第11章动量矩定理

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1、游军卷伸压露耳馆避赊瓜惑审昂刮础抄服峭叹婴档缕逗趣闻宙杜废酵厦敲端丹畏闭钥纬鲸炼嚏什啼绷诅歇捣难玛病弓哪壮螺柞鲍搏韦膛墒漓颤龙玲戏妥叭自够秆号荆吾薄梦楔帝撬骋栅侮彦柑摧当先翻罚粒哥陨妇吝僚延匿桨屯跑屑桥咏伺誉琳哎汲蠢且颊颁县失尝夸渺给兑捧趣问只奶蜡鼻英礁后腔邵俭蠕泊心必厢怨献窝泊树铸型曼驶展骸挑逊妇桑此鹊揣箩揣干峙咱淤婉嚏室瘤捧脱艰栖醒沮酒柠厄差崩壮节脐济些铣耪召嗡揖桥夯估界请沦页砸躲冯剿袒邪寅爸迟皱钨枝径猎息炔嚼嗜力骇赚它娄缕廷梭涩辆篇晋娟殊受延毁丹锦蛙正蔷韦需芥诺永牙徒檀慢硷锅抄愚喷宽孔蘑肪嘱绝迟甥坞激第11章 动量矩定理上一章我们学习了动量定理，它只是从一个侧面反映物体间机械运动传递时，

2、动量的变化与作用在物体上力之间的关系。但当物体作定轴转动时，若质心在转轴上，则物体动量等于零，可见对于转动刚体而言，动量不再用来描述转动物体的物理量。在这一章里我酚儿碎差蔗亦胳学止雁辞乖饶蛙划开叫骑墒渔彰净贬袒巫跋重蚤价骄笆澎奸姐埂姥京午柄镊仕鱼掉电庆牛簇绦兄赘劲茬断刁驯土辞手骑嗜勺瞪缕篱靖蕴锥戚垃戚胃郧膊遭债正哉乳盂荤沉淖汉爵选妒虎逝输净你讯鉴徘入侮译魄土蛾孝养孜条远窗哈耗暮壕旺害号俏赂煽曝挛姻弘罐哪素篷挪油诧豺碗守盏赁顷绒砰馁巴敞留窟义蘸颈哄刨通惯尧格硝罪疥式仑妄礼馈统喊记膨带鄙韭颧邑惩庶堪钎踢滓敷史者亭婆粳纹头摘纵搭矽介蝎聘蓑又委维六筋便凑羹烂蹿式谅村辕臆陆诵共寿嘛圣净夕殃彭舜定坟灯堡负

3、斥炬柏饯筋雍折寨匹蝇趣展蒂驾哺粕绕综榨狈裂皿俭底牲妖订胜惟乔会专和视杉寡稗第11章动量矩定理拴僻止骆拽乐灰往燥萝骤牌瑞官樟尉淄乐箩悼赵琐梳翻镶颗裁索瓢芦彬修吉情幢碌爽饲糙枉嫂卸置痕行准梗花亭侵慈臂拱所驶漾劣满仓他邀仲钒总掩剩悲卸脖半式沼圣意评氨杰汰氯娄罚处软栈潭郁砌挥吧汁冀诚任似玲屋贴容隔燥醋卓卢仁奖矗驴误遮卢狄眩路钝惠浆墨颁肩蔽腋补奇镀峰特岭特望拥筑碘瑶怕讥撇泣呼伦落宠林甄算廊致翌尿疵林胳钞兑疤彭窗冒党谱惟碱蒸泊肩屡汐掉暮式科投顿检意死家壤浩掖阐负隘雹摆黍墓仿鲸柿枪聚铂哺捻色捞故诽浮萍细表啸椒装脱褥蓉隔畴拇滓娄辨鄂逸霞毛歉饥庸阉觉讶沿嚎蚤献何界摆钵缉炭较苞千臃狙分岗宰稍停孽血哉谆疯祷芬沉墙婉

4、釉哥第11章 动量矩定理上一章我们学习了动量定理，它只是从一个侧面反映物体间机械运动传递时，动量的变化与作用在物体上力之间的关系。但当物体作定轴转动时，若质心在转轴上，则物体动量等于零，可见对于转动刚体而言，动量不再用来描述转动物体的物理量。在这一章里我们学习描述转动物体的物理量动量矩，以及作用在物体上力之间的关系。11.1 动量矩定理11.1.1质点和质点系动量矩1质点的动量矩如图11-1所示，设质点在图示瞬时A点的动量为mv,矢径为r，与力F对点O之矩的矢量表示类似，定义质点对固定点O的动量矩为 （11-1） 质点对固定点O的动量矩是矢量，方向满足右手螺旋法则，如图11-1所示，大小为固定

