欧拉平衡微分方程.ppt

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1、2.2 欧拉平衡微分方程,讨论在平衡状态下,作用于液体上的表面力和质量力之间应满足的关系,建立表示液体平衡的微分方程。,2.2.1欧拉平衡微分方程,2.2.2重力下流体的压强分布规律,2.2.1 欧拉平衡微分方程,一、欧拉平衡微分方程的推导,二、欧拉平衡微分方程的综合形式,三、质量力的势函数、有势力、等压面,一、欧拉平衡微分方程的推导,如图2.5，在平衡液体中，取一微小六面体，为研究的方便，使其各边分别平行于坐标轴，边长分别为：dx, dy, dz,其形心点为M(x, y, z)，点M的压强为p(x, y, z),图2.5,一、欧拉平衡微分方程的推导,由于六面体各面的形心到点M的距离很小,压强

2、在M点附近的变化可用泰勒级数表示,且可忽略二阶以上的微量,于是：,图2.5,分析作用于六面体表面的力：,（为简化，只讨论X方向，Y，Z方向同理可得）,1.表面力：只有静水压力,一、欧拉平衡微分方程的推导,abdc面上的中心点M1（x-dx/2，y，z），其压强为：,abdc面上的中心点M2（x+dx/2，y，z），其压强为：,图2.5,M1,M2,一、欧拉平衡微分方程的推导,作用于abdc面上的静水总压力为：,作用于abdc面上的静水总压力为：,图2.5,一、欧拉平衡微分方程的推导,单位质量力在各坐标轴方向的分量为：X，Y，Z，六面体的质量为：,2.质量力F：,一、欧拉平衡微分方程的推导,根据

3、平衡条件Fx=0，则有：,除以dxdydz，得：,同理可得：,(2.2),(2.3),一、欧拉平衡微分方程的推导,欧拉平衡微分方程：表明，在静止液体中,静水压强沿某方向的变化率与该方向单位体积上的质量力相等。,(2.3),二、欧拉平衡微分方程的综合形式,将欧拉平衡微分方程分别乘以dx，dy，dz，后相加得：,（2.4）综合形式 （压强差公式）,三、质量力的势函数、有势力、等压面,（2.4）式左边是p(x, y, z)的全微分，右边括号内各项之和也应是某一函数的全微分，这个函数是U (x, y, z) ，称为质量力的势函数, 简称力势函数。,有力势函数存在的力场，叫势场。,（2.4）,三、质量力

4、的势函数、有势力、等压面,当力势函数存在时，有：,所以：,（2.5）,只有当质量力是有势力时，液体才处于平衡状态,三、质量力的势函数、有势力、等压面,（2.5）,（2.5）表明压强在空间的变化是由质量力引起的.,等压面：在同一种连续液体中，由压强相等的各点所组成的面。,在等压面上，压强p=常数(const)，于是：,U=常数(const)，所以等压面也是等势面,三、质量力的势函数、有势力、等压面,等压面的微分方程：,即：,（2.6）等压面的微分方程,dx，dy，dz是单位质量力的微小位移在各坐标轴方向的投影。（2.6）表明： 单位质量力所做的微功等于零.,由于质量力和位移都不为零，所以在静止液

5、体中质量力与等压面正交。,三、质量力的势函数、有势力、等压面,因此，在质量力只有重力时，等压面为一水平面。 常见的等压面： 1.液体的自由表面 2.不相混合的两种液体的交界面,图2.6,2.2.2 重力下流体的压强分布规律,一、重力下流体的压强分布规律推导,二、静水压强基本方程的意义,一、重力下流体的压强分布规律推导,静止的液体，所受的质量力只有重力，,则X=0，Y=0，Z=-g，,代入压强差公式：,取图2.7所示坐标系，,一、重力下流体的压强分布规律推导,对均质流体，=const，则：,即：,(2.8),上式表明，在重力作用下，不可压缩的静止液体中各点的 相等。,即对液体中的任两点：,（2.

6、9）静力学的基本方程,(2.7),一、重力下流体的压强分布规律推导,在自由表面上，,即：,若取h的方向与z相反，则：,（2.11）静水压强的基本方程,（2.10）,h自由液面以下的淹没深度 p0 液面压强,则,z=z0=0, p=p0，,一、重力下流体的压强分布规律推导,（2）液重压强h即从该点到液体自由表面的单位面积上的液柱重量。,式（2.11）静水压强的基本方程表明：,静止液体中的任一点的压强由两部分组成：,（1）表面压强 p0 （液面压强）等值传递到液体内各点（巴斯卡原理）。,一、重力下流体的压强分布规律推导,例2.1 一封闭水箱，如图2.8液面上压强p0 =120kN/m2,求h=0.

7、4m处A点的压强。,图2.8,二、静水压强基本方程的意义,水头和单位势能,式中：z位置高度（位置水头）是研究点相对于某一水平面（基准面）的高度,从能量的角度看， z是单位重量液体从某一基准面算起所具有的位置势能单位位能,下面从能量和几何的角度分析各项的意义,下面从能量和几何的角度分析各项的意义,：液柱高度（压强水头）研究点在自由液面以下的高度,从能量的角度看， 是单位重量液体所具有的压能单位压能,：测压管水头（测管水头）,从能量的角度看， 是单位重量液体所具有的势能单位势能,式中各符号的规定,表明：静止液体内各点单位重量液体所具有的势能相等。,z 点在基准面以上为正，以下为负,研究点在自由液面以下为“+”，以上为“-”,在基准面以上为正，以下为负,式中各符号的正负规定如下：,各符号的规定举例,图2.9,各符号的规定练习,做练习, P24, 2.2,