正态分布的数字特征.ppt

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1、第二节 正态分布的,数字特征,数学与信息技术系,回顾连续型随机变量的数学期望、方差,设X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x), X的数学期望可按下面的公式计算,X的方差可按,或利用简便公式,因为X ,从而 故,正态分布的期望,即E(X)=,分部 积分 公式.,正态分布的方差,可得,从而,由此可见，如果随机变量X服从正态分布，则它的概率密度完全由数学期望与标准差或者方差来决定。,所以，正态分布的参数 就是随机变量X的数学期望, 正态分布的另一参数 就是随机变量X的标准差,置换积分变量,正态分布的k阶中心矩,k 阶中心 矩的定义,所以当k为奇数时，因为被积函数是奇函数.,当k为偶数时，因为被

2、奇函数是偶函数,特别是，正态分布的四阶中心矩,P83,置换积分变量,例 设随机变量X服从N(0,1)，求随机变量函数Y=X2的数学期望和方差,解 本题可以用三种方法计算数学期望 E(Y),法1 用4.1节例2求得的Y的概率密度直接用定义，因为,所以,置换积分变量,这恰好是X的二阶中心矩(=0)，因此,可以直 接计算,法2 由随机变量函数的期望定义，我们有,E(X2) = D(X) +E(X)2,E(X) =0，D(X) =1,而,E(Y) =E(X2) = 1,所以,法1 由随机变量函数的期望定义可得,下面计算Y的方差，我们利用方差的简化公式,D(Y)=E(Y2)-E(Y)2,关键在于计算E(Y2)，下面用两种方法来计算它,置换积分变量,法2 由k阶中心矩，因为 所以,从而,所以,小结： 这一讲，我们介绍了正态分布的数学期望，方差和k阶中心矩。我们知道了：如果随机变量X服从正态分布，则它的概率密度完全有数学期望与标准差或者方差来决定。并且我们通过一个例题展示了求期望和方差的方法,