奥林匹克问题及详细答案

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1、1个面包和6个鸡蛋价值1.80元，同样价格下，2个面包和4个鸡蛋价值2.40元。问1个面包多少钱。永明在去农安时速45千米的客车上发现第一块里程碑上的数是AB;过了1小时见第二块里程碑上的数是BA;又过了1小时，见第三块里程碑上的数是A0B。美国小学数学奥林匹克，第一次(1980年11月)题2：时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依次类推。从1点至12点这12小时共敲了( )下。第二次(1980年12月)2题：如果全体自然数如下表排列，数到1000应在哪个字母的下面。( )A B C D E F G1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 1415 16 17一个三位

2、数，其十位数字是0，且能被一个一位数整除；如果被另一个一位数除则余3。请填上所有适合的情况。例2例3 下式可整除，请在中填进适当的数。赵例4 第五册数学思考题：首尾观察：美国小学数学奥林匹克，第四次(1981年 2月)题 5：在右边的除法算式中，方格表示擦掉的数字，A和B表示商的数字。求A和B的值。 A B A B例4 下式中每个号，都只表示某个素数(即2、3、5、7)，请你确定这个算式。例3 国小学数学奥林匹克，19811982年试题：下边乘法算式中，每个字母代表不同的数字，A不是零。A、B、C、D各代表什么数。例2 空，并确定被乘数小数点的位置。例1 式中的字母各代表什么数。奥数难题：竖式

3、填空之巧填加法例题3二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初试题：有一个四位数，在它的某位数字前面加一个小数点，再与这个四位数相加，得数2000.81。求这个四位数。奥数难题：竖式填空之巧填加法例题2例2 把下列算式中的符号、改写成数字，每种符号代表同一个数。奥数难题：竖式填空之巧填加法例题：请找出下列数列的规律，把数字填满，并写出16之后的下一个数字是多少？(1)1，-，7，-，-，16(2)1，-，-， 7，-，16(3) 1，-，-，-，7，16还有哪些规则，可以在1与16之间填入4个数字？考考你：你能想出在？处填上什么数字后可以完成这个环形图吗？同学们，应该在最后一个椭圆里填什么数字？找找看

4、，哪个图形适合填在空白的部分？有一块木板,突出的一角是一个小正方形,每边长1厘米,同他相连的一个中正方形,其面积是16平方厘米,这个中正方形又同面积为64平方厘米的大正方形相连.大,中,小三者合计,面积正好是81平方厘米. 现在打算把这块木板做成一个9乘9的正方形遮窗板.请问应该怎样锯木板才能拼出正方形.当然,块数锯得越少越好.如果下面这个建筑四面都很完整,那么它总共用了多少块砖呢?即使你无法看到这个不规则立方体图形的全貌,你也依然能剖面中哪一个是不可能出现的呢?够在心中精确地勾画出它的外观.如果从不同方向进行观察,下面这四个剖面中哪一个是不可能出现的呢? 怎么样才能只移走两根火柴,使现在的图

5、形保留四个正方形.将数字19放进数字路线中，使得各等式成立。想想都应该填写什么数。猜一猜，在？的地方填入哪一个字母可以完成这道谜题？“？”所在的位置应该填入选项中的哪一个长方形？猜猜看，问号处应该填入哪个图形？想一想，问号处应该填上什么数字？你能算出最后一个六边形中缺少什么数字吗？下面的图形可以折叠出a、b、c、d、e、f六个选项中的哪一个？空缺处的逻辑数值是多少？秘书小姐在下班前为一大堆邮件贴上邮票。她有许多邮票，但是面额只有两种，她不知道是否能正确组合这些邮票而得到应付的邮资。不过经验告诉她，虽然以这些邮票无法组合出39元的邮资，但是却可以组合出其他较高额的邮资。假设邮票的面额都是整数，请

