高中数学第三章不等式31不等式关系与不等式课件新人教A版必修5

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1、第三章第三章 不等式不等式 31 不等关系与不等式不等关系与不等式 学习目标学习目标 1.能用不等式能用不等式(组组)表示实际问题的不等表示实际问题的不等关系关系 2.初步学会作差法比较两实数的大小初步学会作差法比较两实数的大小(重点重点)3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题题(难点难点)知识提炼知识提炼梳理梳理 1不等关系不等关系 现实世界和日常生活中，现实世界和日常生活中，既有相等关系，既有相等关系，又存在着大又存在着大量的不等关系，不等关系常用量的不等关系，不等关系常用 不等式不等式表示表示 2比较实数比较实数a，b大小的

2、依据大小的依据 依依据据 如果如果ab0，那么，那么ab 如果如果ab0，那么，那么ab?bb，bc?ac ab?acbc 4 可乘性可乘性 ab?acbc c0?ab?ac?bc cb?ac?bd cd?ab0?ac?bd cd0?nn可乘性可乘性 可乘方性可乘方性 可开方性可开方性 ab0?a b(nN，n1)nnab0?a b(nN，n2)思考尝试思考尝试夯基夯基 1思考判断思考判断(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”)(1)不等式不等式x2的含义是指的含义是指x不小于不小于2.()(2)若若ab或或ab之中有一个正确，则之中有一个正确，则ab正正确确()(3)若若ab，则

3、，则acbc一定成立一定成立()(4)若若acbd，则，则ab，cd.()解析：解析：(1)正确不等式正确不等式x2表示表示x2或或x2，即，即x不小于不小于2，故此说法是正确的，故此说法是正确的(2)正确不等式正确不等式ab表示表示ab或或ab.故若故若ab或或ab中有一个正确，中有一个正确，则则ab一定正确一定正确(3)错误由不等式的可乘性知，当不等式错误由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此由两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此由ab，则则acbc，不一定成立，不一定成立，故此说法是错误的故此说法是错误的(4)错误错误取取a4，c5，b6，d2，满足

4、，满足acbd，但不满足，但不满足ab，故此说法错误，故此说法错误 答案：答案：(1)(2)(3)(4)2完成一项装修工程，请木工共需付工资每人完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算元，现有工人工资预算20 000元，元，设木工设木工x人，人，瓦工瓦工y人，人，则工人满足的关系式则工人满足的关系式是是()A5 x4 yN BMN CM0.4?2所以所以MN.答案：答案：A 4已知已知ab0，那么，那么()a1 12233Aa b B.b D.ba b解析：解析：A项，项，因为函数因为函数yx在在(，0)上单调递减，

5、上单调递减，abb，故，故A不正确；不正确；B项，因为项，因为abb1，故，故B不正确；不正确；C项，因为函数项，因为函数yx为为R上的增函数，上的增函数，ab，所以，所以a b，故，故C不正确；不正确；D项，因项，因11 1为函数为函数y 在在(，0)上单调递减，上单调递减，ab，xa b故故D正确正确 答案：答案：D 332225若若x1，y2，则：，则：(1)2 xy_；(2)xy_ 解析：解析：(1)x1?2 x2，2 xy224；(2)xy2.答案：答案：(1)4 (2)2 类型类型1 用不等式用不等式(组组)表示不等关系表示不等关系 典例典例1 分别写出满足下列条件的不等式：分别写

6、出满足下列条件的不等式：(1)一个两位数的个位数字一个两位数的个位数字y比十位数字比十位数字x大，且这大，且这个两位数小于个两位数小于30；(2)某电脑用户计划用不超过某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价元的资金购买单价分别为分别为60元的单片软件元的单片软件x片和片和70元的盒装磁盘元的盒装磁盘y盒盒 根根据需要，软件至少买据需要，软件至少买3片，磁盘至少买片，磁盘至少买2盒盒 解：解：(1)yx0，3010 xy9，且，且x，yN；(2)x3，y2，60 x70 y500，且，且x，yN.*归纳升华归纳升华 1将不等关系表示成不等式将不等关系表示成不等式(组组)的思路如下：的思路如

