第九章微扰论习题

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1、一 选择题114.非简并定态微扰理论中第个能级的表达式是(考虑二级近似)B A. B. . C. D.115. 非简并定态微扰理论中第个能级的一级修正项为B A. B. C. D.116. 非简并定态微扰理论中第个能级的二级修正项为B A. B. . C. . D. .117. 非简并定态微扰理论中第个波函数一级修正项为B A. B. . C. . D. .118.沿方向加一均匀外电场,带电为且质量为的线性谐振子的哈密顿为B A. B. . C. D.119.非简并定态微扰理论的适用条件是A A. B. . C. . D. .120.转动惯量为I，电偶极矩为的空间转子处于均匀电场中,则该体系的

2、哈密顿为A A. B. . C. . D. .121.非简并定态微扰理论中,波函数的一级近似公式为B A. B. C. D.122.氢原子的一级斯塔克效应中,对于的能级由原来的一个能级分裂为BA. 五个子能级. B. 四个子能级. C. 三个子能级. D. 两个子能级.123.一体系在微扰作用下,由初态跃迁到终态的几率为A A. B. . C. D. .124.用变分法求量子体系的基态能量的关键是BA. 写出体系的哈密顿. B选取合理的尝试波函数.C 计算体系的哈密顿的平均值. D体系哈密顿的平均值对变分参数求变分.二 填空题1. 可精确求解的体系叫做 ，待求解的体系叫做 未微扰体系 微扰体系

3、2.假定H可以划分为两部分，为H的基本部分并且其定态问题可精确求解，称为 参考系3.将系统H的态相对于未受扰动的参考系态（设定它们是完备的）作展开为 4.在一阶微扰论近似下，能量的修正量为在未受扰动态中的 平均值5. .在一阶微扰论近似下，在扰动后的态中，别的态也将混入，混入的概率幅正比于扰动算符在和态之间的 ，反比于两态之间的 矩阵元 能量差6.如果未受扰动系统包括连续谱，那么态的表达式应该扩充为 7.一阶微扰论中有一个常用的公式，它是计算算符矩阵元的公式，其表达式为 8.氢原子精细结构修正主要来自 相对论效应9.电子并非经典质点，在相对论效应下，其位置在 波长的范围内随机振颤。 康普顿10

4、. 超精细结构修正主要来源于和原子核有关的修正： 、 、 。原子核有限体积修正 原子核自旋磁矩 电四极矩对原子能级的修正11.超精细光谱结构相应的微扰修正可表达为 12.两个氢原子是一种由 和 综合抵消后剩余的库伦作用。 两个核电荷 两朵电子云13.设两个核子处在介子场中，分别位于，它们向对方发射并吸收由对方发射的介子，通过这种介子的交换，彼此产生相互作用，这种相互作用可以写为 14.Yukawa势为 15.粒子之间因交换某种 而产生相互作用。 虚粒子16.完全自由变分的结果，由变分方法所得极值解必是H的 本征值17.变分法实际计算中采用的是在试探波函数集合的限制下的 ，由此所求得的满足的变分

5、极小值，一般将是局域极小值，不一定就是系统的基态能量。 相对自由变分18.变分法一般给出的是基态能量的 上限19.三 问答题1. 请写出微扰理论适用条件的表达式。答：， 2. 试简述微扰论的基本思想。答：复杂的体系的哈密顿量 分成 与 两部分。 是可求出精确解的，而 可看成对 的微扰。只需将精确解加上由微扰引起的各级修正量，逐级迭代，逐级逼近，就可得到接近问题真实的近似解。3. 述费米子的自旋值及其全同粒子体系波函数的特点，这种粒子所遵循的统计规律是什么？答：由电子、质子、中子这些自旋为的粒子以及自旋为的奇数倍的粒子组成的全同粒子体系的波函数是反对称的，这类粒子服从费米 (Fermi) 狄拉克