6、问面额可能是多少？安妮的圣诞礼物是一盒积木。每块积木都是边长5cm的立方体，所有的积木装满一个也是立方体的盒子。就像其他小孩一样，安妮对堆积木很感兴趣。 她把积木倒出来，先搭起一个大的立方体，然后在它的上面再搭了一个较小的立方体，接着又搭了一个更小的立方体。安妮站起来，发现这个塔还是没她高，这令她 有点失望，不过，她因为能把所有的积木都用掉而感到很得意。这个塔有多高？ 一群历史学家在经过多年的资料收集与研究之后，有意重修一座早已倾颓的古庙。他们知道其中一 个大厅较长的那面墙贴的是橡木壁板，面对房门的墙面挂着来自法国的织锦，地板上则铺着名贵的波斯地毯。他们知道这些装演的设计细节与颜色，也知道橡木

7、壁 板、织锦和地毯的面积分别是648m2、388m2和1296m2。可是他们查遍资料，就是找不到这个大厅的尺寸。你能帮帮他们吗？彼得到木材行买合成板，打算做一个长方体的木箱收藏毛毯。如果要切一块完整的合成 板，价钱很贵，但如果买已经裁切下来的剩余材料就很便宜。彼得在剩余材料堆中用心寻找，终于找到3块合成板正好符合他的要求。其中一块正好做箱底与一个长 侧面；另一块裁成两块正好做一个长侧面和一个短侧面；第三块可以做盖子和剩下的一个短侧面。木材行的老板丈量这3块合成板的面积(以便计算价钱)，分别 是：6048cm2，4563cm2，4995cm2合成板的厚度不计，请问这个木箱的尺寸是多少？你是否能找

8、出一组数字，当乘上9时，所得的乘积与原来的数字正好顺序相反。等你找到这组数字所具有的共同形式之后，再试试看你是否能找到乘以4之后会顺序相反的数字。(1)平方数25有种特性，把它的每位数都加 1之后成为36，还是一个平方数。只有一个四位数的平方数具有相同的特性，请问它是多少？ (2)一个二位数ab，它的平方与ba的平方的差也是一个平方数。请问这个数字是多少？ (3)两个平方数的和与另两个平方数和的乘积，一定是两个平方数的和。例如： (1222)(2232)654272请问这个叙述是否正确？ 请将1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字排列成某种次序，使得：前两位数可被2整除前三位数可被3整除

9、前四位数可被4整除以此类推，直到9为止。排成 123 654 987看来好像有希望，因为12可被 2整除123可被3整除1236可被4整除12 365可被5整除123 654可被6整除但可惜，1236 549无法被7整除。再试一次吧！为了庆祝红宝石婚纪念日，威廉和露西与全家人一起举行聚会。威廉回想起这段漫长的婚姻生活，追忆当年在学校因与“年轻的露西”同桌而坠入情网。环顾周围的家人，威廉又想到不知等到金婚纪念时，所有的家人是否还能聚在一起。就在这样的思绪起伏中，他突然发现他的年龄的平方与露西年龄平方的差，正好等于他们子女数目的平方。请问当年威廉和露西结婚时，两人各是几岁？他们共有几个子女？在西方

10、，结婚40周年纪念日被称为红宝石婚纪念日。另外，在英国，法定结婚年龄为16岁。有一坐中古世纪的修道院围绕着正方形的中庭，中庭里有一口井，僧侣们都是从这口井中汲取饮用水。这口井的位置与3个相邻顶点的距离分别是30m、40m、50m。请问这个中庭有多大？由2个面包和4个鸡蛋价值2.40元，可知，1个面包和2个鸡蛋价值 2.402=1.20(元)。又由1个面包和6个鸡蛋价值1.80元，知4个鸡蛋价值1.80-1.20=0.60(元)。所以1个面包价值(2.40-0.60)2=0.90(元)。思路一 BA与AB的差，只能是两位数或一位数。车匀速前进，B必大于A。A0B与BA的差必等于BA与AB的差，不

11、会是三位数。A只能是1，若是2以上的数，则A0B与BA的差肯定是三位数了。由下表知：思路二：由速度一定知BA-AB=A0B-BA。写成十进数，化简(10B+A)-(10A + B)=(100A + B)-(10B+A)10B+A-10A-B=100A+B-10B-A9B-9A=99A-9BB=6AB是一位数，且只能是一位数。故A=1，B=6。A和B的数字确定了，其它随之出现。由“首尾之和”知A B C D E F G1、2、3、4、5、6既是列的序数，又是对应列以下各数除以7的余数;而7既是列的序数，本列除以7余数为0。10007=142余6所以1000与6位于同一列，即在字母F的下面。根据所