7、下：(1)读懂题意，找准不等式所联系的量读懂题意，找准不等式所联系的量(2)用适当的不等号连接用适当的不等号连接(3)多个不等关系用不等式组表示多个不等关系用不等式组表示 2用不等式用不等式(组组)表示不等关系时应注意的问题：在表示不等关系时应注意的问题：在用不等式用不等式(组组)表示不等关系时，表示不等关系时，应注意必须是具有相同性应注意必须是具有相同性质的量才可以进行比较，质的量才可以进行比较，没有可比性的两个没有可比性的两个(或几个或几个)量之量之间不能用不等式间不能用不等式(组组)来表示来表示 变式训练变式训练 某种杂志原以每本某种杂志原以每本2.5元的价格销售，元的价格销售，可以售出

8、可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销元，销售量就可能相应减少售量就可能相应减少2 000本本若把提价后杂志的定价设若把提价后杂志的定价设为为x元，元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元？万元？?x2.5?解：解：由题意得销售的总收入为由题意得销售的总收入为?80.2?x0.1?万万元由不等关系元由不等关系“销售的总收入不低于销售的总收入不低于20万元万元”可以得可以得?x2.5?到不等式到不等式?80.2?x20.0.1?类型类型2 数数(式式)大小的比较大小的比较(互动探究互动探究)典例典例2 (1)已知

9、已知x1，比较，比较x 1与与2 x2 x的大小；的大小；aba b(2)已知已知a，b(0，)，试比较，试比较a b 与与(ab)2的大小的大小 解：解：(1)(x1)(2 x2 x)(x1)(xx1)2 x(x1)2?13?2?(x1)(xx1)(x1)?x24?.?32232因为因为x1，所以，所以?1?23x10，又，又?x2?0，4?2?13?所以所以(x1)?x2?0.4?所以所以x12 x2 x.32(2)a ba babaa2ab2bbab2ab ba2ab（ab）?a?2?2?b?ab.?a?a若若ab0，则，则 1，ab0，所以，所以?b?b?abab21，所以所以a b(

10、ab)a b2；a若若ab0，则，则b1，ab0，由指数函数的性质，由指数函数的性质，?a?可知可知?b?2?ababa b21，所以，所以a b(ab)；a若若0 ab，则则0b1，ab1，所以，所以a b(ab)aba b2.综上所述，综上所述，a b(ab).归纳升华归纳升华 1作差法比较两个数作差法比较两个数(式式)大小的步骤及变形方法大小的步骤及变形方法(1)比较的步骤：作差比较的步骤：作差 变形变形定号定号结论结论(2)变形的方法：因式分解；配方；通分；变形的方法：因式分解；配方；通分；对数与指数的运算性质；分母或分子有理化对数与指数的运算性质；分母或分子有理化 2作商法比较两个数

11、作商法比较两个数(式式)大小的步骤及适用范围大小的步骤及适用范围(1)作商法比较两个数作商法比较两个数(式式)大小的步骤：大小的步骤：作商变形作商变形 与与1比较大小比较大小 得出结论得出结论(2)作商法比较两个数作商法比较两个数(式式)大小的适用范围：大小的适用范围：要比较的两个数同号要比较的两个数同号 比较比较“幂，指数，对数，含绝对值的两个数幂，指数，对数，含绝对值的两个数”的的大小大小 变式训练变式训练 (1)若若m2，比较，比较m 与与2的大小；的大小；(2)求证：求证：a bcabacbc.?m?mmm(1)解：解：因为因为m?2?，又因为，又因为m2，所以，所以 1，22?m?m

