统计学概率及概率分布.ppt

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1、第四章 概率与概率分布,4 概率与概率分布,掌握随机变量及其概率分布的含义，为推断统计的学习作准备,学习目标,在概率部分，复习样本空间与事件的概念、事件的概率及计算 在概率分布部分，复习随机变量的定义、离散型和连续型随机变量的概率分布、概率分布的数量特征，几种典型的概率分布如0-1分布、二项分布、正态分布等，以及典型概率分布的应用,4.1 概率基础知识,随机事件 随机事件的概率,随机事件的几个基本概念,事件的概念,事件：随机试验的每一个可能结果 例如：掷一枚骰子出现的点数为3 (任何样本点集合) 随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件 例如：掷一枚骰子可能出现的点数 必然事件：每次试验一

2、定出现的事件，用表示 例如：掷一枚骰子出现的点数小于7 不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用表示 例如：掷一枚骰子出现的点数大于6,事件与样本空间,基本事件 一个不可能再分的随机事件 例如：掷一枚骰子出现的点数 样本空间 一个试验中所有基本事件的集合，用表示 例如：在掷枚骰子的试验中，1,2,3,4,5,6 在投掷硬币的试验中，正面，反面,事件的概率,事件A的概率是对事件A在试验中出现的可能性大小的一种度量 表示事件A出现可能性大小的数值 事件A的概率表示为P(A) 概率的定义有：古典定义、统计定义和主观概率定义,概率的古典定义, 如果某一随机试验的结果有限，而且各个结果在每次试验中出现的

3、可能性相同，则事件A发生的概率为该事件所包含的基本事件个数 m 与样本空间中所包含的基本事件个数 n 的比值，记为,概率的古典定义-实例,【例4.1】某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。从 该公司中随机抽取1人，问： （1）该职工为男性的概率 （2）该职工为炼钢厂职工的概率,概率的统计定义, 在相同条件下进行n次随机试验，事件A出现 m 次，则比值 m/n 称为事件A发生的频率。随着n的增大，该频率围绕某一常数P上下摆动，且波动的幅度逐渐减小，趋向于稳定，这个频率的稳定值即为事件A的概率，记为,事件的概率,例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率，随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面的

4、频率稳定在1/2左右,概率的统计定义-实例,【例4.2】某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标为1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12天的用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节电措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。 解：上个月30天的记录可以看作是重复进行了30次试验，试验A表示用电超过指标出现了12次。根据概率的统计定义有,（三）概率的公理化定义及性质 在随机试验样本空间 上对每个时间A都有对应的实数P（A），如果这样的P（A）满足： 1、对于任何事件A，有0P（A）1；（P(A)0） 2、必然事件的概率为1，即P（）=1； 3、不可能事件的概率为0，即P（）=0。（-

5、） 4、A1，A2，Ai为互斥事件，则P（A1+A2+Ai）= P（A1）+ P（A2）+ P（Ai） 则称P（A）为事件A的概率,全概率公式和贝叶斯公式,4.2 随机变量及其概率分布,随机变量的概念 随机变量的概率分布,4.2.1 随机变量的概念,一次试验的结果的数值性描述 一般用 X、Y、Z 来表示 例如： 投掷两枚硬币出现正面的数量 根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型随机变量,离散型随机变量,随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来 X1 ， X2， 以确定的概率取这些不同的值 离散型随机变量的一些例子,连续型随机变量,随机变量 X 取无限个值 所有可能取值不可以逐

6、个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任意点 连续型随机变量的一些例子,4.2.2 随机变量的概率分布,随机变量可能的取值范围和取这些值相应 的概率称为随机变量的概率分布 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率分布,离散型随机变量的概率分布,列出离散型随机变量X的所有可能取值 列出随机变量取这些值的概率 通常用下面的表格来表示,P(X =xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数 pi0,连续型随机变量的概率分布,连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值 它取任何一个特定的值的概率都等于0 不能列出每一个值及其相应的概率 通常研究它取某一区间值的概率 用数学函数的形式和分布函

7、数的形式来描述,概率密度函数,设X为一连续型随机变量，x 为任意实数，X的概率密度函数记为f(x)，它满足条件,f(x)不是概率,概率密度函数, 在平面直角坐标系中画出f(x)的图形，则对于任何实数 x1 x2，P(x1 X x2)是该曲线下从x1 到 x2的面积,概率是曲线下的面积,4.2.3 随机变量分布的数字特征,在实际问题中概率分布较难确定，而反映随机变量某些方面特征的数值，即随机变量的数字特征相对较容易估算出来，并且许多问题的解决往往只需知道某些数字特征 在这些数字特征中，最重要的是期望和方差,离散型随机变量的数学期望,描述离散型随机变量取值的集中程度 计算公式为,离散型随机变量的方

