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1、第四讲 导数及其应用（理）高考在考什么【考题回放】1（福建）已知对任意实数，有，且时，则时（ B ）ABCD2（海南）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ）3（江西）设在内单调递增，则是的（B）充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件4（浙江）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ D ）5（广东）函数的单调递增区间是6若直线y=x是曲线y=x3-3x2+ax的切线，则a= ；高考要考什么1 导数的定义：2 导数的几何意义：（1） 函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率；（2）函数在点处的导数，就是物体的运动方程在时刻时的瞬
2、时速度；3要熟记求导公式、导数的运算法则、复合函数的导数等。尤其注意：和。4求函数单调区间的步骤：1）、确定f(x)的定义域，2）、求导数y，3）、令y0(y0时，f(x)在相应区间上是增函数；当y0）.（）令F（x）xf（x），讨论F（x）在（0.）内的单调性并求极值；（）求证：当x1时，恒有xln2x2a ln x1.解：（）根据求导法则有，故，于是，列表如下：20极小值故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值（）证明：由知，的极小值于是由上表知，对一切，恒有从而当时，恒有，故在内单调增加所以当时，即故当时，恒有【点晴】本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调
3、性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力【范例2】（湖北理）已知定义在正实数集上的函数，其中设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同（I）用表示，并求的最大值；（II）求证：（）解：（）设与在公共点处的切线相同，由题意，即由得：，或（舍去）即有令，则于是当，即时，；当，即时，故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为（）设，则故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是故当时，有，即当时，【点晴】本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力变式：已知函数. （1）求函数y= f(x)的反函数的导数 （2）假设对任意成立，求实数m的取
4、值范围.解：（1）；（2）令：所以都是增函数.因此当时，的最大值为的最小值为而不等式成立当且仅当即，于是得 解法二：由得设于是原不等式对于恒成立等价于 7分由，注意到故有，从而可均在上单调递增，因此不等式成立当且仅当即 【点晴】求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.直线和圆的方程高考在考什么【考题回放】1（全国）已知直线过点（2，0），当直线与圆有两个交点时，其斜率k的取值范围是（C ）A) B C（） D（）2（大连检测）从点P(m,3)向圆C：，引切线，则切线长的最小值为（A ）A2BC D53(江西高考)为双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则
5、的最大值为 （ D ）A6 B7 C8 D94(天津高考)设直线与圆相交于A、B两点，且弦AB的长为，则。（0）5如果实数满足条件，那么的最大值为_。(1)6过点(1,2)总可以作两条直线与圆相切，则实数的取值范围_() 热点透析直线与圆在高考中主要考查三类问题：一.基本概念题和求在不同条件下的直线方程，基本概念重点考查：1）与直线方程特征值（主要指斜率，截距）有关的问题；2）直线的平行和垂直的条件；3）与距离有关的问题等。此类题目大都属于中、低档题，以选择题和填空题形出现；二.直线与圆的位置关系综合性试题，此类题难度较大，一般以解答题形式出现；三.线性规划问题，在高考中极有可能涉及，但难度不
6、会大 突 破 重 难 点【范例1】已知点P到两个定点M（1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为求直线PN的方程解：设点P的坐标为（x，y），由题设有，即整理得 x2+y26x+1=0因为点N到PM的距离为1，|M|2，所以PMN30，直线PM的斜率为，直线PM的方程为y=（x1）将式代入式整理得x24x10解得x2，x2代入式得点P的坐标为（2，1）或（2，1）；（2，1）或（2，1）直线PN的方程为y=x1或y=x+1【范例2】已知点A(-1,1),B(1,1),点P是直线=-2上的一点，满足APB最大，求点P的坐标及APB的最大值.解：设P（，2），则kAP，当3时，ta
7、nAPB1当且仅当3，即1时等号成立，又当P是(1,-1)时，APB有最大值；当3时，同法可求APB的最大值是arctan 结论：当P点的坐标是（1，1）时，APB有最大值变式：过点作两条互相垂直的直线，分别交的正半轴于，若四边形OAMB的面积被直线AB平分，求直线AB方程.(x+2y-5=0和2x+y-4=0)【范例3】（辽宁卷）已知点，是抛物线上的两个动点，O是坐标原点，向量满足设圆C的方程为,证明：1）求圆心C的规迹方程；2）当圆C的圆心到直线的距离的最小值为时，求p的值。解：设圆C的圆心为C(x,y)，则,又,=所以圆心的轨迹方程为：2）设圆心C到直线的距离为d,则，所以当,d有最小值，由题设，所以p=2变式：已知P是直线上的动点，PA、PB是圆的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。解：点P在直线上，所以设，C点坐标为(1,1)=2=四边形PACB的面积最小，而|PC|=，所以|PC|最小为3，所以最小为变式：一束光线通过点射到x轴上，再反射到圆C：上，求反射光线在x轴上的活动范围。（反射点在）
高考数学专题讲义：导数及其应用
