浅析向量的数量积在几何中的应用

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1、浅析向量的数量积在几何中的应用王华标（岳西职教中心）随着高中新课程改革，高中数学教材引入了许多新的内容 , 比如空间向量 , 其目的也很明确：为研究函数、空间图形，提供新的研究手段，即充分体现它们的工具性 , 关于空间向量的数量积有这样三条性质：（1） a e | a | cosa,e，（2） aba b0 ，（3） | a |2a a 。利用这些性质可以解决空间的角度和距离问题 , 下面就这些方面谈谈向量的数量积的应用 .首先它是空间三大角（即线线角、线面角、二面角的平面角）用向量法求解的“对接点” 。( 一) 用向量求空间的线线角(0,)2我们把这两条线赋予恰当的两个向量，问题就化归为两个

2、向量的夹角（两个向量 所成的角的范围为0,）， 即cos| cos a,b | |a b | a b | , 我们能否加以重新认识这个公式| a | b | a | b |呢？如图，1| OB1 |B|OB1 |BBcos|OB| b |bbb，AO(B 1)aAOa B 1AB 1O a此时OB1 可 以 看 作 是 b 与 a 方 向 上 的 单 位 向 量 e 的 数 量 积b e(其中 ea ) ，这就是由数量积这条性质滋生而成的；故此结论| a | ba|重新可以理解为： cos| a |（这里刚好满足三角函数中余弦的| b |定义：邻边比斜边）。(二)用向量求空间的线面角(0, )

3、2P| PA n |nsin| cos PA, n | PA | n |AO（其中 n 为平面的一个法向量），此结论重新可以理解为： sin|OP | OP | ，此时 OP又可以看作是 PA|PA|PA|在 n 上的投影，即PA 与 n 方向上的单位向量 e 的数量积 PA e ，| PAnn|(其中 e) ，故 sin| n | （这里刚好满足三角函数中正弦的| n |PA|定义：对边比斜边）。2( 三)用向量求空间的二面角的平面角F(0,)n1n2| cos | | cos n1,n2| = | n1n2 |En1（其中 n1与n2 是DC| n1 | n2 |两二面角所在平面的各一个法

4、向量） 此结论AB重新可以理解为：| nn2| nn1 |12| n1 | （这里刚好满足三角函数中余弦的定| c|os | n2 | n1 | n2 |义：邻边比斜边）。三大角的统一理解：| ba| PAn| nn2| | nn1|12cos| a |、 sin| n |、 | cos | n2| n1|、| b |PA| n1 | n2 |其从上述梳理完全可以看出其本质特征：这里的“空间角”的求法，完全与直角三角形中的三角函数的“正弦或余弦的定义”发生了对接对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影，即斜边向量与对边或邻边方向上的单位向量的数量积，而理解与掌握这里的“空间角”的直角三角形的

5、构图，学生完全可以达到“系统化”和“自主化”，因为直角三角形中的三角函数定义，他们太熟悉了！即将知识的“生长点”建立在学生认知水平的“最近发展区”，那3学习就会水到渠成！其次它又是空间三大距离（即点线距、点面距、异面直线间距离）用向量法求解的“联系点” 。空间中有七大距离 （除球面上两点间的距离外）基本上可转化为点点距、点线距、点面距，而点线距和点面距又是重中之重！另外两异面直线间的距离， 高考考纲中明确要求：对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。因此对异面直线间的距离的考查有着特殊的身份。 教材按排中引进了向量法来解决距离问题，也给问题的解决带来新的活力！不用作出

6、（或找出）所求的距离了。( 一) 用向量求空间点面距离d | PO | | PA | sin| PA | | nPA | n PA |（其中 n 为平面的一个| n|PA | n |法向量），此结论重新可以理解为：Pnd| PAn|，即 PA 在 n 上的投影，即 PA 与| n |AOn 方 向 上 的 单 位 向 量 e 的 数 量 积PA e(其中 en ) 。| n |4( 二) 用向量求空间的点线距离1）如图，若存在有一条与l 相交的直线时，就可以先求出由这两条相交直线确P定的平面的一个法向量n ，则点P 到 l的距离 d | PAn|。AlO| n|2）若不存在有一条与l 相交的直

7、线时，我们可以先取 l 上的一个向量 n ，再利用 | PO |2 | PA |2 | OA |2 来解，即：d 2 | PA |2 | OA |2 , 而数量可以理解为 PA 在 l 上的向量 n 的投影，也即为： | OA | | PAn|。| n |( 三) 用向量求异面直线间距离从这几年的高考考纲说明观察，我们不难发现，对异面直线间距离的考查本意不能太难， 但若出现难一点的考题，命题者又能自圆其说的新情况。实际上，这种自圆其说法归根到底在于高考考纲中的说法：只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距 离。那也就是说，在不要作出公垂线（也许学生作不出！ ）的情况下，也可以求出它们的距离的

