1911变量与函数教案案例

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1、19.1.1 变量与函数（第2课时）一、内容和内容解析1.内容函数的概念2.内容解析函数是描述运动变化规律的重要数学模型，它刻画了变量之间的对应关系.函数概念是中学数学的核心概念，是继续学习一次函数、二次函数、反比例函数等内容的基础.函数与方程、不等式等知识有密切的联系，函数的表示法中体现了数形结合的思想方法.本章内容包括函数的概念和表示法、正比例函数和一次函数.一次函数是函数值变化量与自变量变化量的比值固定不变的简单函数模型.研究一次函数可以获得初中函数研究的一般步骤（下定义画图象观察图象概括性质）和基本思想（模型思想、数形结合的思想、运动变化和对应的思想），发展数学观察、表征、抽象概括和推

2、理能力.函数概念学习过程中蕴含的核心数学认知活动是数学抽象概括活动.变量y要成为变量x的函数，需要满足两个条件：（1）在同一变化过程中，有两个变量x和y；（2）对于变量x的每一个确定值，变量y都有唯一确定的值与之对应.“单值对应”是函数概念的关键词，是函数概念的核心所在.综上所述，本节课教学的重点是：概括并理解函数概念中的单值对应关系.二、目标和目标解析1.目标（1）了解函数的概念.（2）能结合具体实例概括函数的概念.（3）在函数概念的形成过程中体会运动变化与对应的思想.2.目标解析（1）能在具体实例（包括解析式、表格、图象）中辨别变量之间的关系是否是函数关系，能举出函数的实例.（2）能观察运

3、动变化的具体实例，分析变量之间的对应关系并发现其单值对应的特征，通过归纳实例中变量之间的单值对应特征概括函数的概念.（3）在函数概念的形成过程中，初步体会变量之间的联系，感受变化与对应的思想.三、教学问题诊断分析学生在小学阶段学习过正比例关系和反比例关系，知道具有正（或反）比例关系的两个量中，一个量随着另一个量的增大而增大（或减小）；在字母表示数中，接触过当字母取值变化时，代数式的值随之变化.学生在生活中也具有对两个量之间存在依存关系的体验，如气温随时间的变化而变化，单值固定时总价随着数量的变化而变化.尽管这些学习经验和生活经验可以帮助学生理解函数的含义，但初次接触函数概念，学习中还是会遇到较

4、大困难.其中主要困难在于难以概括出“一个变量的值的确定导致另一个变量取值的唯一确定”这一函数概念的核心，当一个变量的值取定时，另一个变量怎样才算“唯一确定”？学生容易认为，函数关系中的“唯一确定”仅指通过公式求出的唯一的值，对不能用公式求出值的单值对应关系难以理解.因此，本节课的难点是对函数概念中的“单值对应”含义的理解.四、教学过程设计教学环节教 学 过 程设计意图一、创设情境导入新课【问题情境】小长假期间小明一家开车到上海去看望外婆，上海离襄阳大约有1100多千米.【问题1】：出发前， 他们先到加油站加油，（视频）在加油的过程中，有哪些是变量，哪些是常量？你发现了什么？1、我们发现，随着加

5、油升数增大，所付的费用也在2、在这一过程中，所付费用y元与加油升数x（升）满足的关系式是：【设计意图】：引入学生经常经历的问题情景，感受常量与变量的意义，既复习了上节内容，又引入了本节课的课题：函数.而且为本节课进行数学的思考、提出解决问题的方式方法、获得一些初步的活动经验.二、探索新知尝试发现二、探索新知尝试发现【问题2】：汽车以平均每小时100千米的速度匀速行驶，请根据他们开车的时间填出相应行驶的路程：t（小时）123ts（千米）观察下表，回答下列问题: 在上述变化过程中，有几个变量？它们分别是： .在这一变化过程中，随着时间t的变化，相应的路程也在.当时间t取某一个值时，有（唯一或不唯一

6、）的路程s与它对应.在这一变化过程中，时间为t小时，路程为s千米，则s与t之间满足的关系式是：.【设计意图】：教师给出反应变化过程的实例，通过 “提出问题寻找其中的量对量进行分类归纳概念”，让学生亲身经历概念形成的全过程，感受数学概念形成的自然性与合理性，加深学生对概念的理解。【问题3】：汽车的油箱中有汽油50L,如果不再加油，那么油箱中的剩油量m（单位：L）随行驶路程s（单位:km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km，请根据他们行驶的路程填出油箱中相应的剩油量s（千米）100200300400sm（升）观察上表，回答下列问题：在上述变化过程中，有几个变量？它们分别是 .在这一变化过程中

7、，随着行驶路程s的变化，相应的剩油量m也在.当路程s取某一个值时，有（唯一或不唯一）的剩油量m与它对应.在这一变化过程中，行驶路程为s千米，油箱中的剩油量为m升，则m与s之间满足的关系式是： .【设计意图】：通过行程问题中两个变量存在的对应”关系，提升认识，形成函数概念，并且这种变化关系可用表格、关系式呈现。为研究函数的表示法打下伏笔【问题4】：温度变化问题：这是上海市最近某天气温的变化图，请根据图象填出下列时间所对应的气温：t(时)810121418T()观察图象与上表回答下列问题：在这个变化过程中，有几个变量？分别是 .随着时间t的变化，相应的温度T也在 .取一个时间t的值，有 （唯一或不