12、有条件，全面分析，有序思考：式(1)中，由除数与商的首位数之积是一个数字，知被除数的百位数字为1；式(2)中，由余数是3，且除数与商的末位数的积是一位数和“余数必小于除数”，知除数只能为4、5、6，被除数的前两位数为10，除数只能为5，被除数的末位数字为8，这个数为108；因为108能被2、3、4、6、9整除，但除数为2不符合式(1)的书写形式。答案为：由第一乘积和第一余数，知除数是35;商的十位数字可能是6或4。商是62不合题意，则除数是35，商为42。对比联想，逆向思考转除为乘。显然，A位只能为7。B=5，是一定的。C只能是2，到此整个算式解开。赵观察式(1)，知商的百位上是6;再观察式(

13、2)，知商的个位上是2。则被除数为4816。由B5=432，知B=8;进而知A54=6，A=3。由素数数码构成的三位数与一位素数相乘，积仅是由素数码构成的四位数，只有四种：32572275 5555277575553775 77532325进一步，不难得到由CCC，知C只可能是1、5、6。如果C1，乘积为原被乘数，与条件矛盾，C只可能是5或6，A只能是1。C6无解。C5时，B2或7。如果B2，则D6；如果B7，则D8。即在右边算式中，每一个方格表示一个擦掉的数字，求最后的乘积。由第一部分积个位上是2，十位上是8，知被乘数个位数字是6，十位数字是2；根据第二部分积前两位数字是1、2，确定乘数的十

14、位数字是3。由积的末尾是“30”，知第一部分积为230；积的最高位是“1”，第二部分积的最高上也为1；被乘数和第二部分积都是三位数，根据第二部分积的最高位上是1，可确定被乘数和乘数的最高位上也都为1；被乘数最低位上是“5”，而积的末尾是0，乘数的最低位上可能是2、4、6、8中的一个。由被乘数最高位上是1，第一部分积的最高位上是“2”，知乘数的最低位上为2；乘数是三位数，而只有两个部分积，知乘数的中间一位上为0；由被乘数最低位上是“5”，乘数的最低位上是2，第一部分积的末尾是30，知被乘数中间一位上为1；由被乘数和乘数，求出第二部分积115，终积117.30；最后，由乘数是一位小数，积有两位小数

15、，知被乘数为一位小数。即右式M不能大于3，如果是4、则4416。也不能小于3，如果是2，则224，都不符合积的要求。M3。3N21，N7；P0。即奥数难题：竖式填空之巧填加法例题3由题意知，所求的四位数是整数，且个位、十位上的数字必定分别是1与8。变换为下列算式：易推得方框中的数字为1、9，从而再根据加小数点后的数与原四位数字组成相同，确定这个数为1981。标签：奥数难题 加法原理奥数精华资讯 免费订阅最大两位数的和200，和的最高位只能是1，B1； AB10，方可形成进位。A9，C0。分析与解答：理论上会有无限多种可能，这个题目的目的是要强调有许多方式可以完成一个数列。 (1)1，4，7，1

16、0，13，16，19。每次加3。 (2)1，2，4，7，11，16，22。每次加的数比上次多1。 (3)1，6，3，10，7，16，13。前后项的差有两种：加上5、7、9、，与减去3。 1与16的差是15，因此有一种产生数列的方法是找到某种形式的5个差，其差的总和为15。例如，1，6，1，6，1的总和是15，故可产生如下的数列： 1，2，8，9，15，16 再如，7，-3，7，-3，7的总和也是15，因此可以产生下面的数列： 1，8，5，12，9，16。 分析与解答：这个题目与“可能达到的分数”有异曲同工之处。令 mn-m-n39则 (m-1)(n-1)40所以 (m-1)(n-1)140或2

17、20或410或58故可能的m、n组合为：(m，n)(2，41)或(3，21)或(5，11)或(6，9)其中(3，21)和(6，9)很显然是不正确的，因为可以组合出39。然而，无论是以面额2元及41元，或是5元及11元的邮票，在无法组合出的邮资中，金额最高的都是39元。因此这两组答案都是正确的。分析与解答：安妮把堆成一个大立方体的积木，重新堆成3个立方体，唯一可能的情况是，3个立方体的每边分别为5块积木、4块积木和3块积木，装积木的盒子则是每边为6块积木。这是因为33435363没有其他合理的数字能符合这个条件。因此塔高应该是12块积木的高度，也就是60cm。分析与解答：答案为 54m24m12