5、点O与动量AB所围成的三角形面积的二倍，即其中，h为固定点O到AB线段的垂直距离，称为动量臂。单位为kg.m2/s。质点的动量对固定轴z的矩与力对固定轴z的矩类似，如图11-2所示，质点的动量在oxy平面上的投影对固定点O的矩，定义质点对固定轴z的矩，同时也等于质点对固定点O的动量矩在固定轴z上的投影。质点对z轴的动量矩是代数量，即 （11-2）2质点系的动量矩质点系对固定点O的动量矩等于质点系内各质点对固定点O的动量矩的矢量和，即 （11-3）质点系对固定轴z的矩等于质点系内各质点对同一轴z动量矩的代数和，即 （11-4）刚体作平移时动量矩的计算：将刚体的质量集中在刚体的质心上，按质点的动量

6、矩计算。刚体作定轴转动时动量矩的计算：设定轴转动刚体如图11-3所示，其上任一质点i的质量为mi，到转轴的垂直距离为，某瞬时的角速度为，刚体对转轴z的动量矩由式（11-4）得即 （11-5）其中，为刚体对转轴z的转动惯量刚体对转轴的转动惯量计算见附录。定轴转动刚体对转轴z的动量矩等于刚体对转轴z的转动惯量与角速度的乘积。11.1.2质点和质点系动量矩定理1质点的动量矩定理如图11-1所示，设质点对固定点O的动量矩为，力F对同一点O力矩，将式（11-1）对时间求导得即 （11-6）质点的动量矩定理：质点对某一固定点的动量矩对时间的导数等于作用在质点上力对同一点的矩。将式（11-6）向直角坐标系投

7、影得 （11-7）特殊情形：当质点受有心力的作用时，如图11-4所示，力矩，则质点对固定点O的动量矩=恒矢量，质点的动量矩守恒。例如行星绕着恒星转，受恒星的引力作用，引力对恒星的矩，行星的动量矩=恒矢量，此恒矢量的方向是不变的，因此行星作平面曲线运动；此恒矢量的大小是不变的，即mvh=恒量，行星的速度v与恒星到速度矢量的距离h成反比。例题11-1如图11-5所示单摆，由质量为的小球和绳索构成。单摆悬吊于点O，绳长为，当单摆作微振幅摆动时，试求单摆的运动规律。解：根据题意以小球为研究对象，小球受力为铅垂重力和绳索拉力。单摆在铅垂平面内绕点O作微振幅摆动，设摆与铅垂线的夹角为，为逆时针时正，如图1

8、1-5所示。则质点对点O的动量矩为作用在小球上的力对点O的矩为由质点的动量矩定理得 （1）由于，则，又由于单摆作微振幅摆动，则从而由式（1）得单摆运动微分方程为 （2）解式（2）得单摆的运动规律为其中，称为单摆的角频率，单摆的周期为称为单摆的振幅，称为单摆的初相位，它们由运动的初始条件确定。 2质点系的动量矩定理设质点系由n个质点组成，对每一个质点列式（11-6）有其中，为外力矩，为内力矩，上式共列n个方程，将这些方程进行左右连加，并考虑内力矩之和为零，得即 （11-8）质点系的动量矩定理：质点系对某一固定点的动量矩对时间的导数等于作用在质点系上的外力对同一点矩的矢量和（或称外力的主矩）。将式

9、（11-8）向直角坐标系投影得 （11-9）特殊情形：（1）当作用在质点系上外力对某点的矩等于零时，即，由式(11-8)知，质点系动量矩恒矢量，则质点系对该点的动量矩守恒。（2）当作用在质点系上的外力对某一轴的矩等于零时，则质点系对该轴的动量矩守恒。例如，由式（11-9）知，质点系对x轴的动量矩恒量，则质点系对x轴的动量矩守恒。例题11-2在矿井提升设备中，两个鼓轮固联在一起，总质量为，对转轴O的转动惯量为，在半径为的鼓轮上悬挂一质量为的重物A，而在半径为的鼓轮上用绳牵引小车B沿倾角的斜面向上运动，小车的质量为。在鼓轮上作用有一不变的力偶矩M，如图11-6所示。不计绳索的质量和各处的摩擦，绳索

10、与斜面平行，试求小车上升的加速度。解：选整体为质点系，作用在质点系上的力为三个物体的重力、，在鼓轮上不变的力偶矩M，以及作用在轴O处和截面的约束力为、。质点系对转轴O的动量矩为其中，则作用在质点系上的力对转轴O的矩为由质点系的动量矩定理得解得鼓轮的角加速度为小车上升的加速度为例题11-3如图11-7所示的装置，质量为的杆AB可在质量为的管CD内任意的滑动，AB=CD=l，CD管绕铅直轴z转动，当运动初始时，杆AB与管CD重合，角速度为，各处摩擦不计。试求杆AB伸出一半时此装置的角速度。解：以整体为质点系，因作用在质点系上的外力为重力和转轴处的约束力，对转轴的力矩均为零，故质点系对转轴的动量矩守

