正弦定理余弦定理应用举例要点梳理解斜三角形的常ppt课件

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1、4.7 4.7 正弦定理、余弦定理运用举例正弦定理、余弦定理运用举例要点梳理要点梳理1.1.解斜三角形的常见类型及解法解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的在三角形的6 6个元素中要知三个除三个元素中要知三个除三角外角外 才干求解，常见类型及其解法如表所才干求解，常见类型及其解法如表所示示.已知条件已知条件应用定理应用定理 一般解法一般解法一边和两角一边和两角(如如a a,B B,C C)正弦定理正弦定理由由A A+B B+C C=180=180,求求角角A A；由正弦定理求；由正弦定理求出出b b与与c c.在有解时只有一解在有解时只有一解 根底知识根底知识 自主学习自主学习两边和夹角两边和

2、夹角(如如a a,b b,C C)余弦定理余弦定理正弦定理正弦定理 由余弦定理求第三边由余弦定理求第三边c c;由正弦定理求出小由正弦定理求出小边所对的角；再由边所对的角；再由A A+B B+C C=180=180求出另一角求出另一角.在有解时只有一解在有解时只有一解 三边三边 (a a,b b,c c)余弦定理余弦定理 由余弦定理求出角由余弦定理求出角A A、B B；再利用；再利用A A+B B+C C=180=180,求出角求出角C C.在有解时只有一解在有解时只有一解 两边和其中两边和其中一边的对角一边的对角（如（如a a,b b,A A)正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理 由正弦定理求出

3、角由正弦定理求出角B B；由由A A+B B+C C=180=180，求出，求出角角C C；再利用正弦定理；再利用正弦定理或余弦定理求或余弦定理求c c.可有两解，一解或无解可有两解，一解或无解 2.2.用正弦定理和余弦定了解三角形的常见题型用正弦定理和余弦定了解三角形的常见题型 丈量间隔问题、高度问题、角度问题、计算面丈量间隔问题、高度问题、角度问题、计算面 积问题、航海问题、物理问题等积问题、航海问题、物理问题等.3.3.实践问题中的常用角实践问题中的常用角 1 1仰角和俯角仰角和俯角 与目的线在同一铅垂平面内的程度视野和目的与目的线在同一铅垂平面内的程度视野和目的 视野的夹角视野的夹角,

4、目的视野在程度视野目的视野在程度视野 叫仰角叫仰角,目的视野在程度视野目的视野在程度视野 叫俯角如图叫俯角如图.上方上方下方下方(2)(2)方位角方位角指从指从 方向顺时针转到目的方向线的程度角，方向顺时针转到目的方向线的程度角，如如B B点的方位角为点的方位角为如图如图.3 3坡度：坡面与程度面所成的二面角的度数坡度：坡面与程度面所成的二面角的度数.正北正北根底自测根底自测1.1.在某次丈量中，在在某次丈量中，在A A处测得同一半平面方向的处测得同一半平面方向的B B 点的仰角是点的仰角是6060,C,C点的俯角是点的俯角是7070，那么，那么BACBAC 等于等于 A.10 A.10 B.

5、50 B.50 C.120 C.120 D.130D.130 解析解析 由知由知BAD=60BAD=60,CAD=70,CAD=70,BAC=60 BAC=60+70+70=130=130.D2.2.两座灯塔两座灯塔A A和和B B与海岸察看站与海岸察看站C C的间隔相等的间隔相等,灯塔灯塔 A A在察看站北偏东在察看站北偏东4040,灯塔灯塔B B在察看站南偏在察看站南偏 东东6060，那么灯塔，那么灯塔A A在灯塔在灯塔B B的的 A.A.北偏东北偏东1010 B.B.北偏西北偏西1010 C.C.南偏东南偏东1010 D.D.南偏西南偏西1010 解析解析 灯塔灯塔A A、B B的相对位

6、置如下图，的相对位置如下图，由知得由知得ACB=80ACB=80，CAB=CBA=50 CAB=CBA=50，那么那么=60=60-50-50=10=10.B3.3.在在ABCABC中，中，AB=3AB=3，BC=BC=，AC=4AC=4，那么边，那么边ACAC 上的高为上的高为 A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 由余弦定理可得：由余弦定理可得：132233232333.323233sin,23sin.21432)13(342cos222222AABhACAABACBCABACA边上的高则B4.4.ABCABC中中,假设假设A=60A=60,b=16,b=16,此三角形面积此三角形面积

