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1、1.4 直角三角形的射影定理,1.射影,点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。,一条线段在直线上的正射影 线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段。,点和线段的正射影简称射影,探究：ABC是直角三角形，CD为斜边AB上的高。你能从射影的角度来考察AC与AD，BC与BD等的关系。你能发现这些线段之间的某些关系吗？,射影定理 直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。,用勾股定理能证明吗?,AB=AC+BC (AD+BD)=AC+BC 即2ADBD=AC-AD+BC-BD AC-AD=CD，
2、BC-BD=CD 2ADBD=2CD CD= ADBD 而AC=AD+CD=AD+ADBD =AD(AD+BD)=ADAB 同理可证得BC= BDAB,例1 如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D. AD=2,DB=8,求CD,AC和BC的长.,总结： 已知“直角三角形斜边上的高”这一基本 图形中的六条线段中的任意两条线段，就可 以求出其余四条线段，有时需要用到方程的 思想。,习题1.4,1.,直角ABC中已知:CD=60 AD=25 求：BD,AB,AC,BC的长,BD=144,AB=169,AC=65,BC=156,2.(2007广州一模)如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，C
3、D=4，BD=8，则圆O的半径等于_,5,例2 ABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且 CD=ADDB 求证： ABC是直角三角形。,证明:在CDA和BDC中,3.如图，已知线段a,b.求作线段a和b的比例中项。,习题1.4,总结： 1、知识：学习了直角 三角形中重要的比例式和比例中项的表达式射影定理。 2、方法：利用射影定理的基本图形求线段和证明线段等积式。 3、能力：会从较复杂的图形中分解出射影定理的基本图形的能力。 4、数学思想：方程思想和转化思想。,1.从特殊到一般的思考方法.,数学方法:,在研究数学问题时,通过考察特殊性问题获得一般规律的猜想,并从中得到证明一般规律的思想方法的启发;然后由特殊过渡到一般,对一般性结论作出严格证明.,2.化归思想方法.,在研究问题时,常常通过一定的逻辑推理,将困难的,不熟悉的问题转化为容易的熟悉的问题.恒等变形,换元法,数形结合法,参数法等,都是具体的化归方法.相似三角形的证明采用了化归为预备定理的方法.,习题1.4,2.如图，ABC中BAC=60CDAB 求证：BD=AB- AC,例2 如图，在ABC中，CDAB于D， DFAC于F，DGBE于G。 求证：CF AC = CG BC,证明：CDAB，DF AC CDFCAD CFCD=CDAC CD 2 =CFAC 同理可证 CD2 =CGBC CFAC=CGBC,
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