8、唯一）的温度T 的值与它对应.【设计意图】：让学生体会到，当一个变量取定一个值时，通过图象也可以唯一确定另一个变量的值，突出函数的本质属性，剥离“用公式表示变量关系”这一非本质属性.三、反思提炼归纳定义【思考】：在刚才的几个问题中，每个问题都有几个变量？它们是怎样变化的呢？变量取值的对应情况怎样呢？一个变量确定一个值后另一个变量有几个值与其对应？【设计意图】：教师指出上面三个问题有两个共同点：其一，都有两个变量，并且其中一个变量随另一个变量的变化而变化；其二，当一个变量取一个值时，另一个变量有唯一确定的值与其对应，进而形成函数的概念.【归纳定义】函数的概念：一般地，在一个 中，如果有 （我们习

9、惯用x与y表示）,并且对于x的每一个确定的值,y都有 的值与其对应，那么我们就说x是 ， y是 如果x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值 .【设计意图】：通过实例概括出三类不同表现形式的变量的对应关系的共同特征，从而形成函数概念.四、练习运用反馈纠正【练习运用】1.试判断下面哪些式子中，y是x的函数？（1）y=3x-5; （2） ； （3）y=x2； （4） y = x【设计意图】：形成概念后，及时进行函数概念的辨析，加深对概念的理解.2.下表是几组“鞋码”和“鞋长”的对应表：鞋长（cm）2323.52424.52525.526鞋码（码）36373839404142鞋码是鞋长的

10、函数吗？【设计意图】：体会通过表格唯一确定出另一个变量的值，突出函数的本质属性，剥离“用关系式表示变量关系”这一本质属性.3.下列各曲线中 表示y是x的函数？【设计意图】：让学生体会函数概念中的“一对一”、“多对一”与“一对多”的问题的区别以便于学生有效理解函数的本质.五、交流悟理 归纳小结【归纳小结】（1）通过本节课的学习：对自己说，你有哪些收获？对同学说，你有哪些温馨提示？对老师说，你有哪些困惑？（）布置作业举出3个日常生活中的函数的例子，并指出其中的自变量及自变量的函数； 教科书19.1习题第14题【设计意图】：引导学生回顾函数概念，再次理解函数概念中的单值对应关系及确定对应关系的方法（

11、式子、表格、图象）.六、目标检测设计【目标检测】1.判断下列哪些变化过程中的变量之间的关系是函数关系.如果是，指出其中的自变量和函数.（1）某超市中鸡蛋价格是9元kg，鸡蛋的销售收入y（元）随着销售量x（kg）的变化而变化；（2）水池中有水10L，此后每小时漏水0.05L，水池中的水量V（L)随时间t（h)的变化而变化.【设计意图】：考查函数的概念.2.下列关于变量x,y的关系式中，4x-5y=2，y=x,y=6x, y2=x,其中y是x的函数的是 .【设计意图】：通过对概念的辨析，加深对概念的理解.3.梯形的上底长2cm,高3cm,下底长xcm大于上底长但不超过5cm，写出梯形面积S关于x的

12、函数解析式及自变量x的取值范围.【设计意图】：考查对函数值意义的了解及自变量取值范围的确定五、教学设计说明：1、从具体到抽象地引入“函数”概念函数概念的引入选取了四个例子，这四个实例与学生的生活联系密切.通过实例让学生对函数的概念的理解经历从具体到抽象的认识过程，其中关键是认识变量之间的单值对应关系：当其中一个变量取定一个值时，另一个变量有唯一确定的值与之对应，在此基础上引出函数概念。这样设计，符合学生的思维特点，是学生在广泛的背景中经历筛选、提炼新知识的过程，从而更好地体会知识的形成过程.2、加强对变量概念的教学变量是函数概念的核心，但是发展学生对变量的理解需要一个较长的过程。初中阶段，还有

13、许多学生不能很好地用运动、变化的观点来看待问题。理解变量的概念对于学生来说，意味着思维上的飞跃.因此，必须通过大量的实例让学生从中逐渐感悟。只有当学生充分理解了变量的概念之后，才能更加深刻的理解函数的概念.3、让学生循序渐进地理解函数概念人的认识是一个波浪式前进、螺旋式上升的过程，对于数学中重要的基本概念函数的学习也要分阶段完成，逐步深化学生的认识程度，通过后续一次函数、反比例函数、二次函数等内容的学习，来加深学生对函数概念的理解.4、以学生为主，重视课堂生成本节课教学中函数概念的引入是难点，。为解决难点，在四个引例中逐步渗透“对应”思想，让学生既感受到变化与对应，有体会到唯一。特别是在气温的认识中，有两种预设，一是如果学生回答气温T是时间t的函数，那么就不再深究；而是如果学生对此还有疑义，那就针对实例反复强调“对应”与“唯一”，加强辨析，以突出函数的本质属性，剥离用“公式表示变量关系”这一非本质属性.