8、差,描述离散型随机变量取值的分散程度 计算公式为,离散型随机变量的方差-实例,【例4.4】投掷一枚骰子，出现的点数是个离散型随机变量，概率分布为如下。计算数学期望和方差。,解：数学期望为：,方差为：,连续型随机变量的期望和方差,连续型随机变量的数学期望为 方差为,4.2.4 几种重要的随机变量概率分布,离散型 0-1分布 超几何分布 二项分布 泊松分布 连续型 正态分布 t分布 F分布 2(卡方)分布,0-1分布,一个离散型随机变量X只取两个可能的值 例如，男性用 1表示，女性用0表示；合格品用 1 表示，不合格品用0表示 列出随机变量取这两个值的概率,超几何分布,设一批同类产品共N个，其中M

9、个次品，现从中任取n个，则这n个产品中所含次品数X是一个离散型随机变量,二项试验-贝努利试验,二项分布与贝努利试验有关 贝努利试验具有如下属性 每次试验只有两个可能的结果，即成功和失败 重复n次,二项分布,设X为 n 次重复试验中事件A出现的次数，X 取 x 的概率为,二项分布-实例,例：从一批零件中随机抽取5件进行检验，每次取一件且检验后放回。假设在零件的加工过程中，出现次品的概率为0.05，求5件零件中恰好有x件次品的概率（x=0，1，2，3，4，5）。,解 可以把抽取5个零件看成是5次独立试验。设抽到次品数为X，则X服从参数n=5、p=0.05的二项分布。其概率分布为,泊松分布,用于描述

10、在一指定时间范围内或在一定的长度、面积、体积之内每一事件出现次数的分布 泊松分布的例子 一个城市在一个月内发生的交通事故次数 消费者协会一个星期内收到的消费者投诉 次数 人寿保险公司每天收到的死亡声明的人数,泊松概率分布函数, 给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的平均数 e = 2.71828 x 给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的次数,正态分布的重要性,描述连续型随机变量的最重要的分布 可用于近似离散型随机变量的分布 例如： 二项分布 经典统计推断的基础,概率密度函数,f(x) = 随机变量 X 的频数 = 总体方差 =3.14159; e = 2.71828 x = 随机

11、变量的取值 (- x ) = 总体均值, 和 对正态曲线的影响,正态分布的概率,概率是曲线下的面积!,标准正态分布的重要性,一般的正态分布取决于均值和标准差 计算概率时 ，每一个正态分布都需要有自己的正态概率分布表，这种表格是无穷多的 若能将一般的正态分布转化为标准正态分布，计算概率时只需要查一张表,标准正态分布函数,标准正态分布的概率密度函数,任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布,标准正态分布的分布函数,标准正态分布,标准正态分布表的使用,对于一般正态分布，即XN( , )，有,标准化的例子 P(5 X 6.2),t.,售机票的学问,资料 泛美航空公司新开设了一条每

12、日往返于芝加哥和爱达荷州首府博伊西之间的航线。在最初的20个航班中，每个航班的75个座位都被全部预订出去了。在飞机起飞之前，每个航班都发现有个别乘客没来乘机。显然，坐不满的飞机会给航空公司带来经济损失。经过对最初20个航班资料的整理，得到如下空座位的频数分布：,售机票的学问(续),售机票的学问(续),如果每个航班只售75张机票，则航空公司面临着乘客没有乘机的风险(noshows)。当然，航空公司也可以在售票时多售一些，但这样又面临着超过75个人来登机的风险(overbooking)。为了减少风险，制定出更合理的方案，航空公司需要掌握已经预订了机票的乘客中有多大比例不来乘机。据悉，每张机票200美元，若来登机的乘客人数少于75人，每空一个座位就损失200美元；反之，若登机人数超过75人，则按照一般惯例，无法登机的乘客可以得到400美元，即除退还200美元机票费用，还得到同样数目的损失赔偿。 讨论大纲 对于任意一位乘客，能否计算出他预订了机票却不来乘机的概率?如果可以，是多少?它的分布情况如何? 预订机票数目超过75或不足75都会给航空公司带来经济损失，试计算这一数目为多少时机会损失最小。,伪随机数,Excel的应用,利用“函数”-“统计”中的有关函数“正态 二项 泊松”等计算概率或已知概率返回随机变量. 利用 “数据分析”-“分析工具”-“随机数发生器”生成随机数。,