6、(Dirac) 统计，称为费米子。4.微扰论方法的要旨是什么？答：微扰论方法的要旨是，从一般难以精确求解的Hamilton量H中，划分出其中数值较小而又妨碍对H精确求解的部分，即有。划分出后剩下的应能精确求解。然后，以的本征态和本征值为基础和出发点，以逐阶近似的方法考虑的影响，给出H的本征态和本征值的逐阶近似解。5.写出一阶微扰论的公式。答： 6.简述微扰论使用的条件。答：，也就是说，微扰算符在掺入态和被扰态之间的矩阵元的数值应当元小于这两个态的能级间距。7.写出二阶近似的微扰论公式。答： 8.超精细结构修正主要来源于什么？答：超精细结构修正主要来源于和原子核有关的修正：原子核有限体积修正；原

7、子核自旋磁矩和电四极矩对原子能级的修正。9.简述van der Waals力？答：两个中性的原子（或分子），当它们之间距离它们本身波包尺度时，它们之间表现出一种长程的相互吸引力，并与成反比，这就是van der Waals力。10.简述核力的介子场论。答：原子核中聚集了许多核子（中子和质子的总称），特别是聚集着彼此以库伦力相排斥的质子而不散开，是由于存在吸引力核力的缘故。这个力的起源是核子之间时时刻刻在相互交换（发射和吸收）着一种（虚）粒子（虚的）介子，这就是核力的介子场论。11.简述简并态微扰论的核心思想。答;将系统所有状态区分为简并态子空间内部和外部两个部分；与此相应，矩阵元则区分为为三内

8、：属于简并态子空间内部的，简并态子空间内和外的，简并态子空间外部的。然后在近似时分别对待。12.简述变分极小值定理。答：在约束条件下，由泛函数 达极值得变分问题，可以导出Schrodinger方程。13.简述变分法的优点？答：它无需假定所研究的势能是个微扰;如果调解参数很少，数值计算很容易，甚至解析计算也可能。14.简述变分法的缺点？答:它主要用于基态，若用于激发态则难于正确圈定试探解得范围；方法通常只能给出本征值的上限，而且实践中难于估算误差;调节参数多时，寻找极小值和求解得计算工作量迅速增大。15.什么是Stark 效应？答：氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象称为 Stark 效应。16

9、. 应用变分法求解时如何选取试探波函数？答：（1）根据体系的哈密顿的形式和对称性推测合理的试探函数。（2）试探波函数要满足问题的边界条件。（3）为了有选择的灵活性，试探波函数应包含一个或多个待调整的参数，这些参数称为变分函数。（4）当，而的本征函数有解析解，则该解析解可作为试探波函数。17.四 证明题五计算题1. 设非简谐振子的Hamilton量表为（为实常数）用微扰论求其能量本征值（准到二级近似）和本征函数（准到一级近似）。解：已知，计算一级微扰：。（也可由（奇）直接得出）计算二级微扰，只有下列四个矩阵元不为：计算：又， 2. 考虑耦合振子， （为实常数，刻画耦合强度）（a）求出的本征值及能

10、级简并度。（b）以第一激发态为例，用简并微扰论计算对能级的影响（一级近似）。（c）严格求解的本征值，并与微扰论计算结果比较，进行讨论。提示：作坐标变换，令，则可化为两个独立的谐振子，称为简正坐标。解：（a）的本征函数和本征值可分别表为 （1） ， （2）令 （3）则能量表示式可改为 ， （4）由式（3）可以看出，对于情况。能级是简并的，简并度为。（b）为第一激态（基态），能级为二重简并，能量本征值为 相应的本征函数为与（或考虑它们的线形迭加），分别记为和。利用不难得出： （实） （5）代入方程 得 解之，得 因此，原来二重简并的能级变成两条，能量分别为 （6）能级简并被解除，类似还可求出其他能