7、 那么那么a a的值为的值为 A.20 B.25 C.55 D.49 A.20 B.25 C.55 D.49 解析解析 由由S=bcsin A=220 ,S=bcsin A=220 ,得得c=55.c=55.由余弦定理得由余弦定理得 a2=162+552-2 a2=162+552-216165555cos 60cos 60=2 401,=2 401,a=49.a=49.,3220S213D65.(20215.(2021湖南文湖南文,14),14)在锐角在锐角ABCABC中中,BC=1,B=2A,BC=1,B=2A,那么那么 的值等于的值等于 ,AC ,AC的取值范围为的取值范围为 .解析解析A

8、ACcos,sinsin:BACABC由正弦定理.32,cos2,23cos22,46,230,220,20,3,3,.22cos,cossin22sinsinACAACAAAAAACCACBABCAACAAACAACABC又2 2)3,2(题型一题型一 与间隔有关的问题与间隔有关的问题 要丈量对岸要丈量对岸A A、B B两点之间的间隔，选取两点之间的间隔，选取 相距相距 km km的的C C、D D两点两点,并测得并测得ACB=75ACB=75,BCD=45 BCD=45,ADC=30,ADC=30,ADB=45,ADB=45,求求 A A、B B之间的间隔之间的间隔.分析题意，作出草图，综

9、合运用正、分析题意，作出草图，综合运用正、余弦定理求解余弦定理求解.3题型分类题型分类 深度分析深度分析解解 如下图在如下图在ACDACD中，中，ACD=120ACD=120，CAD=ADC=30CAD=ADC=30，AC=CD=km.AC=CD=km.在在BCDBCD中，中，BCD=45BCD=45，BDC=75BDC=75，CBD=60CBD=60.在在ABCABC中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得.22660sin75sin3BC.km5(km).5,5332375cos22632)226()3(222之间的距离为A、ABAB3B 求间隔问题要留意：求间隔问题要留意：1 1选定或确定要

10、创建的三角形，要首先确定所选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，假设其他量知那么直接解；假求量所在的三角形，假设其他量知那么直接解；假设设有未知量，那么把未知量放在另一确定三角形中求有未知量，那么把未知量放在另一确定三角形中求解解.2 2确定用正弦定理还是余弦定理，假设都可确定用正弦定理还是余弦定理，假设都可用，就选择更便于计算的定理用，就选择更便于计算的定理.知能迁移知能迁移1 120212021海南海南,宁夏理，宁夏理，17 17为了丈量两山顶为了丈量两山顶M M、N N间的间的 间隔，飞机沿程度方向在间隔，飞机沿程度方向在A A、B B 两点进展丈量，两点进展丈量，A

11、A、B B、M M、N N在同一个铅垂平面在同一个铅垂平面 内如表示图内如表示图.飞机可以丈量的数据有俯角和飞机可以丈量的数据有俯角和 A A、B B间的间隔，请设计一个方案，包括：指间的间隔，请设计一个方案，包括：指 出需求丈量的数据出需求丈量的数据(用字母表示用字母表示,并在图中标并在图中标 出出)；用文字和公式写出计算；用文字和公式写出计算M M、N N间的间隔间的间隔 的步骤的步骤.解解 方案一：需求丈量的数据有：方案一：需求丈量的数据有：A A点到点到M M、N N点的俯角点的俯角11、11；B B点到点到M M、N N点的俯角点的俯角22、22；A A、B B的间隔的间隔d(d(如

12、下图如下图).).第一步：计算第一步：计算AM.AM.由正弦定理由正弦定理第二步：计算第二步：计算AN.AN.由正弦定理由正弦定理第三步：计算第三步：计算MN.MN.由余弦定理由余弦定理;)sin(sin212dAM;)sin(sin122dAN)cos(21122ANAMANAMMN方案二：需求丈量的数据有：方案二：需求丈量的数据有：A A点到点到M M、N N点的点的俯角俯角11、11；B B点到点到M M、N N点的俯角点的俯角22、2;2;A A、B B的间隔的间隔d d如下图如下图.第一步：计算第一步：计算BM.BM.由正弦定理由正弦定理第二步：计算第二步：计算BN.BN.由正弦定理

