(xh)22p(yk)顶点O(h，k)以上方程对应的曲线按向量a(h，k)平移，就可将其方程化为圆锥曲线的标准方程的形式17/17