11、级的分裂，如图所示。（c）严格求解如下：令 ， （7）其逆变换为 ， （7）易证： （8）因此，S.eq: （9）变为 （10）令 ，即 （11）于是方程（10）变为 （12）是二彼此独立的谐振子，所以可以取， （13）相应的能量为 （13）当时，由（11）式，得此时 （14）（第一激发态）的情况下，可有与两种情况（二简并态），相应的能量分别为 ，能级分裂 与微扰论计算结果一致。3. 一维无限深势阱中的粒子，受到微扰作用求基态能量的一级修正。解：一维无限深势阱的能量本征值及本征函数为，基态 ， ，基态能量的一级修正为 作变换，；，。代入上式完成积分，。4. 实际原子核不是一个点电荷，它具有一定

12、大小，可近似视为半径为的均匀分球体它产生的电势为 为核电荷，试把非点电荷效应看成微扰，计算原子的能级的一级微扰修正。解：.类氢离子中轨迹电子波函数为为波尔半径，能级的微扰论一级修正为由于核半径远小于原子半径，积分时可取从而求出 其中 为类氢离子的基态能级。5. 设氢原子处能级，求它的Stark分裂。提示：参阅10.2节中例1。注意能级简并度为9，考虑到微扰相应的选择定则，此9维空间可以分解为若干个不变子空间。解：加电场前，能级共对应有9个状态。零级波函数形式为 （1）的9个态分别记为：；，；（2）视外电场为微扰，微扰作用势 （3） （4）将写成 ，。 （5）由于，所以作用于的结果，磁量子数不变

13、。又因为 （6） （6）作用于，量子数将改变。因此在计算微扰矩阵元中，只有，不为零。先算径向积分：，再求出： ， 。再代入方程 ，得即 。（由，解得）（由 ，解得）结果，的能级分裂成五条：，6. 设，（为实数）用微扰论求解能级修正（准到二级近似），并与严格解（把矩阵对角化）比较。解：（1）由表达式可见，微扰哈密顿的矩阵元为 ，代入能量的微扰论二级近似公式得 ，（2）直接求能量。设的本征矢为，对应的本征值为，则本征方程为即 有非零解的条件为即 这是关于的二次方程，其解为以上的近似符合定态微扰论的要求，即微扰矩阵元小于能级差。上式分开号再写一步，得能级的二级近似， 这与（1）中用微扰论公式求得的结

14、果完全一致。7. 对于一维谐振子，取基态试探波函数形式为，为参数，用变分法求基态能量，并与严格解比较。解：设基态波函数 ，归一化，得，取 ， 。 （1）由 ， 得 考虑在处要求有限的条件，取 （2）代入式（1），得谐振子（一维）基态能量与严格解求得的结果完全一致。8. 对于非谐振子，取试探波函数为（与谐振子基态波函数形式相同），为参数，用变分法求基态能量。解： （1） （2） （3）由 ，得 ，解得 （4）代入（3），得基态能量 （5）9. 设在氘核中的质子与中子的相互作用表成，（）。设质子与中子相对运动波函取为，为变分参数，用变分法计算氘核得基态能量。解：取 ， （1）归一化，得 （2）（而

15、Hamilton量为 ）因此 （3）其中为质子中子体系的约化质量，即由极值条件，求得最佳值满足的方程： （4）给定了上式右端各参数值之后，可用数值法求出的最佳值，相应的最小值可以表成 （5）式（4）中，由式（4）求得最佳值为 （6）代入（5）式，即得 （7）氘核基态能级的实验值为，二者相差约% 。式（1）作为基态波函数的近似表达式，虽不十分准确，但简明易算。例如，由式（1）易得基态最可几半径为 （8）和公认的数值基本一致。最可几半径由径向几率密度的极值条件决定，即满足 （9）由式（1）还可求出基态平均半径为 （10）10. 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为、电荷均匀分布的小球，计算这种效