18、m。 假设这个大厅的长、宽、高分别是a、b和c，那么 ac648 bc288 ab=1296 分析与解答：木箱的尺寸可以用试误法求得，也可以通过下列系统的分析求出。假设木箱尺寸如图所示为a、b、c，并假设3块合成板的面积分别是X、Y和Z，分析与解答：如果 abck9kcba，那么很容易就可以看出 a1，k9，因为任何其他的a都会产生进位，使乘积比原来的数字多一位。 但是19991，因为个位数9乘上9时会有进8的情形。 考虑1b99，显然由于会进位，所以结果不会等于9b1。 再考虑 1bc999cb1 可以发现当b0，c8时，能够符合题目的条件。 1 08999801 这是四位数中唯一的答案。

19、接着的3组答案是： 10 989 五位数 109 989 六位数 1 099 989 七位数 此时数字的形式已呼之欲出。八位数的答案则有两种： 10 999 989和10 891089 九位数的答案有： T109 999 989和108 901089 十位数有3种答案： 1 099 999 989 1 089 001 089 1 098 910989 这些数字都是从已知的答案而来，任何位数的数字都可以依照以上的规则找出答案。 乘以4之后会顺序相反的数字，与上述这些数字的关系非常密切。事实上，就是上列数字的两倍。 1 08922 178 而 2 17848712 10 989221 978 而

20、21 978487919 以此类推。 分析与解答：(1)2 025452 3 136562 2 0251 1113 136，而且4511=56 (2)652-562332(3)这个平方数的关系可用下式表示： (a2b2)(c2d2)(ac+bd)2(ad-bc)2或是 (a2b2)(c2d2)(ac-bd)2(adbc)2如果你了解复数的观念，那么就可以知道这些等式是由下面的式子推算出来的： (aib)(c+id)(ac-bd)(adbc)i (a-ib)(c+id)(acbd)(ad-bc)i 分析与解答：这个题目能使你增进对数字“可除性”(divisibility)的了解。例 如，5一定是

21、在中间位置，因为利用1、2、9所构成的数字的前五位数，没有其他方式可以被5除尽。因为所有数字的总和是45，所以无论这些数字如何排 列，都可被9除尽。因为前六位数要被6整除，所以前面6位数字的和必须可被3除尽，而且第六位数必须是偶数。同时，还必须使偶数作间隔排列，如此才能被 2、4、6、8所整除。 上述的分析很有帮助，不过要找到能被7整除的数，还是需要试误演算。 唯一的答案是：381 654 729。 但是在这里要提醒你，不要太依赖计算器。因为如果你的计算器只能显示8位数，那么963 258 147看起来就会像是一个答案，因为计算器上会显示出96 325 814可被8整除；但这是不可能的，因为8

22、14不能被8整除。 分析与解答：这个问题的数学基础是毕氏三元数组。由于是红宝石婚，所以威廉和露西的年纪应该在56岁以上。而且他们曾在学校同桌，两人的年纪差应该不会超过1岁。因此，综合已知的资料，可以说题目是要找出两个相差1的数字，其平方差是另一个数字的平方。 现在试试 612-602=112852-842132两组答案看来都有可能。不过，第二组答案应该剔除，因为根据这组答案，威廉和露西40多岁结婚之后生了13个小孩。因此，威廉和“年轻的露西”结婚时，两人应为21岁和20岁，他们生育了11个子女。 分析与解答：中庭的边长大约是56.54m。这个题目其实很简单，利用勾股定理、代数运算，再加上一个计算器，就能轻易地得出答案。由图可知：x2(a-y)2900 (1)(a-x)2y22 50 (2)x2y21 600 (3)(1)-(3)得a2-2ay7000 (4)(2)-(3)得a2-2ax-9000 (5)把由第(4)式和第(5)式所得的x、y代入第(3)式：a4-3 400a2+650 000=0再把这个式子当作a2的二次方程求解。