13、由正弦定理第三步：计算第三步：计算MN.MN.由余弦定理由余弦定理;)sin(sin211dBM;)sin(sin121dBN.)cos(22222BNBMBNBMMN题型二题型二 与高度有关的问题与高度有关的问题 某人在塔的正东沿着南偏西某人在塔的正东沿着南偏西6060的方向的方向 前进前进4040米后，望见塔在东北方向，假设沿途测得米后，望见塔在东北方向，假设沿途测得 塔顶的最大仰角为塔顶的最大仰角为3030，求塔高，求塔高.依题意画图，某人在依题意画图，某人在C C 处处,AB,AB为塔高为塔高,他沿他沿CDCD前进，前进，CD=CD=40 40米，此时米，此时DBF=45DBF=45,

14、从从C C到到D D 沿途测塔的仰角，只需沿途测塔的仰角，只需B B到测试点到测试点 的间隔最短时，仰角才最大，这是由于的间隔最短时，仰角才最大，这是由于tanAEBtanAEB =AB =AB为定值，为定值，BEBE最小时，仰角最大最小时，仰角最大.要求出要求出 塔高塔高AB,AB,必需先求必需先求BEBE，而要求，而要求BEBE，需先求，需先求BDBD 或或BCBC.,BEAB解解 如下图，某人在如下图，某人在C C处，处，ABAB为塔高，他沿为塔高，他沿CDCD前进，前进，CD=40CD=40，此时，此时DBF=45DBF=45，过点，过点B B作作BEBECDCD于于E E，那么，那么

15、AEB=30AEB=30，在在BCDBCD中中,CD=40,BCD=30,CD=40,BCD=30,DBC=,DBC=,BDE=180BDE=180-30-30=15=15.在在RtRtBEDBED中，中，BE=DBsin 15BE=DBsin 15在在RtRtABEABE中，中，AEB=30AEB=30，AB=BEtan 30AB=BEtan 30=故所求的塔高为故所求的塔高为,sinsin,BCDBDDBCCD得由正弦定理.220135sin30sin40BD).13(10426220).)(33(310米.)33(310米 解斜三角形运用题的普通步骤是：解斜三角形运用题的普通步骤是：1

16、1准确了解题意，分清知与所求；准确了解题意，分清知与所求；2 2依题意画出表示图；依题意画出表示图；3 3分析与问题有关的三角形；分析与问题有关的三角形；4 4运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形,逐渐求解问题的答案；逐渐求解问题的答案；5 5留意方程思想的运用；留意方程思想的运用；6 6要综合运用立体几何知识与平面几何知识要综合运用立体几何知识与平面几何知识.知能迁移知能迁移2 2 如下图，丈量河对岸的如下图，丈量河对岸的 塔高塔高ABAB时，可以选与塔底时，可以选与塔底B B在同一水在同一水 平面内的两个测点平面内的两个测点C C与与D D，现测得，

17、现测得 BCD=BCD=，BDC=BDC=，CD=sCD=s，并，并 在点在点C C测得塔顶测得塔顶A A的仰角为的仰角为，求塔高，求塔高AB.AB.解解 在在BCDBCD中，中，CBD=-CBD=-.)sin(sintantan,Rt)sin(sinsinsin,sinsinsACBBCABABCsCBDBDCCDBCCBDCDBDCBC中在所以由正弦定理得题型三题型三 正、余弦定理在平面几何中的综合运用正、余弦定理在平面几何中的综合运用 (12 (12分分)如下图如下图,在梯形在梯形 ABCD ABCD中，中，ADBC ADBC，AB=5AB=5，AC=9 AC=9，BCA=30BCA=3

18、0,ADB=45,ADB=45，求求BDBD的长的长.由于由于AB=5AB=5，ADB=45ADB=45，因此要，因此要 求求BDBD，可在，可在ABDABD中，由正弦定理求解中，由正弦定理求解,关键关键 是确定是确定BADBAD的正弦值的正弦值.在在ABCABC中中,AB=5,AB=5,AC=9 AC=9，ACB=30ACB=30,因此可用正弦定理求因此可用正弦定理求 出出sinABC,sinABC,再根据再根据ABCABC与与BADBAD互补确定互补确定 sinBAD sinBAD即可即可.解解 在在ABCABC中，中，AB=5AB=5，AC=9AC=9，BCA=30BCA=30.ADBC

