上海市静安区高三上学期期末教学质量检测数学试题

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1、2018届上海市静安区高三上学期期末教学质量检测数学试题 2018.01考生注意： 1本场考试时间120分钟试卷共4页，满分150分另附答题纸 2作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号等信息 3所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位在试卷上作答一律不得分 4用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1. 计算：_2.计算行列式 的结果是_（其中为虚数单位）3与双曲线的渐近线相同，且经过点的双曲线的方程是_4从5名志愿者中选出3名，分别

2、从事布置、迎宾、策划三项不同的工作，每人承担一项工作，则不同的选派方案共有_种（结果用数值表示）5已知函数（）的反函数为，则函数的图像经过的定点的坐标为6在的展开式中，的系数是，则实数_7已知点到直线的距离不小于3，则实数的取值范围是 .8类似平面直角坐标系，我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合于点且单位长度相同）称为斜坐标系在斜坐标系中，若（其中分别为斜坐标系的轴、轴正方向上的单位向量，），则点的坐标为.若在斜坐标系中，点的坐标为，则点到原点的距离为 .9已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，该圆锥的体积为，则该圆锥的侧面积等于 .10已知函数是实数集上的增函数，则

3、实数的取值范围为 11.已知函数，若将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于轴对称，则实数的取值集合为 .12.已知函数,若对任意，都有恒成立，则实数的取值范围为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13. 已知无穷等比数列的各项之和为，首项，则该数列的公比为 【 】A B C D或14. 设全集，则 【 】 A B C D15两条相交直线、都在平面内，且都不在平面内若有甲：和中至少有一条直线与相交；乙：平面与平面相交，则甲是乙的 【 】A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必

4、要条件16若曲线与曲线恰有两个不同交点，则实数的取值范围为 【 】A B C D三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，在正三棱柱中, ,异面直线与所成角的大小为（1）求正三棱柱的体积； （2）求直线与平面所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）B1A1C1ACB18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在中，角的对边分别是，设向量 且.(1)求证：；(2)若，试确定实数的取值范围.19（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，有一块边长为1(百

5、米)的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为 (其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设.(1) 当三点不共线时，求直角的周长；(2) 设探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积为S(平方百米) ，试求S的最大值.20（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）如图,已知满足条件（其中为虚数单位）的复数在复平面对应点的轨迹为圆（圆心为）. 设复平面上的复数对应的点为，定直线的方程为，过的一条动直线与直线相交于点,与圆相交于两点，是弦中点. （1）若直线经过圆心，求证：与垂直；（2）当时，求直线的方程；（3）设,试问是否为定值？若为定值，请求出

6、的值；若不为定值，请说明理由. 21（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分）已知数列的通项公式为，(N*)(1) 若，成等差数列，求的值；(2) 是否存在(且N*)与，使得，成等比数列？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由；(3) 求证：数列中的任意一项总可以表示成数列中的其它两项之积静安区2017学年度第一学期教学质量检测高三数学解答一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1. 0；2.；3.；4.60种；5；67.；8；9；1011.；12.二、选择题（本大题共有4题，满分2

7、0分，每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13.B；14.D；15.C；16A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）B1A1C1ACB解：（1）是异面直线与所成的角，所以=2分因为，所以，4分于是，三棱柱体积6分（2）过B作BDAC，D为垂足，则BD平面，是直线与平面所成的角，8分，（），所以直线与平面所成的角为14分(，)18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）且，2分又, 即又中或即或5分若，则且，6分（2

8、）由可得8分设，则，10分11分在上单调增实数的取值范围为(开区间)14分19（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1），所以，；因为点不共线，所以，,;=;5分直角的周长=26分(2)8分12分当时，等号成立13分探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S最大为平方百米14分20（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解: (1)由已知，圆心, , 2分则 .故. 所以直线与垂直. 4分（直线经过点（-1，0）和（0，3），所以方程为） (2) 当直线与轴垂直时,易知符合题意; 5分当直线与轴不垂直时,设直线的方程为. 6分由于,所以7分

9、由,解得. 9分故直线的方程为或. 10分 (3)当与轴垂直时,易得,又，则,故. 11分当的斜率存在时,设直线的方程为,代入圆的方程得.则,即,13分.又由得,则.故.综上,的值与直线的斜率无关,且. 16分（3）另解:连结并延长交直线于点,连结由(1)知又,所以四点都在以为直径的圆上,由相交弦定理得. 16分21（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分）解：(1) ，成等差数列，2分化简得N*，4分(2) 假设存在这样的，满足条件，成等比数列，6分去分母,展开得,化简得,N*，当时,;当时,；等等8分一般的,设,则,.9分N*，需为36的公约数,的取值集合为(或者列举)11分(3) 即证存在，使得12分即证：，15分令，则对任意，,即数列中的任意一项总可以表示成数列中的其它两项之积18分注:直接构造出与亦可，例如：，所以.