第二节极限的概念

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1、2 极限的概念(一)、数列的极限(二)、函数的极限(三)、无穷小量与无穷大量(四)、极限的性质“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽概念的引入R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS面积的逼近面积的逼近2.1 数列的极限1 1 11,2 4 82n例如例如;,2,8,4,2n2n1.数列数列12n.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn2.数列极限

2、的定义数列极限的定义.alim,a,aalim,aa,aa,n,a:nnnnnnnn不存在不存在或或发散发散否则称数列否则称数列记记收敛于收敛于称称则则无限趋于无限趋于时时当当设数列设数列定义定义 例例1:观察下列数列的变化趋势观察下列数列的变化趋势nnqy)4(,61,0,41,0,210,(3)1,-1,1,-1,(2)10,10,10,)1(-1q 1q 11q 1q 0qlimnn不存在不存在3.数列极限四则运算法则与性质数列极限四则运算法则与性质(1)四则运算法则四则运算法则则则设设,bblim,aalimnnnn nnnnalimccalim)1(bablimalim)ba(lim

3、)2(nnnnnnn abblimalimbalim)3(nnnnnnn 0blim,bablimalimbalim)4(nnnnnnnnn 例例2 求下列数列的极限求下列数列的极限)11(lim)1(nnn2(2)lim2433nnn212.(3)limnnn2.2 函数的极限函数的极限.)x(f,)f(Dx的变化趋势的变化趋势函数函数中变化时中变化时在在考虑考虑X的变化趋势有的变化趋势有:x:x记记xx00 xx,xx 000 xx:,xx,xx记记 000 xx:,xx,xx记记Xx:统一简记为统一简记为1.定义定义:,(),(),lim(),xXxXf xAxXf xAf xA设时无限

4、趋于某一确定的数则称时收敛于记不存在不存在或称或称时发散时发散在在否则称否则称)x(flim,Xx)x(fXx.)x(f,Xx)x(flim,)x(flimXxXx趋于无穷大趋于无穷大时时或说或说不存在不存在则称则称若若 特别记号特别记号:00:lim()(0)xxf xf x左极限00:lim()(0)xxf xf x右极限不存在不存在则则若若)x(flim),x(flim)x(flim)1(000 xxxxxx 不不存存在在且且不不为为无无穷穷大大则则)x(flim),x(flim)x(flim)2(xxx 000 xx,xx:xx包含两个过程包含两个过程 x,x:x包含两个过程包含两个过

5、程A)0 x(f)0 x(fA)x(flim00 xx0 A)x(flim)x(flimA)x(flimxxx .lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 oxxlimxxlim0 x0 x 左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例证证1)1(lim0 x xxlimxxlim0 x0 x 11lim0 x 0011lim(2)lim(3)limxxxxaxexxxex0例：取何值时函数 f(x)=x+ax0在时极限存在。例：讨论下列极限的存在性 (1)例例3 观察下列函数的变化趋势观察下列函数的变化趋势0 x(1)limxc0 x(2)limxxx11

6、011(3)lim(4)lim(5)limcos(6)limln(7)lim arctanxxxxxxexxx当当f(x)是基本初等函数时是基本初等函数时)x(f)x(flim),f(Dx0 xx00 则则若若例例:求下列函数的极限求下列函数的极限 2x 12x xf(x)x(flim )2(xlim )1(22x22x1214xf(x)(lim )4()12(lim )3(2xx2121xxfx.x)x(f,x)x(f)x(flim:)4)(2(00 xx0附近的变化趋势有关附近的变化趋势有关在在而只与而只与有无定义无关有无定义无关在在的值与的值与可看出可看出从从2.3 无穷小量1.定义定义

7、X)(x )1(o)x(f.Xx)x(f,0)x(flim 4.2Xx 记记下下的的无无穷穷小小量量是是极极限限过过程程则则称称若若定定义义下下的的无无穷穷大大量量是是极极限限过过程程则则称称若若定定义义Xx)x(f,)x(flim 5.2Xx 例如例如,0sinlim0 xx.0 xxsin时的无穷小量时的无穷小量是当是当函数函数,0)1x(lim1x .1x1x时的无穷小量时的无穷小量是当是当函数函数 注意注意1.无穷小量是变量无穷小量是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;4.零是可以作为无穷小量的唯一的数零是可以作为无穷小量的唯一的数.,0)1(lim nnn.nn)1(n时的无

8、穷小量时的无穷小量是当是当数列数列 ,01lim xx.xx1时的无穷小量时的无穷小量是当是当函数函数,x1lim0 x .0 xx1时的无穷大量时的无穷大量是当是当函数函数.)x(flim.30 xx认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 2.无穷大量是变量无穷大量是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3 f(x)_,1 _.xx例：当时为无穷大量当时是无穷小量1x 3x 2.无穷大量与无穷小量的关系无穷大量与无穷小量的关系X)(x )1(o)x(f1,)x(flimXx 则则若若X)(x )x(f1,0)x(f,0)x(flimXx 为无穷大量为无穷大量则则若若3.大量与无穷小量的运

9、算性质大量与无穷小量的运算性质:.h(x)f(x)f(x)g(x),cf(x),g(x),f(x),c,h(x)o(1),g(x)o(1),f(x),Xx )1(仍为无穷小量仍为无穷小量则则为常数为常数界变量界变量为有为有时时设设 .)x(g)x(f未必为无穷小量未必为无穷小量但但.h(x)f(x),g(x)f(x)g(x),f(x),f(x)g(x)cf(x),c,h(x),g(x)f(x),Xx )2(未必为无穷大量未必为无穷大量但但仍为无穷大量仍为无穷大量则则为常数为常数界变量界变量为有为有为无穷大量为无穷大量时时设设 0223x11:(1)lim sin 1 (2)lim(3cos)1

10、xxxxxx例注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.例例2 2).21(lim222nnnnn 求求解解是无穷小之和是无穷小之和时时,n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x.1后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21)00(型型(消去零因子法消去零因子法)例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再求极限再求极限分出无穷小分出无穷小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)0b,(a bxbxbaxaxalimmn01mm01nnx mn 0mn mn bamn