19、ADBC，BAD=180BAD=180-ABC,-ABC,于是于是sinBAD=sinABC=.8sinBAD=sinABC=.8分分同理，在同理，在ABDABD中，中，AB=5AB=5，sinBAD=sinBAD=，ADB=45ADB=45，解得解得BD=.BD=.故故BDBD的长为的长为 .要利用正、余弦定理处理问题要利用正、余弦定理处理问题,需将需将 多边形分割成假设干个三角形多边形分割成假设干个三角形.在分割时，要留意在分割时，要留意 有利于运用正、余弦定理有利于运用正、余弦定理.109530sin9sinsin,sinsin,ABBCAACABCABCACBCAAB得由正弦定理109

20、6 6分分 1092292291212分分.sinsin:BADBDBDAAB由正弦定理知能迁移知能迁移3 3 如下图，知半圆的直径如下图，知半圆的直径AB=2AB=2，点点C C在在ABAB的延伸线上，的延伸线上，BC=1BC=1，点，点P P为半圆上的为半圆上的 一个动点，以一个动点，以DCDC为边作等边为边作等边PCDPCD，且点，且点D D与与 圆心圆心O O分别在分别在PCPC的两侧，求四边形的两侧，求四边形OPDCOPDC面积的面积的 最大值最大值.解解 设设POB=POB=，四边形面积为，四边形面积为y y，那么在那么在POCPOC中，由余弦定理得中，由余弦定理得PC2=OP2+

21、OC2-2OPOCcos=5-4cos.PC2=OP2+OC2-2OPOCcos=5-4cos.4352.4352,65,23.435)3sin(2)cos45(43sin2121max面积的最大值为所以四边形时即当OPDCySSyPCDOPC方法与技巧方法与技巧1.1.合理运用仰角、俯角、方位角、方向角等概念合理运用仰角、俯角、方位角、方向角等概念 建立三角函数模型建立三角函数模型.2.2.把生活中的问题化为二维空间处理，即在一个把生活中的问题化为二维空间处理，即在一个 平面上利用三角函数求值平面上利用三角函数求值.3.3.合理运用换元法、代入法处理实践问题合理运用换元法、代入法处理实践问题

22、.思想方法思想方法 感悟提高感悟提高失误与防备失误与防备在解实践问题时，应正确了解如下角的含义在解实践问题时，应正确了解如下角的含义.1.1.方向角方向角从指定方向线到目的方向线的程度从指定方向线到目的方向线的程度角角.2.2.方位角方位角从正北方向线顺时针到目的方向线从正北方向线顺时针到目的方向线 的程度角的程度角.3.3.坡度坡度坡面与程度面的二面角的度数坡面与程度面的二面角的度数.4.4.仰角与俯角仰角与俯角与目的视野在同一铅直平面内与目的视野在同一铅直平面内 的程度视野和目的视野的夹角，目的视野在水的程度视野和目的视野的夹角，目的视野在水 平视野上方时称为仰角，目的视野在程度视野平视野

23、上方时称为仰角，目的视野在程度视野 下方时称为俯角下方时称为俯角.一、选择题一、选择题1.1.在在200 m200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分 别是别是3030，6060,那么塔高为那么塔高为 解析解析 作出表示图如图，作出表示图如图，由知：在由知：在RtRtOACOAC中，中，OA=200 OA=200，OAC=30OAC=30，那么那么OC=OAtanOACOC=OAtanOAC =200tan 30 =200tan 30=在在RtRtABDABD中，中，AD=AD=，BAD=30BAD=30，那么那么BD=ADtanBAD=BD=A

24、DtanBAD=m3200.Dm33200.Cm33400.Bm3400.A.332003320033200,320030tan.34003200200BDCDBCA定时检测定时检测2.2.一船向正北航行，看见正西方向有相距一船向正北航行，看见正西方向有相距1010海里的两海里的两 个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时 后，看见一灯塔在船的南偏西后，看见一灯塔在船的南偏西6060，另一灯塔在船，另一灯塔在船 的南偏西的南偏西7575，那么这艘船的速度是每小时，那么这艘船的速度是每小时 A.5 A.5海里海里 B.5 B.5 海里海里 C.10 C