12、?m?0所以所以?2?2?1，所以，所以?222m222mmm2.mm12(2)证明：证明：因为因为a bc(abbcca)(ab)2(bc)(ca)0，当且仅当当且仅当abc时取等号时取等号 所以所以abcabbcca.22222类型类型3 不等式的性质及其应用不等式的性质及其应用 典例典例3 对于实数对于实数a，b，c，有下列说法：，有下列说法：若若ab，则，则acbc，则，则ab；若若ababb；ab若若cab0，则，则；ca cb1 1若若ab，ab，则，则a0，bbc，知知c0，故故c 0，所以所以ab成立，成立，故正确故正确?ab，?aab，?abb，?a0?babb，故正确，故正

13、确 中，中，ab0?ab?caa，所以，所以ca0.所以所以0ca0.（ca）（）（cb）ca cbab又因为又因为ab0，所以，所以，故正确，故正确 ca cbba1 111中，由题意得中，由题意得ab?ab0，ab?ab0?ab0.因为因为ba0，所以，所以abb，所以，所以b0，故正确，故正确 综上可知，都是正确的综上可知，都是正确的 答案：答案：归纳升华归纳升华 1不等式判断正误的两种方法不等式判断正误的两种方法(1)直接法对于说法正确的，要利用不等式的相关直接法对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的，只需举性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的，

14、只需举出一个反例即可出一个反例即可(2)特殊值法取值一定要遵循三个原则：一是满足特殊值法取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性的值要有代表性 2利用不等式的性质证明不等式注意事项利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟式解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用(2)应用不等式的

15、性质进行推导时，应注意紧扣不等应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则不能随意构造性质与法则 变式训练变式训练 (1)给出下列结论：给出下列结论：若若ab，则，则acbc；11若若ab0，则，则ab；若若ab，cd.则则acbd；若若ab.cd，则，则acbd.其中正确的结论的序号是其中正确的结论的序号是_ abcd(2)若若bcad0，bd0，求证：，求证：bd.22(1)解析：解析：当当c0时，由时，由ab，可得，可得acbc，当，当1c0时，由时，由ab，得不出，得不出

16、ac bc，故错；因为，故错；因为 a22221110，所以，所以a0，b0，所以，所以ab0，所以，所以 abab，bab即即ab，正确；正确；因为因为cd，所以所以cd，又又ab，两个不等式的方向不同向，不能相加，所以两个不等式的方向不同向，不能相加，所以acbd错误；错误；a3，b2，c3，d4满足条件，但满足条件，但acbd不成立，故错误不成立，故错误 答案：答案：(2)证明：证明：因为因为bcad0，所以所以bcad，所以所以bcbdadbd，即即b(cd)d(ab)又又bd0，两边同除以，两边同除以bd得，得，abcd.bd类型类型4 利用不等式的性质求取值范围利用不等式的性质求取

17、值范围 典例典例4 (1)若若13，42，则则|的取值范的取值范围是围是_(2)已知已知 ，求，求的取值范围；的取值范围；22若若，范围范围(1)答案：答案：(3，3)?11，满足满足?试求试求?12 3，3 的取值的取值(2)解：解：由由 知，知，0，22?22，且且?，2?2解得解得0，即即，0)设设3 x()y(2)(xy)(x2 y).?xy1，?x1，由由?解得解得?x2 y3，?y2.因为因为1()1，22(2)6，所以两式相加，得所以两式相加，得13 7.归纳升华归纳升华 利用不等式的性质求取值范围的策略利用不等式的性质求取值范围的策略 1建立待求取值范围的整体与已知取值范围的整

18、体建立待求取值范围的整体与已知取值范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的取值范围求的取值范围 2同向同向(异向异向)不等式的两边可以相加不等式的两边可以相加(相减相减)，这种转这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围就有可能扩大其取值范围 变式训练变式训练 已知已知12 a60，15 b36，则，则ab的取的取a值范围为值范围为_，b的取值范围为的取值范围为_ 答案：答案：(24，45)?1?，4?3?1比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了了ab0?ab，ab0?ab，ab0?ab.2关于处理带等号的情况：由关于处理带等号的情况：由ab，bc或或ab，bc均可推得均可推得ac，而，而ab，bc不一定可以推得不一定可以推得ac，可能是，可能是ac，也可能是，也可能是ac.