换元积分法和分步积分法.ppt

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1、第二节,换元积分法和分步积分法,问题,？,解决方法,利用复合函数，设置中间变量.,过程,令,一、第一类换元法,在一般情况下：,由此可得换元法定理,第一类换元公式（凑微分法）,说明,使用此公式的关键在于将,化为,观察重点不同，所得结论不同.,定理1,例1 求,解（一）,解（二）,解（三）,例2 求,解,一般地,例3 求,解,例4 求,解,例5 求,解,例6 求,解,例7 求,解,例8 求,解,例9 求,原式,例10 求,解,例11 求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.,例12 求,解,例13 求,解（一）,（使用了三角函数恒等变形）,解（二）,类似地可推出,解,例14

2、设 求 .,令,例15 求,解,问题,解决方法,改变中间变量的设置方法.,过程,令,（应用“凑微分”即可求出结果）,二、第二类换元法,证,设 为 的原函数,令,则,第二类积分换元公式,例16 求,解,令,例17 求,解,令,例18 求,解,令,说明(1),以上几例所使用的均为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,说明(2),积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.,也可以化掉根式,例 中, 令,积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.,说明(3),（三角代换很繁琐）,令,解,例20 求,解,令,说明(4),当分母的阶较高时, 可采用倒代换,令,解,例22 求,解,令,（分母的阶较高）,例23 求,解,令,基本积分表 ,三、小结,两类积分换元法：,（一）凑微分,（二）三角代换、倒代换、根式代换,基本积分表(2),思考题,求积分,思考题解答,练 习 题,练习题答案,