直线与平面的关系.ppt

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1、高三数学 立体几何教案,马 鞍 山 二 中 王树森,知 识 框 图,平行垂直间的相互关系,在角距离面体积求解中的应用,直线与平面垂直,一、直线与平面垂直的定义 二、 直线与平面垂直的判定（ ） 三、直线与平面垂直的性质 ( ) 四、三垂线定理及其逆定理 五、熟练掌握直线与平面垂直的定义，判定，性质，灵活运用，解决问题。,七种,三条,一、,一、直线与平面垂直的定义：,如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都 垂直,我们说这条直线和这个平面互相垂直。 表示为： m,正确的画法：,m,n,n,m,A,二、 直线与平面垂直的判定：,a,b,1 根据定义判定: 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线 都

2、垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直。,证明：设a = B， b是内任意一条直线，在a上截取线段AB =AB, 过B点作BEb, 在平面内作直线CD交m n 于C,D交BE于 E。连AC，AC，AE，AE，AD，AD。,则有AC=AC，AD=AD。 又CD公用，ACDACD 则有 ACE= ACE， ACEACE， 因此AE=AE，BE是AA的 垂直平分线。 aBE 即 ab。若a和b均不经过B，那么可过点B引它们的平行线，同样可证得ab。综上所述：,2 . 判定定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都 垂直，那么这条直线垂直这个平面。,A,B,C,D,A,m,n,b,E,已知：m,

3、 n, mn=B, am, an 求证： a,a,a,3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么 另一条也垂直于同一个平面。,a,b,n,已知：a, ab. 求证：b.,m,P,证明：在平面内任意作两条相交 于P点的直线m,n。,（线面垂直的判定定理）,4.如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们 的交线也垂直于第三个平面。,已知：， ， =a 求证：a。,a,证明：在平面内任取一点P， 过P点作直线b,c.,b,c,P,（线面垂直的判定定理）,5.如果两个平面互相垂直，那么在一个平面 内垂直于交线的直线必垂直与另一个平面。,A,c,已知: ,=m,AB,ABm. 求证: AB .,

4、证明:过B点在内作直线BCm ABm ABC是二、面角的平面 角， ABC=90 因此 ABBC 又ABm，且BC 与m相交于B点 AB ,m,B,（线面垂直的判定定理）,6.一条直线垂直于两个平行平面中的一个 平面，它也垂直于另一个平面。,A,m,已知： |,m. m=A。 求证：m.,证明：在平面内任取一条直线b 直线b和点A确定一个平面，设 =a。,a,（线面垂直的定义）,b,7.如果一条直线（或线段）在平面内的射影是一个点，那末这条直线（或线段）就和这个平面互相垂直。,A,B,O,AB在内射影是点O AB ,。,三、直线与平面垂直的性质,1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线 垂

5、直于平面内任意一条直线。,2.垂直于同一个平面的两条 直线互相平行。,3.垂直同一条直线的两个平面平行。,证明：设经过直线AA的两个平面 , 分别与平面，交于直线a 和a ，和b., AA， AA， AAa， AAa 又a ， a ， AA aa 同理bb。 因此 a b 又ab= A，a . b . |(面面平行的判定定理）,a,a,b,b,A,A,四、 三垂线定理及其逆定理,1. 三垂线定理：,2. 三垂线定理及其逆定理：,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜 线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜 线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。,

6、P,A,O,a,P,A,O,a,例 题,1. 设O为三棱锥PABC的顶点P在底面上的射影， （1）若PA=PB=PC，则O是ABC的 。,（2）若三条側棱与底面成相等的角，则O是ABC的 。,P,A,B,C,O,外心,外心,（3）设O为三棱锥PABC的顶点P在底面上的射影， 若P到ABC三边的距离相等，且O在ABC的内部， 则O是ABC的 。,（4）设O为三棱锥PABC的顶点P在底面上的射影， 若三个側面与底面成相等的二、面角，且O在三角形内， 则O是ABC的 。,内心,内心,（5）设O为三棱锥PABC的顶点P在底面上的射影， 若PABC，PBAC， 则O是ABC的 。,（6）设O为三棱锥PA

7、BC的顶点P在底面上的射影， 若三条側棱两两互相垂直，则O是ABC的 。,垂心,垂心,2. 若正三棱锥底面的边长是a ，且每两个侧面所成的二、面角均为90，则底面中心到侧面的距离为 。,p,A,B,C,O,H,M,已知：如右图所示，AB=BC=AC=a O为ABC的中心，三侧面两两 互 相垂直。 求：O到侧面PBC的距离。,PBC是等腰直角三角形，PM=BM=CM= a ，OM = AM= a PO= 由OHPM=OMPO 可得 OH= =,3.M是正方体ABCDABCD的棱DD1的中点，O为正方形AB CD的中心，P是AB上任意一点，则直线PO与AM所成的角为： （A）30 （B）45 （C

8、）60 （D）90,A,B,C,D,A,B,C,D,M,O,E,F,解：取AD，BC的中点E，F。 连结AE，BF得四边形AEFB,正确答案：D,EFAB ， EF=AB 四边形AEFB是平行四边形 不论P在AB上何处，PO总在平 面AEBF内。 AB 平面AD(正方体性质） AM 平面AD AB AM（线面垂直的性质） 又AMDAEA AMAE， AMAEA AM平面EB1（线面垂直的判定） 而PO平面EB1 AMPO,4. 线段ABBC,BCCD,且AB=BC=CD,异面直线AB与CD 成60角，求异面直线AD与BC所成的角。,BC=CD ,BCCD, 四边形BCDE为正方形。 ABBC,

9、AB=BC,AB与CD成60角，ABE是正三角形。 ABBE=B， BC平面ABE，DE 平面ABE。 DEAE，ADE是等腰直角三角形 。 即ADE=45.,解 依题意有两种情况，如图 、（2）。,E,A,B,C,D,（1）,B,A,C,（2）,E,对于，作DECB，DE= CB，连AE、BE.,D,60,60,对于，作DECB，DE=CB 连AE、BE. BC=CD,BCCD 四边形BCDE为正方形。 ABBC,AB=BC,AB与CD成60角， AB=BE, ABE=120。 ABBE=B， BC平面ABE，DE 平面ABE。 DEAE，设AB=1则AE= 在RtADE中ADE=60 即 AD与BC成60角。 综上所述，AD与BC所成的角为 45或 60。,图（2）,A,C,D,E,B,A,60,再 见,