16、应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对的区域有影响，对的区域无影响。据题意知 其中是不考虑这种效应的势能分布，即 为考虑这种效应后的势能分布，在区域， 在区域，可由下式得出， 由于很小，所以，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态） ，故。 11. 转动惯量为I、电偶极矩为的空间转子处在均匀电场在中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。 解：取的正方向为Z轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为 取，则 由于电场较小，又把视为微扰，用微扰法求得此问题。 的本征值为 本征函数为 的基态能量为，为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知 12. 设一体系未受微扰作用时有两个

17、能级：，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为；都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。 解：由微扰公式得 得 能量的二级修正值为 13. 设在时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为，及均为零；电离电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻跃迁到电离态的几率。 解：当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其值为 时，氢原子处于基态，其波函数为 在时刻， 微扰 其中在时刻跃迁到电离态的几率为 对于吸收跃迁情况，上式起主要作用的第二项，故不考虑第一项， Oxyz（） 其中取电子电离后的动量方向为Z方向，取、所在平面为面，则有 14.

18、 基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即 求经过长时间后氢原子处在2p态的几率。 解：对于2p态，可取三值，其相应的状态为 氢原子处在2p态的几率也就是从跃迁到的几率之和。 由 (取方向为Z轴方向) = 0 = 0 由上述结果可知， 当时， 其中15. 计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。 解： 由选择定则，知是禁戒的 故只需计算的几率 而 2p有三个状态，即 (1)先计算z的矩阵元 (2)计算x的矩阵元 (3)计算的矩阵元 (4)计算 16. 计算氢原子由2p态跃迁到1s态时所发出的光谱线强度。 解： 若 ，则 18. 求线性谐振子偶极跃迁的选择定则 解：

19、由 时， 即选择定则为 19. 一维无限深势阱中的粒子受到微扰 作用，试求基态能级的一级修正。 解：基态波函数（零级近似）为 能量一级修正为 20. 具有电荷为的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁。设入射光的能量为。其波长较长，求： 原来处于基态的离子，单位时间内跃迁到第一激发态的几率。 讨论跃迁的选择定则。 （提示：利用积分关系 答： 仅当，所以谐振子的偶极跃迁的选择定则是） 解： (对于一维线性谐振子) 其中 一维线性谐振子的波函数为 跃迁几率，当时的跃迁为禁戒跃迁。 可见，所讨论的选择定则为。21. 电荷e的谐振子，在时处于基态，时处于弱电场之中(为常数)，试求谐

20、振子处于第一激发态的几率。 解：取电场方向为轴正方向，则有 当经过很长时间以后，即当时，。 实际上在以后即可用上述结果。22. 设一体系未受微扰作用时有两个能级：，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为；都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。 解：由微扰公式得 得 能量的二级修正值为 23. 维无限深势阱中的粒子受到微扰 作用，试求基态能级的一级修正。 解：基态波函数（零级近似）为 能量一级修正为 24. 设在 （无微扰时的哈密顿算符）表象中， 的矩阵表示为其中 , 试用微扰论求能级二级修正。解：在 表象中， 25. （1）粒子在二维无限深方势阱，请写出能级和能量本征函数；（2）加上微扰，求最低能

21、级的一级微扰修正。解： （1）无微扰时， （2）最低能级为基态能级。基态非简并，所以 26. 已知体系的能量算符为 , 其中 , 为轨道的角动量算符。视 项为微扰项，求能级至二级近似值。计算过程中可用公式： 的精确解为 本征函数 本征能量 解：按微扰论 利用了公式 能量二级修正为 在二级近似下 27. 设一体系未受微扰作用时有两个能级：，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为；都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。并严格求解，然后和微扰论结果比较。 解：由微扰公式得 得 能量的二级修正值为 （2）严格求解得，在条件下作级数展开，取前两项，结果与微扰论结果相同。28. 一电荷为 的线性谐振子受恒定弱