8、！那就是用向量法！5如图所示：若直线 l 1 与直线 l2 是两异面直线，求两异面直线的距离。Cl1略解：在两直线上分别任取两点A、AC、B、D，构造三个向量 AC, BD , CD ，l 2记与两直线的公垂线共线的向量为BDn , 则由 AC n 0与BD n 0 , 得 n , 则CDn它们的距离就可以理解为：在上的投影的绝对值，即：nd | CDn |。| n |三大距离的统一理解:d | PAn |d | CDn |（异面距）、d | PAn |（点面距）、| n |（点线| n | n |距之一）、d 2| PA |2| OA |2 且 | OA | | PAn |（点线距之二）、|

9、 n |其本质特征是： 一个向量在其所求的距离所在直线的一个向量上的投影，也即数量积此性质的直接应用。下面通过例题来说明向量的具体的应用A1D1例1 如图，已知长方体FADB 1C 1E6BCABCDA1 B1C1 D1, AB2, AA11,直线 BD 与平面 AA1 B1B 所成的角为 30 ， AE 垂直 BD 于E， F 为 A1B1的中点 .（ I ）求异面直线 AE 与 BF 所成的角；（ II ）求平面 BDF 与平面 AA1B 所成的二面角；（ III ）求点 A 到平面 BDF 的距离 .解：在长方体 ABCDA1 B1C1D1 中，以 AB 所在的直线为x 轴，以 AD 所

10、在的直线为 y 轴，AA1 所在的直线为 z 轴建立zA1D1如图示空间直角坐标系；FDA由已知 ABB 1C 1y2, AA11, 可得 A(0, 0, 0),B (2, 0, 0)，EF (1,0,1) ，又 AD平面 AA1B1B ，从而 BD 与平 x BC面 AA1 B1B所成的角为DBA30，又 AB2，AEBD ，AE 1, AD2 3 ，从而易得E 1 ,3 ,0,D 0,2 3,03223（I）因为 AE1 ,3,0 ,BF1,0,1 所以 cos AE, BFAEBF22|BF|12 2 ，易知异面直线 AE、BF 所成的角为 arccos 2244（II）易知平面 AA1

11、B 的一个法向量 m(0,1,0) ，设 n( x, y, z) 是 平 面 B D F的 一 个 法 向 量 ， BD( 2,2 3,0) 由37nBFn BF0xz0zx3,12x23 y 0即 n 1,nBDn BD03x y3所以 cosm, nn15m5| n |即平面 BDF 与平面 AA1B 所成的二面角的大小（锐角）为arccos 155（III ）点 A 到平面 BDF 的距离，即 AB 在平面 BDF 的法向量 n 上的投影的绝对值，所以距离 d | ABnAB n2 5 所以点 A到平面| =| n |n5BDF 的距离为 2 55例 2 如图，在三棱柱 ABC A1B1

12、C1 中， AB 侧面 BB1C1C，E 为棱 CC1 上异于 C、C1的一点， EAEB1，已知 AB= 2 ，BB 1=2，BC=1， BCC1=，求：3（）异面直线AB 与 EB1 的距离；（）二面角 AEB1A1 的平面角的正切值 .解：（I ）以 B 为原点， BB1 、 BA 分别为 y、z 轴建立空间直角坐标系.由于 BC=1，BB1=2，AB=2 ， BCC1=，3在三棱柱 ABC A1B1C1 中有8B（0，0，0），A（0，0，2 ），B1（0，2，0），A1（0，2，2 ）C( 3,1 ,0), C1 (3 , 3,0) ，设 E(3 , a,0),22222由EAEB1

13、, 得 EA EB10,即0 (3 , a, 2 ) (3 ,2 a,0)3a(a 2)a 22a3 ,2244得 ( a1)( a3)0, 即 a1 或 a3(舍去 ), 故 E(3,1,0)；222222所以 BA(0,0,2),A E(3 ,3 ,2 )122设 nx yz所在的直线与 AB与B E都垂直，( , ,)1则 nBA0得， n(3,1,0) （令 y=1），故 d| AB1n | =1nA1E0| n |（II ）由已知有 EA EB1 , B1 A1EB1 ,故二面角 AEB1A1 的两个 半平 面的 法向 量为B1 A1与EA。因 B ABA(0,0, 2), EA(3 ,1 ,2),1122EAB1A1故 cos| B1A1 | | EA|EAB1A122|EA|。| B1A1 |, 所以 tan23通过上述例题的分析，我们不难看出：立体几何中的几何法的“难在找（或作）所求的角度或距离”, 通过这个数量积的性质的转化（方法的转化与知识之间的转化） ，其“难”渐渐地溶解于 “转9换与化归” 之中及学生的细心地 “计算”之中，从而体现了 “向量”这个工具在立体几何中应用的优越性、工具性。参考文献：1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科. 数学）2、2009 年普通高等学校招生安徽省统一考试大纲（理科 . 数学）10