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1、课件制作：应用数学系,概率论与数理统计,第三章 多维随机变量及其分布,二维随机变量（X,Y）,( X , Y )的联合分布函数,二维随机变量的联合分布函数,定理： 的性质,（1）关于x或y非降,（4）关于x或y右连续,（2）,（3）,（5）对 ,有,二维随机变量（X,Y）,离散型,i, j =1,2, ,X和Y 的联合概率分布列,(X,Y)的联合概率分布列的表格形式如下:,二维随机变量（X,Y）,离散型,X和Y 的联合分布函数,离散型,一维随机变量X,X的分布分布函数,设二维连续型随机变量（X,Y）,的联合概率密度函数为 , 则,不难得出，对连续型 随机变量(X,Y)，其概率密度与分布函数的关
2、系如下：,在 f (x,y)的连续点,设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（ X,Y）具有概率密度,则称（X,Y）在G上服从均匀分布.,例,两个常见的二维分布：,若二维随机变量（X,Y）具有概率密度,记作（ X,Y）N( ),一般，对二维离散型随机变量( X,Y )，,则(X,Y)关于X的边缘概率分布列为,X和Y 的联合概率分布列为,P(X=xi),Pi .,P(Y=yj),P. j,(j=1,2,.),同理,一般地,记:,我们常将边缘概率函数写在联合概率函数表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.,联合分布与边缘分布的关系：,由联合分布可以确定边缘分布;,但由边缘分布一般不能确
3、定联合分布.,对任意随机变量 (X,Y)，,X和Y的联合分布函数为,则(X,Y)关于X的边缘分布函数为,(X,Y)关于Y的边缘分布函数为,对离散型随机变量(X,Y)，,X和Y的联合分布函数为,则(X,Y)关于X的边缘分布函数为,(X,Y)关于Y的边缘分布函数为,对连续型随机变量(X,Y)，,X和Y的联合分布函数为,则(X,Y)关于X的边缘分布函数为,(X,Y)关于Y的边缘分布函数为,易知,一 、离散型随机变量的条件分布律,设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，其分布律为,(X, Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律分别为：,P X= xi ,Y= yj = pi j , i , j
4、=1,2,.,由条件概率公式,称为在Y= yj 条件下随机变量 X 的条件分布律.,其中PY= yj 0,自然地引出如下定义：,同样,条件分布律具有分布律的以下特性：,10 P X= xi |Y= yj 0；,定义：给定 y，设对于任意固定的正数 ，,存在，,P y- 0,若对于任意实数 x，极限,则称为在条件Y= y下X的条件分布函数，,写成 P X x |Y= y ，或记为 FX|Y(x|y).,称为在条件Y= y下X的条件分布函数.,条件密度函数的性质,两个随机变量独立的定义是：,它表明，两个随机变量相互独立时，它们的 联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .,若 (X,Y)是离散型随
5、机变量， 则上述独立性的定义等价于：,则称X和Y相互独立.,对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有,即,则称X,Y相互独立 .,对任意的 x, y, 有,若 (X,Y)是连续型随机变量 则上述独立性的定义等价于：,分别是X和Y 的边缘密度,一、离散型分布的情形,若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, , 求Z=X+Y的概率函数.,=a0br+a1br-1+arb0,由独立性,此即离散 卷积公式,r=0,1,2, ,和的分布：Z = X + Y,设X和Y的联合密度为 f (x,y),求Z=X+Y的密度,Z=X+Y的分布函数是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z),这里积分区域D=(x, y): x+y z 是直线x+y =z 左下方的半平面.,二、连续型分布的情形,和的分布：Z = X + Y,化成累次积分,得,由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成,以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式.,特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:,这两个公式称为卷积公式 .,
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