22、电场 作用，电场沿正 方向。用微扰法求体系的定态能量和波函数。解：体系的哈密顿算符为 在弱电场情况下，最后一项很小，因此令 是线性谐振子的哈密顿算符，它的本征值和本征函数已经在上节中求出：， ， 29. 氢原子的Stark效应设氢原子收到外电场的微扰作用，势能为 ， 是场强大小，其方向为 轴方向， 是氢原子中电子离原子核的距离， 为 与电场方向的夹角，试计算在微扰作用下氢原子的前两个能级的分裂情况和相应的谱线分裂情况。解：在电场中氢原子的哈密顿算符为 取：的定态方程的解已在上节中求出，并且知道 有 重简并。在微扰作用下，能级会发生分裂，简并将会有所消除。现在来具体计算 ， 时能级的分裂。当 时

23、，即氢原子处于基态，由于 没有简并，因而它在外场作用下没有分裂现象。当 时，即氢原子处于第一激发态， 应有四重简并。相应的四个波函数为： （具体形式见课本）为了计算 的一级修正 ，需要求出微扰算符 的矩阵元 ，由于球函数的奇偶性，除 和 不为零外，其余矩阵元均为零。而（ ）所以，久期方程为：即： 于是可得的四个根这就是说，受微扰作用后， 分裂为三个能级，简并得到部分消除。下面画出 和 的分裂情况：图 由于 的能级分裂为三条能级，因而相应于从 到 辐射跃迁的一条谱线，在外场重分裂成三条线。谱线在外电场重的分裂现象叫做Stark现象。30. 试选择适当的尝试波函数，用变分法求氢原子的基态能量和基态

24、波函数。解：已知氢原子的哈密顿算符为 (1)首先选取尝试波函数：从场的中心对称性知道，基态时（ ）波函数具有球形对称性，与角度无关，只与 有关，并且当 时， 应很快趋向于零。因此，设尝试波函数为 (2)其中 是变分参数（待定参量）， 为归一化常数。由归一化条件 可求得： 于是(2)式变为： (3)其次求 的平均值：（注意： ） (4)再利用极值条件：令 ，可得 (5)最后，将(5)式代入(4)式可得基态能量 (6)相应的基态波函数为：（将(5)式代入(3)式） (7)这些结果与精确解法得到的完全一致。31.一维无限深势阱中的粒子，受到微扰 的作用，求基态能量的一级修正。解：一维无限深势阱中，粒

25、子的基态能量和波函数为 则基态能量的一级修正为 = =32. 一个一维无限深方势阱在及处有两个无限高的壁，在和出有两个宽为，高为V的小微扰势。用微扰方法估计与能级的差异(精确到一阶微扰)。解：一维无限深势阱能级和波函数为 在一级微扰下第能级的移动为 因为，利用积分中值定理得 =在一级微扰近似下，与的能级差的变化为 33. 粒子在一维势场V(r)中运动，能级为，如受到微扰的作用，求能级的修正(二级近似).解：在微扰前能量算符可写为 的本征函数记作或，利用对易式易得到 因此在表象中(以为基矢)有矩阵关系 其中 一维束缚态是非简并的.按照微扰论公式，能级的一级修正为 二级修正为 =34. 粒子在二维无限深方势阱中运动,写出能级和能量本征函数，若加上微扰，求最低的两个能级的一级修正.解：(1)能级和能量本征函数(阱内，以下同) 基态是非简并的，能级为，本征函数为 第一激发态是二重简并的，能级为，本征函数为 (2)基态能级的一级修正等于的平均值，即 对于，容易算出的矩阵元为 在子空间中，的矩阵元表示为 解久期方程可得能级的一级修正为35. 设在的表象中，H的矩阵表示为，用微扰论求能量的二级修正。解：取 由非简并微扰论公式 ， ，36. 讨论和计算氢原子基态的Stark效应。解：取外电场沿轴方向，则 由于氢原子基态非简并，所以 这是由于为奇宇称算符， 其中 ， 故加入电场后氢原子的能级降低。