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1、第四章 Halbert空间一内积空间的基本概念设H是域K上的线性空间，对任意x,y g H，有一个中K数 (x，y)与之对应，使得对任意x,y,z g h ； a g k满足1) (x，y) 0 ； (x,y) =0,当且仅当 x = 0 ；2) (x,y) = (y，x)；3) (ax，y) = a (x,y)；4) (x+y,z)=(x，z)+(y,z)；称(，)是H上的一个内积，H上定义了内积称为内积空间。定理1.1设H是内积空间，则对任意x，y g h有：l(x，yLI (x，x)(y，y)。设H是内积空间，对任意x g h，命II x ll= j(x，x)则11 -11是H上的一个范
2、数。例 设H是区间0，b上所有复值连续函数全体构成的线性空间，对任意x，y g h，定义(x，y) = J bx (t )y(t)dta则与L2a，b类似，(x，y)是一个内积，由内积产生的范数为II x ll= (Jb I x(t)l2 dt)2a上一内积介不是Hilbert空间。定理1.2设反是内积空间，则内积(*，7)是尤,7的连续 函数，即时K TK, 7 T儿(X 9y )(x,j)onnn n定理1.3设是内积空间，对任意x9yeH，有以下关 系式成立，D平行四边形法则：Ilx +jIL+llx-jIL =2(llx IL + II j IL);2) 极化恒等式：1(x,j) =(
3、 II x + j IL - II x - j IL + ix + iy2 4illx-ry IL)定理1.4设X是赋范空间，如果范数满足平行四边形法 贝IJ,则可在X中定义一个内积，使得由它产生的范数正是x中 原来的范数。二正交性，正交系1正交性设是内积空间，如果(石7)= 0,称x与丁正 交，记为*上7。设M是的任意子集，如果xeH与M中每一元正交， 称K与肱正交，记为肱；如果M9N是H中两个子集， 对于任意xeM9yeN,xy 9称M与N正交,记 M1NO设肱是的子集，所有H中与肱正交的元的全体称为M的正交补，记为M -。定理2.1设H是内积空间1) 如果 x,y,z G H, X =
4、y + z 且y z，则 II x IL =II y II2 + II z IL ；2) 如果L是H的一个稠密子集，即L = H ,并且 x 1L，则x = 0 ；3) M是H的任意子集，则M1是H的闭子空间。定理2.2设M是内积空间H中的完备凸集，则对任意x G H，存在x G M，使得0II x - x II=d(x,M) = inf II x - y II0yGM定理2.3 (正交分解)设M是Gilbert空间H的闭子空间，则 对任意x G H，存在唯一的x0 G M及y G M1，使得x = x + y02正交系设, a gI是内积空间H中的子集，如果ap时 a(x ,y ) = 0，
5、称x ,aG 1是中的一个正交系。设x ,aG 1是一个正交系，如果对每一上a G 1 JI xa II= 1,称x ,a G 1是 一个标准正交系。设* , a G1是H的一个正交系，如果包含它的最小闭子 a空间是全空间H, 称x ,a G1是的正交基。定理2.4设。是内积空间H中的标准正交系，x G H , na ,.,a 是n 个数，则当且当仅a = (x,e )(k = 1，,n)时，II x 一a e H取最小值。 k kk=1定理2.5( Bessel不等式)设(。是内积空间H中的标准正n交系，则对任意x e H，有I(x,e )I2II x ILkk=1定理2.6设e是内积空间中
6、的一个标准正交系，则e 是完备的，当且仅当e 张成的子空间乙在H中稠密。 n定理2.7设H是Hilbert空间，e 是H中的标准正交nn设H是HiSert空间，e 是H中的标准正交 n则存在x e H，使得& = (x, e )(k = 1,2,.)kk系，则e是完备的，当且仅当e是完全的。 n定理2.8系，电e l并且 I & 12 =11 X II2kk=1定理2.9 (正交化定理)设x 是内积空间H中的可数子集， n则在H中存在标准正交系e，使得x与。张成的子空间相同。3可分空间的同构定理2.10设H是任一可分的无穷维的Hilbm空间，则存在H上到12同构映射9，且中保持内积。这个定理表
7、示任何一个无穷维中分空间可以表示为“坐标形式”I 2三 Riesz表示定理，Hitbrt空间的共轭空间1 Riesz表示定理定理3.1( RiesZ表示定理)设H是Hilbert空间，f是丑上 任意有界线性泛函，则存在唯一的y f H，使得对于每一个fx f H，有 f(x) =(x,y )，并且有iif ii=ii y II。ff2空间的共轴空间设H是Hilbert空间，A e p(H)，于是对任意y e H，易 见(Ax,y)(x e H)是H上的一个有界线性泛函，因此由Riesz 表示定理，存在唯一的z e H，使得(Ax, y) = (x,z) (x e H)(1)定义By = z。定
8、义设H是Hilbert空间，Aep(H)，把(1)式确定的有 界线性算子B称为A的共轭算子。注意区别第三章第四节中定义H上的有界线性算子A的共轭 算子A*。以后说到Hiber空间H上的有界算子的共轭算子A均指 定义的算子B，并且把它记为A*，即A的共轭算子A*是由下式定 义的算子：(Ax, y) = (x, Ay) (x, y e H)。定义 设H是Hiert空间，A是H上的有界线性算子，如果 a *=A，即对任意x, y e H(Ax, y) = (x, Ay)则称A是自共轭算子。设A是Hilbert空间H的有界共轭算子，以下是算子A的一些 简单性质。1) 对任意x e H, (Ax,x)是
9、实的。2) IIA11= sup 1( Ax, x )1II xII =13) 算子A的特征值是实的。4) 对应于算子A的不同特征值七,七的特征向量xi, x2是正交 的。四 HUbert;空间中的自共轴紧算子引理4.1设H是HiSert;空间，A是H上的有界共轭算子，如果存在x e H, II x II= L使得泛函1甲(x) I=I (Ax,x)I在00x点达到极大，则由(x, y) = 0可推出(Ax, y)=(x, Ay)=00000。定理 4.2(Hilbert - Schmidt)设A 是Hilbert 空间 H 上 的自共轭紧算子，则存在对应于特征值人。壬0)的特征向量 构成的标准正交系e ，使得每一元x e H可唯一地表示为n其中X，GN (A),即满足Ar，=0,同时 0Ax = a e k k k 并且如果e 是无穷的，则】血 =0on18
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