25、.10海里海里 D.10 D.10 海里海里 解析解析 如下图，依题意有如下图，依题意有BAC=60BAC=60，BAD=75 BAD=75，所以所以CAD=CDA=15CAD=CDA=15，从而从而CD=CA=10CD=CA=10，在在RtRtABCABC中，得中，得AB=5AB=5，于是这艘船的速度是于是这艘船的速度是 海里海里/小时小时.105.05C333.3.如下图，知两座灯塔如下图，知两座灯塔A A和和B B与海洋与海洋 察看站察看站C C的间隔都等于的间隔都等于a km,a km,灯塔灯塔A A在在 察看站察看站C C的北偏东的北偏东2020，灯塔，灯塔B B 在察看在察看 站站

26、C C的南偏东的南偏东4040，那么灯塔，那么灯塔A A与灯塔与灯塔B B 的间隔为的间隔为 A.a km B.a km A.a km B.a km C.a km D.2a km C.a km D.2a km 解析解析 利用余弦定了解利用余弦定了解ABC.ABC.易知易知ACB=120ACB=120,在在ABCABC中，由余弦定理得中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACAB2=AC2+BC2-2AC BCcos 120 BCcos 120=2a2-2a2=2a2-2a232.3,3)21(2aABaB4.4.一船自西向东匀速航行，上午一船自西向东匀速航行，上午1010时到达一座灯塔时到

27、达一座灯塔 P P的南偏西的南偏西7575距塔距塔6868海里的海里的M M处处,下午下午2 2时到达这时到达这 座灯塔的东南方向的座灯塔的东南方向的N N处，那么这只船的航行速度处，那么这只船的航行速度为为 A.A.海里海里/小时小时 B.B.海里海里/小时小时 C.C.海里海里/小时小时 D.D.海里海里/小时小时26176342217234解析解析 如下图，在如下图，在PMNPMN中，中，,120sin45sinMNPM)./(26174,6342368小时海里MNvMN答案答案 A5.5.如图，一货轮航行到如图，一货轮航行到M M处处,测得灯塔测得灯塔S S 在货轮的北偏东在货轮的北偏

28、东1515,与灯塔与灯塔S S相距相距2020 海里海里,随后货轮按北偏西随后货轮按北偏西3030的方向的方向 航行航行3030分钟后分钟后,又测得灯塔在货轮的东北方向又测得灯塔在货轮的东北方向,那那么么 货轮的速度为货轮的速度为 A.20 A.20 海里海里/小时小时 B.20 B.20 海里海里/小时小时 C.20 C.20 海里海里/小时小时 D.20 D.20 海里海里/小时小时)62()26()36()36(解析解析 由题意知由题意知SM=20,SNM=105SM=20,SNM=105,NMS=45NMS=45,答案答案 B B./)26(2021)26(10).26(10105si

29、n10.105sin2030sin,30小时海里货轮航行的速度vMNMNMSN6.6.线段线段ABAB外有一点外有一点C,ABC=60C,ABC=60,AB=200 km,AB=200 km,汽车以汽车以 80 km/h 80 km/h的速度由的速度由A A向向B B行驶，同时摩托车以行驶，同时摩托车以50 km/h50 km/h的的 速度由速度由B B向向C C行驶行驶,那么运动开场那么运动开场 h h后，两车的间隔后，两车的间隔最最 小小.A.B.1 C.D.2 A.B.1 C.D.2 43694370 解析解析 如下图，设如下图，设t ht h后后,汽汽 车由车由A A行驶到行驶到D D

30、，摩托车由，摩托车由B B行行 驶到驶到E E，那么，那么AD=80tAD=80t，BE=50t.BE=50t.由于由于AB=200AB=200，所以，所以BD=200-80tBD=200-80t，问题就是求问题就是求DEDE最小时最小时t t的值的值.由余弦定理：由余弦定理：DE2=BD2+BE2-2BDBEcos 60DE2=BD2+BE2-2BDBEcos 60 =(200-80t)2+2 500t2-(200-80t)50t =(200-80t)2+2 500t2-(200-80t)50t =12 900t2-42 000t+40 000.=12 900t2-42 000t+40 00

31、0.,4370最小时当DEt 答案答案 C C7.7.在在ABCABC中中,BC=1,B=,BC=1,B=，当，当ABCABC的面积等于的面积等于 时，时，tan C=.tan C=.解析解析 S SABC=acsin B=,c=4.ABC=acsin B=,c=4.由余弦定理：由余弦定理：b2=a2+c2-2accos B=13,b2=a2+c2-2accos B=13,3213.3212tan,1312sin,1312cos222CCabcbaC323二、填空题二、填空题8.8.在在ABCABC中中,AC=,AC=，BC=2BC=2，B=60B=60,那么那么A A的大的大 小是小是 ，A