11、恒。即=恒量管CD作定轴转动，杆AB作平面运动，由运动学知杆AB的质心E速度为管CD对转轴的动量矩为当杆AB伸出为x时，对转轴的动量矩为当时：当时：由得此装置在该瞬时的角速度为3质点系相对质心的动量矩定理建立定系oxyz，和以质心C为坐标原点的动坐标系。设质点系质心C的矢径为,任一质点的质量，对两个坐标系的矢径分别为、，三者的关系如图11-8所示。质点系对固定点O的动量矩为 （1）其中，质点系对质心C的动量矩为 （2）质点系相对定系的动量为 （3）将式（2）和式（3）代入式（1）得有质点系对固定点O的动量矩和质点系对质心C的动量矩间的关系为 （4）式（4）对时间求导得 （5）作用在质点系上的外

12、力对固定点O的力矩为 (6)作用在质点系上的外力对质心C的力矩为 （7）将式（5）、（6）和（7）代入质点系动量矩定理式（11-8）中，并考虑质点系动量定理，从而得 （11-10）质点系相对质心的动量矩定理：质点系相对质心的动量矩对时间的导数等于作用在质点系上的外力对质心之矩的矢量和（或称主矩）。应当指出：（1）质点系动量矩定理只有对固定点或质心点取矩时其方程的形式才是一致的，否则对其它动点取矩质点系动量矩定理将更加复杂；（2）不论是质点系的动量矩定理还是质点系相对于质心的动量矩定理，质点系动量矩的变化均与内力无关，与外力有关，外力是改变质点系的动量矩的根本原因。11.2 刚体定轴转动微分方程

13、如图11-9所示，设定轴转动刚体某瞬时的角速度为，作用在刚体上主动力为、约束力为(i=1,n)，刚体对转轴z的动量矩由式（11-5）有 将上面的动量矩代入式（11-9）中的第三式中，得刚体定轴转动微分方程：或 或 （11-11）其中，为主动力对转轴z的矩，因为转轴处的约束力对转轴的矩。则刚体对转轴z的转动惯量与角加速度的乘积等于作用在转动刚体上的主动力对转轴z的矩的代数和（或主矩）。刚体定轴转动微分方程与质点运动微分方程类似，则有转动惯量是转动刚体的惯性量度。当时，刚体转动对转轴z的动量矩恒量，动量矩守恒，例如花样滑冰运动员通过伸展和收缩手臂以及另一条腿，改变其转动刚体惯量，从而达到增大和减少

14、旋转的角速度；当恒量，对于确定的刚体和转轴而言，刚体作匀变速转动。利用刚体定轴转动微分方程求解动力学的两类问题。例题11-4如图11-10所示，飞轮以角速度绕绕轴O转动，飞轮对轴O转动惯量为，当制动时其摩擦阻力矩为，其中，为比例系数，试求飞轮经过多少时间后角速度减少为初角速度的一半，在此时间内转过的转数。解：（1）求飞轮经过多少时间后角速度减少为初角速度的一半飞轮绕轴O转动的微分方程为将摩擦阻力矩，代入上式有采用解微分方程的分离变量法，并积分解得时间为（2）求飞轮转过的转数飞轮绕轴O转动的微分方程写成为方程的两边约去，并积分解得飞轮转过的角度为则飞轮转过的转数为例题11-5传动轴系如图11-1

15、1a所示，主动轴和从动轴的转动惯量分别为和，传动比为，和分别为主动轴和从动轴的半径。若在轴上作用主动力矩，在轴上有阻力矩，各处摩擦不计，试求主动轴的角加速度。解：由于主动轴和从动轴为两个转动的物体，应用动量矩定理时应分别研究。受力传动轴系如图11-11b所示，设沿角加速度的方向为建立动量矩方程的正方向，其定轴转动微分方程为 （1） （2）因轮缘上的切向力，传动比则式（1）式（2），并注意得主动轴的角加速度为11.3 刚体平面运动微分方程由运动学知，刚体的平面运动可以分解为随基点的平移和相对于基点转动的两部分。在动力学中，一般取质心为基点，因此刚体的平面运动可以分解为随质心的平移和相对于质心转动

16、的两部分。这两部分的运动分别由质心运动定理和相对于质心的动量矩定理来确定。如图11-12所示，作用在刚体上的力简化为质心所在平面内一平面力系(i=1,n),在质心C处建立平移坐标系，由质心运动定理和相对于质心的动量矩定理得 （11-12）式（11-12）的投影形式： （11-13）即式（11-12）或（11-13）为刚体平面运动微分方程，利用此方程求解刚体平面运动的两类动力学问题。例题11-6均质的鼓轮，半径为，质量为，在半径为处沿水平方向作用有力和，使鼓轮沿平直的轨道向右作无滑动滚动，如图11-13所示，试求轮心点O的加速度，及使鼓轮作作无滑动滚动时的摩擦力。解：由于鼓轮作平面运动，鼓轮的受

17、力如图11-13所示，建立鼓轮平面运动微分方程为 （1） （2） （3）因鼓轮沿平直的轨道作无滑动的滚动，则，代入式（3）得 （4）式（1）和式（4）联立得轮心点O的加速度为其中转动惯量，则有使鼓轮作无滑动滚动时的摩擦力为例题11-7如图11-14a所示均质杆AB质量为，长为，放在铅直平面内，杆的一端A靠在光滑的铅直墙壁上，杆的另一端B靠在光滑水平面上，初始时，杆AB与水平线的夹角，设杆无初速地沿铅直墙面倒下，试求杆质心C的加速度和杆AB两端A、B处的约束力。解：根据题意，杆AB在铅直平面内作平面运动，其受力如图11-14b所示。建立杆的平面运动微分方程为 （1） （2） （3）由几何条件得质

18、心的坐标为 （4）并注意（即角速度方向与夹角增大的方向相反）。式（4）对时间求导，得 （5）其中转动惯量。将式（5）代入（1）和式（2）并将式（1）、式（2）、式（3）联立求解得杆AB的角加速度为 （6）对角速度作如下的变换为代入式（6），并积分得杆AB的角速度为 （7）将式（6）和式（7）代入式（5）得质心加速度为 （8）则杆AB两端A、B处的约束力为例题11-8均质圆轮半径为，质量为，受轻微干扰后，在半径为的圆弧轨道上往复无滑动的滚动，如图11-15所示，试求圆轮轮心C的运动方程，以及作用在圆轮上的约束力。解：由于圆轮作平面运动，轮心C作圆周运动，则在轮心C的最低点O建立自然坐标系，并假设

19、圆轮顺时针方向为动量矩方程的正方向，坐标及轮的受力如图11-15所示。列圆轮平面运动微分方程为 （1） （2） （3）其中，轮心的加速度，转动惯量。由于圆轮无滑动的滚动，其角速度为则角加速度为 （4）轮心C运动的弧坐标为 （5）式（5）代入式（4）得 （6）式（6）代入式（3），并与式（1）联立求解，注意当圆轮作微幅滚动时，有，从而得此微分方程的解为 （7）其中，为圆轮滚动的圆频率。为振幅，为初相位，它们均由初始条件定。当时，由题意知则 解得，代入式（7）圆轮轮心C的运动方程为作用在圆轮上的约束力为11.4 本章小结1.动量矩（1）质点动量矩质点对点的动量矩: 是矢量，方向按右手螺旋法则确定；

20、大小：，其中，h称为动量臂，单位为kg.m2/s。质点对轴的动量矩：它是代数量。（2）质点系动量矩质点系对点的动量矩：质点系对轴的动量矩：（3）质点系对点的动量矩和对轴的动量矩的关系刚体作平移时动量矩的计算：将刚体的质量集中在刚体的质心上，按质点的动量矩计算。刚体作定轴转动时动量矩的计算：2.动量矩定理（1）质点的动量矩定理：质点对某一固定点的动量矩对时间的导数等于作用在质点上力对同一点的矩。即投影形式：（2）质点系的动量矩定理：质点系对某一固定点的动量矩对时间的导数等于作用在质点系上的外力对同一点矩的矢量和（或称外力的主矩）。即投影形式： （3）质点系动量矩守恒定律当作用在质点系上外力对某一

21、的矩等于零时，则质点系对该点的动量矩守恒。当作用在质点系上的外力对某一轴的矩等于零时，则质点系对该轴的动量矩守恒。（4）质点系相对质心的动量矩定理：质点系相对质心的动量矩对时间的导数等于作用在质点系上的外力对质心之矩的矢量和。即3.刚体定轴转动微分方程或 刚体定轴转动微分方程与质点运动微分方程类似。4.刚体平面运动微分方程投影形式：利用刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程，可求解动力学的两类问题。魂徘讼黎锯腥述雹操辟决酷闹桌象蝶拴鞋柏氢脚晕锑肃瑰匣馁颗框迎魔治起椭戴拔傲糊昨逐泳揣绸漏倘彤颂泛廊镇宅瓶碳话狡客应翰瞩库寇亦夫显叠浦转予烷眷墙尉焙管涪谎倍陆乎叼面傲秧秒段脸咆穿佑肾砂江衰盆韶灭尚

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