32、B=.AB=.解析解析6.22sin,60sin6sin2AA由正弦定理.13,45sin275sin.75.45.,62ABABCAAACBC为锐角4545 139.9.甲船在甲船在A A处察看乙船处察看乙船,乙船在它的北偏东乙船在它的北偏东6060的方向的方向,两船两船 相距相距a a海里海里,乙船正向北行驶乙船正向北行驶,假设甲船是乙船速度的假设甲船是乙船速度的 倍，那么甲船应取方向倍，那么甲船应取方向 才干追上乙船；追上时才干追上乙船；追上时甲甲 船行驶了船行驶了 海里海里.解析解析 如下图，设到如下图，设到C C点甲船追上乙船，点甲船追上乙船，乙到乙到C C地用的时间为地用的时间为t

33、 t，乙船的速度为，乙船的速度为v,v,那么那么BC=tvBC=tv，AC=tvAC=tv，B=120B=120，BC=AB=a BC=AB=a，AC2=AB2+BC2-2ABBCcos 120 AC2=AB2+BC2-2ABBCcos 1203,30,30,21sin,120sin3sin1,sinsinACBCABCABCABBACCABBC由正弦定理知.3,3)21(22222aACaaaa北偏东北偏东3030 a33三、解答题三、解答题10.10.如下图如下图,扇形扇形AOB,AOB,圆心角圆心角AOBAOB等等 于于6060,半径为半径为2,2,在弧在弧ABAB上有一动上有一动 点点

34、P P，过，过P P引平行于引平行于OBOB的直线和的直线和OAOA交交 于点于点C C，设，设AOP=AOP=，求，求POCPOC 面积的最大值及此时面积的最大值及此时的值的值.解解 CPOB CPOB，CPO=POB=60CPO=POB=60-，OCP=120 OCP=120.在在POCPOC中，由正弦定理得中，由正弦定理得,sinsinCPPCOOP).60sin(34,120sin2)60sin(.sin34,sin120sin2OCOCCPCP又.33)(,633)62sin(332332cos332sinsin32cossin2)sin21cos23(sin34)60sin(sin

35、3423)60sin(34sin3421120sin21)(2取得最大值为时的面积为因此SOCCPSPOC11.11.在在ABCABC中，知中，知 (1)sin2 cos(B+C)(1)sin2 cos(B+C)的值的值;(2)(2)假设假设ABCABC的面积为的面积为4,AB=2,4,AB=2,求求BCBC的长的长.解解.53cosA2AAACBAcos2cos1)cos(2sin)1(2.54532531.17.175325225cos2.5,2.10,4sin21,4.54sin,53cos,)2(222222BCAbccbaBCbABcbcAbcSAAABCABC得得由中在12.12.

36、在海岸在海岸A A处处,发现北偏东发现北偏东4545方向方向,间隔间隔A(-1)A(-1)n mile n mile的的B B处有一艘走私船，在处有一艘走私船，在A A处北偏西处北偏西7575的的 方向方向,间隔间隔A 2 n mileA 2 n mile的的C C处的缉私船奉命以处的缉私船奉命以1010 n mile/h n mile/h的速度追截走私船的速度追截走私船.此时，走私船正以此时，走私船正以 10 n mile/h 10 n mile/h的速度从的速度从B B处向北偏东处向北偏东3030方向逃窜方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解解

37、 如下图，留意到最快追上走如下图，留意到最快追上走 私船且两船所用时间相等，假设在私船且两船所用时间相等，假设在D D 处相遇，那么可先在处相遇，那么可先在ABCABC中求出中求出BCBC，再在再在BCDBCD中求中求BCD.BCD.设缉私船用设缉私船用t ht h在在D D处追上走私船，处追上走私船，33那么有那么有CD=10 tCD=10 t，BD=10t.BD=10t.在在ABCABC中，中，AB=-1AB=-1，AC=2AC=2，BAC=120BAC=120,由余弦定理，由余弦定理，得得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBACBC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=-1 -12+22-22+22-2 -1 -12 2cos 120cos 120=6,=6,BC=BC=，CBD=90CBD=90+30+30=120=120，在在BCDBCD中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得BCD=30BCD=30.即缉私船北偏东即缉私船北偏东6060方向能最快追上方向能最快追上走私船走私船.3336,21310120sin10sinsinttCDCBDBDBCD3